外協生產能力不確定下生產控制指標的研究

王海霞,馬盈政

(機械工業第六設計研究院有限公司 工業與智能中心，河南 鄭州 450007)

在外協生產中，協作企業提供的加工能力常常因自身計劃調整和設備不可靠等因素變得不確定，使外協生產的計劃與控制變得非常復雜，而控制不到位會造成缺貨、積壓等負面影響.這就要求對外協生產能力不確定下的相關指標進行研究，以利于生產計劃和控制的順利進行.

此前，一些學者曾對外協生產能力不確定下的生產計劃與控制問題進行了廣泛研究.研究主要涉及需求[1]、生產提前期[2]、機床故障與維修[3]、生產準備時間[4]、生產速度[5]等不確定性因素.相關學者將制造系統中的不確定性因素形式化，使其具有可描述性[6-7]，并在生產控制領域的不確定性控制指標研究方面取得了豐碩的成果.TAN將市場需求描述為從零到最大值的隨機數，而用指數分布描述設備故障[3].SU等[8]和KRIEG等[9]針對兩級多產品的看板控制制造系統提出了一種基于分解的近似評估方法，用于分析在生產時間和準備時間都服從指數分布時,系統的平均完工率、平均需求率及平均庫存等指標對系統的影響.劉東波等用模糊數學相關知識描述了市場需求和內部制造能力的不確定性[10].LANEZ等使用S結構圖和線性規劃模型，解決了批處理車間生產過程及市場需求變動給計劃帶來的隨機問題[11].

本文將研究外協生產能力不確定的情況下，外協在制品的庫存水平及運輸在制品到外協企業的時間延遲，對在制品的平均庫存成本及外協系統能力平均損失率的影響，用控制策略來控制生產成本，以便最大限度地降低庫存成本，充分地利用外協能力.

1 系統模型建立

1.1 系統模型

本文將外協生產能力的生產系統簡化為包含兩個機器和一個緩沖區(2M1B)的流水生產模型.其中：M1為內部系統；B為緩沖庫存，其容量是H；M2為外協能力不確定的外協系統，τ為從B到M2的運輸時間延遲.流水生產模型的工作流程為：物料流持續從外界進入M1，經M1加工進入緩沖庫存B，然后經時間τ進入工序M2，在M2加工后脫離系統(圖1).

為研究方便，對系統模型提出如下假設：①系統為單階段單產品類型的生產系統；②B到M2的運輸時間延遲為τ，M1到B的運輸時間忽略，不考慮運輸成本；③物料不易損壞，M1不饑餓，M2不發生阻塞；④半成品由第一級系統運往緩沖庫存，以及由緩沖庫存向第二級系統提供半成品期間的運輸無故障；⑤M1的故障依賴于操作故障，即其停機待命的時間(無論饑餓還是阻塞)不會失效；⑥緩沖庫存的容量H足夠大.

M2的生產能力不確定，其生產能力為Q(t).這里可以把M2看作對B的需求，且這種需求是不確定的.當M2需要時，B中的在制品就會運到M2,否則就會留在B中保管，M2持續按生產能力Q(t)從緩沖庫存B中獲取在制品.當緩沖庫存B為空或庫存數量小于需求時，M2處于缺貨狀態.若M1在t時刻的正常生產率為μ(t)，設α(t)為M1在t時刻的生產狀態，則當α(t)=1即系統運轉時，μ(t)會在0與生產率最大值U(即最大生產能力)之間變化，即0≤μ(t)≤U；當α(t)=0即系統故障時，μ(t)=0.設U大于最大的外協能力Qmax(即U≥Qmax)，且系統的平均生產率也大于最大的外部能力，即[U×MTBF/(MTBF+MTTR)]≥Qmax.這里，MTTR和MTBF分別為系統的平均恢復時間和平均失效間隔[12]，且MTTR為常數，MTBF為變量.將Q(t)設為高生產能力狀態Qh和低生產能力狀態Qd.兩種狀態的生產能力滿足Qh>Qd；狀態Qh與狀態Qd是離散的，且兩種狀態之間轉換的時間間隔服從指數分布.設k為Qh到Qd的轉換概率，s為Qd到Qh的轉換概率，β(t)為t時刻的生產能力狀態，并且，令β(t)=0表示Qd狀態，β(t)=1表示Qh狀態，則根據連續時間離散事件狀態馬爾科夫穩態分布可得：

(1)

M1可能會出現故障而停產，當α(t)=1時系統運轉，當α(t)=0時系統停產，且兩種狀態轉換的時間間隔服從指數分布，r為0到1的轉換概率，p為1到0的轉換概率.同理，可得M1故障及運轉狀態的穩態概率分布，即

(2)

1.2 系統控制機制

本文使用閾值策略來描述所研究的系統，假設x(t)為緩沖庫存B在t時刻的庫存水平，z(t)為M2的需求剩余，則

(3)

閾值控制規則如下：

(4)

其中,C≥0且為整數，代表閾值點(其單位為：件).

若內部系統M1處于運轉狀態，在z(t)低于閾值點C時,則其能生產最多的產品；在達到閾值點C時，內部系統生產率等于此刻的外協能力Q(t).而當內部系統M1處于故障狀態或B中在制品水平高于閾值點C時，內部系統處于停產狀態.

2 系統的目標模型

2.1 平均庫存成本模型

降低成本可以降低產品價格，提高企業的經濟效益，而庫存成本則是主要的影響因素之一.本文通過建立系統的目標模型來確定閾值點C，以便降低平均庫存成本.T時間段的平均庫存成本S(C)滿足下式：

(5)

式中，CB，Ch分別為單位庫存持有成本和缺貨成本，且CB≥0，Ch≥0.

根據式(3)和式(4)，針對任意時刻t，有

(6)

μ(t)可以通過式(4)確定，Q(t)則根據穩態的概率分布隨機獲得.因此,平均庫存成本S(C)又可表示為：

(7)

2.2 外協系統能力平均損失率模型

本文使用需求剩余z(t)來描述外協系統能力.根據式(3)可得：

(8)

E′=P(0)Qd+P(1)Qh

(9)

(10)

(11)

(12)

當z(t)≥0,即有庫存剩余時，緩沖庫存B能夠滿足M2的需求，這時M2的生產能力損失率就是0(利用率為100%)；當z(t)<0時，緩沖庫存B不能滿足M2的需求，此時就發生了M2生產能力的損失，且損失率為需求缺失在制品數量與生產能力總需求量的比值.

3 系統的數字仿真

3.1 仿真實現

設系統的運行時間為24 h，平均庫存成本為一天內的庫存成本.首先按照已建立的數學模型，在eM_Plant 10.1環境里建立仿真模型，然后利用其自帶的仿真語言SimTalk進行編程，最后進行仿真.系統工作的時間單位為s，數量單位為件，投料速度及工作狀態由所建數學模型的控制策略來確定.系統的相關運行參數如表1所示.

將時間延遲分別設置為20 min、25 min和30 min，閾值點C在[0,160]變化時各進行160次仿真.其仿真結果如表2所示.

表1 系統的相關運行參數

表2 閾值點C在[0,160]變化時仿真的結果

在Qh=Qmax，Qd、U值等按表3設置，而其他原始數據不變時，根據第一組數據(即時間延遲為20 min)進行160次仿真試驗.

表3 Qd、U等參數的設置 件/h

每次仿真實驗中設置不同的閾值點C和不同的時間延遲τ，并進行多次仿真.

3.2 仿真結果與分析

對仿真結果進行處理，可得表4所示的不同閾值點及不同運輸時間延遲的平均庫存成本及外協系統能力平均損失率.

特定生產條件(設最大生產能力U為200件/h，Qh=Qmax=80件/h，Qd=50件/h，運輸時間延遲為20 min)下，不同閾值點的平均庫存成本及外協系統能力平均損失率如表5所示.

從表4可看出：當C∈[0,15]，且C值不變時，隨著運輸時間延遲τ的變大，緩沖庫存的平均庫存成本與外協系統能力的平均損失率都有所下降；當C∈[16,160]，且C值不變時，隨著運輸時間延遲τ的變大，緩沖庫存的平均庫存成本與外協系統能力的平均損失率都有所升高.

表4 不同閥值點及不同運輸時間延遲的平均庫存成本和外協系統能力平均損失率

表5 特定生產條件下不同閾值點的平均庫存成本和外協系統能力平均損失率

從表4可看出：當C∈[0,15]時，在C值不變的情況下，隨著τ在一定范圍內增大，緩沖庫存中的需求剩余z(t)≥0出現的次數有所增加，而缺貨即z(t)<0出現的次數則逐漸減少，且因單位缺貨成本大于庫存持有成本，所以平均庫存成本會有所下降；運輸時間延遲τ的變大，使得庫存逐漸充裕，不但缺貨次數不斷減少，而且每次缺貨的量也在減小.分析可知：隨著運輸時間延遲τ的適當增大，最終所求的相同閾值點下平均庫存成本不斷減小；由于缺貨量不斷減小，因此外協系統能力的平均損失率也不斷減小.從表4還可看出：當C∈[16,160]時，在C值不變的情況下，庫存持有大于缺貨狀態的次數；若C值變大，庫存的持有量會隨著運輸時間延遲τ的增大而不斷增大，庫存成本也會增大.但同時，由于缺貨次數和缺貨量的減少，外協系統能力的平均損失率呈下降趨勢.

從表5可看出，在運輸時間延遲τ一定時，隨著閾值點C的不斷增大，平均庫存成本和外協系統能力的平均損失率都發生了變化，并且這種變化呈現出一定的規律性.所有閾值點C對應的目標值在一些區間內是相同的，且目標值在整個變化過程中存在若干極值點，可在這些極值點中獲得最優值.分析可知，表4和表5的最優值分別為C=120件和C=150件所對應的目標值.

4 結束語

本文使用統一建模語言構建系統模型，采用系統仿真的方法模擬在外協系統能力變動情況下，閾值點和運輸時間延遲對平均庫存成本和外協系統能力平均損失率指標的影響.對仿真結果的分析可知，選擇適當的閾值點和運輸時間延遲值，可以降低平均庫存成本和外協系統能力平均損失率.協作企業可綜合各外協企業能力的實際情況，建立類似的系統仿真模型，通過仿真來最大限度地降低庫存成本，完善對生產管理的決策，達到降低成本、增加效益的目的.