薄壁箱梁剪力滯效應的有限梁段分析

羅文權，藺鵬臻

（1.蘭州交通大學甘肅省道路橋梁與地下工程重點實驗室，甘肅蘭州 730070；2.蘭州交通大學 土木工程學院，甘肅蘭州 730070）

箱形薄壁梁在對稱荷載作用下，法向應力沿橫截面的分布是不均勻的，對于閉口截面，稱之為剪力滯效應［1］。對于剪力滯的計算，國內外的分析方法有能量變分法、比擬桿法、有限條法和板殼有限元法。能量變分法中，剪滯翹曲位移函數的選取是關鍵，Reissner［2］假設翼板剪滯翹曲位移函數為二次拋物線，在橫截面上引入一個翼板剪切變形最大差φ，從而建立了矩形雙軸對稱箱梁剪力滯效應的變分解。Luo［3］選取能量變分法導出控制微分方程的齊次解作為梁段單元的有限元位移模式，在變分原理的基礎上提出分析箱梁剪力滯效應的有限梁段法。吳幼明等［4］針對單室箱梁，通過在橫截面分別引入頂板、懸臂板、底板3 個不同的剪滯翹曲位移函數來分析剪力滯效應。Zhou［5］通過定義每個節點有2個剪力滯自由度的有限元法來分析剪力滯效應，并進一步分析預應力混凝土箱梁的剪力滯效應，周朋等［6］在此基礎上研究了不同荷載形式下箱梁的剪力滯效應。張元海等［7］選取剪力滯效應引起的附加撓度作為廣義位移，在定義新剪力滯廣義力矩［8］的基礎上，將剪力滯變形作為獨立的變形狀態進行有限元分析。

本文在文獻［3］的基礎上選取基于翼板剪切變形規律而定義的翹曲位移函數，將其控制微分方程的齊次解作為梁段單元的有限元位移模式，再根據變分原理導出薄壁箱梁的單元剛度矩陣和荷載矩陣，從而得到考慮剪力滯效應的薄壁箱梁的撓度和應力。

1 基于剪切變形規律的翹曲位移函數

在豎向荷載作用下，假定薄壁箱梁（見圖1）的腹板仍符合梁的平截面假定，不考慮腹板的剪切變形；上下翼板、腹板的豎向纖維擠壓變形、板平面外的剪切變形及橫向應變均很小，可以忽略。

圖1 薄壁箱梁（半截面）

定義ω(x)為截面上任一點(x，y，z)的豎向撓曲位移，θ(x)為相應的轉角，u(x，y，z)為縱向位移函數，φ(x)為翼板剪切變形最大差，f(y，z)為截面的剪滯翹曲位移函數。線位移以圖1 坐標方向為正向，轉角以順時針為正向。橫截面的縱向位移可表示為

基于剪切變形規律的翹曲位移函數［9］

式中：ξ2=S2/S1，即懸臂板和內側頂板面積之比；ξ3=Zx Ax/(ZsAs)，Ax為下翼板面積，As為上翼板（內側頂板加懸臂板）的面積。

2 梁段單元的位移模式

引入豎向彎曲慣性矩I、全部翼板的剪滯翹曲慣性矩Iu、全部翼板的剪滯翹曲慣性積Iyu和全部翼板的剪滯翹曲面積Au等廣義截面特性［10］后，基于能量變分法，得到ω(x)，φ(x)關于薄壁箱梁梁段剪滯基本微分方程的齊次解為

考慮薄壁箱梁剪力滯影響的梁段單元（見圖2）的節點位移向量可表示為

當x= 0時，ω(0)=ωi，θ(0)=θi，φ(0)=φi；當x=l時，ω(l)=ωj，θ(l)=θj，φ(l)=φj。因此，式（3）和式（4）可分別表示為

式中：［N］和［S］均為形函數，［N］=［N1N2N3N4N5N6］，［S］=［S1S2S3S4S5S6］。

圖2 梁段單元

3 梁段單元剛度矩陣和荷載列陣

根據截面任一點的縱向位移，得到截面的彈性應變為

梁段單元的應變能可表示為對梁段體積的積分

將式（6）和式（7）代入式（9）可得

由最小勢能原理，通過變分得到

單元剛度矩陣為

其中，i，j= 1，2，3，4，5，6。

荷載列陣為

由式（8）按胡克定律得梁段的應力公式為

剪力滯系數定義為

4 算例對比

以文獻［1］中的箱梁截面為例，截面尺寸見圖3。彈性模量31 GPa，泊松比為1/6。不計自重的情況下，分別在跨中作用1 000 kN的集中荷載和滿跨1 000 kN/m的均布荷載。

圖3 箱梁尺寸（半截面）（單位：m）

4.1 等截面簡支箱梁

通過MATLAB 編程求得簡支梁在均布荷載作用下的撓度，并將計算結果與初等梁解及文獻［11］解對比，見圖4（a）。改變荷載矩陣，計算得到集中荷載下簡支梁沿梁縱向的撓度，見圖4（b）。

圖4 簡支梁縱向撓度對比

由圖4 可知：本文解與文獻［11］幾乎完全一致。與初等梁解相比，本文考慮了剪力滯的影響，2種荷載作用下計算的撓度在跨中分別增大了7.49% 和8.60%。

按式（16）計算得到跨中截面縱向應力。采用ANSYS 有限元軟件建立板殼模型進行數值計算，并與文獻［12］解析結果進行對比，見表1。同理可得集中荷載作用下的應力，見表2。

由表1 和表2 可知：本文解與文獻［12］解幾乎完全一致，并且與ANSYS 有限元數值解吻合良好，均布荷載下跨中截面上翼板和下翼板的剪力滯系數最大值分別為1.071 1 和1.075 3；集中荷載下的剪力滯系數最大值則均為1.260 6。

4.2 等截面懸臂箱梁

通過MATLAB 編程求解與簡支梁相同截面形式的懸臂梁作用均布荷載時的撓度，并與初等梁解及文獻［11］解進行對比，見圖5。

表1 均布荷載下跨中截面縱向應力

表2 集中荷載下跨中截面縱向應力

圖5 均布荷載下懸臂梁縱向撓度

按式（17）可計算全跨頂板在y= 0 和y=b1處的剪力滯系數，并與文獻［12］解對比，見圖6。

圖6 均布荷載下懸臂梁頂板剪力滯系數沿梁縱向分布

由圖5 和圖6 可知：懸臂梁作用均布荷載時，本文解與文獻［11］幾乎完全一致；與初等梁解相比，本文計算的撓度在自由端增大了3.11%；本文計算的沿梁縱向剪力滯系數與文獻［12］解幾乎完全一致，其中在固定端截面頂板y=b1處剪力滯系數為1.241 9。

5 結論

1）薄壁箱梁的剪力滯效應是由翼板剪切變形而引起的，根據這一基本機理定義的翹曲位移函數更符合實際。

2）與初等梁解相比，在均布荷載和集中荷載作用下，考慮剪力滯效應后簡支梁的撓度在跨中分別增大了7.49%和8.60%；在均布荷載作用下，懸臂梁在自由端撓度則增大了3.11%。

3）在均布荷載下簡支梁上翼板和下翼板最大剪力滯系數分別為1.071 1 和1.075 3；集中荷載下則均為1.260 6；均布荷載下懸臂梁固定端截面處剪力滯系數為1.241 9。可知，剪力滯效應對薄壁箱梁截面縱向應力影響較大，在設計與施工時應加以重視。