對邊簡支功能梯度板振動功率流特性分析

吳江海， 朱竑禎， 安 方， 殷學文

（1. 中國船舶科學研究中心 船舶振動噪聲重點實驗室， 江蘇 無錫214082； 2. 南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室， 南京210016）

0 引 言

功能梯度材料(FGM)是一種新型復合材料，在微觀上具有空間連續梯度變化的結構，可實現材料屬性在結構剖面上的連續梯度變化。 與傳統的層合材料相比，不同材料間的宏觀界面被消除了，從而可以通過人為設計材料內部的梯度變化有效實現內力、溫度等物理量沿厚度方向的漸變，達到緩解熱應力[1]、避免或降低應力集中的目的。

目前大部分有關功能梯度材料結構力學特性的研究集中在熱應力、彎曲、穩定性方面[2-5]，而針對功能梯度材料結構的振動方面的研究也是比較熱門的。曹志遠[6]采用與矩形板邊界條件相應的梁函數組合級數，求解得到適用于多種邊界條件的功能梯度矩形板的固有頻率與振型的解析解。 孫丹[7]等采用一階剪切變形理論，由頻散方程給出了波在功能梯度板中傳播的頻散及相速度曲線，分析了功能梯度材料指數對波傳播的影響規律。 Singh 等[8]采用殼單元研究了功能梯度板殼的非線性振動和屈曲問題。黃小林[9]等基于Reddy 高階剪切變形理論和廣義Karman 型方程，用雙重傅里葉級數展開法研究黏彈性地基上功能梯度材料板的自由和強迫振動特性，并討論了材料組份、平板尺寸及地基參數對動態響應的影響。 關于功能梯度結構的振動問題研究大多僅僅考慮材料的梯度指數對于振動模態的影響，而很少以此為出發點進一步分析結構中的振動能量分布。

振動實際上是一種能量的傳遞，振動功率流就基于結構上的力和速度，反應結構中能量的傳遞，從能量的觀點研究結構振動和噪聲問題。 平板功率流的研究已經較為成熟，在1978 年Goyder[10]就引入功率流的概念，以此分析有限大平板和梁的彎曲波、扭轉波以及功率流的傳播。 Seo 等[11]采用波傳播法求解了中高頻域內含加強筋的平板振動響應，基于功率流研究了平板內的能量分布，尤其對板與梁組合界面上波的反射與功率流的傳播做了詳細的分析。 張雄等[12]基于薄板有限元模型，研究了不同邊界條件下的薄板結構的振動功率流特性，并且繪制了功率流矢量場分布圖，以此反應振動源的位置以及振動能量的分布特征。 大部分平板振動功率流的研究都是關于各向同性板的分析，而對于功能梯度板的研究較少。 華中科技大學的張玲等[13]基于四邊簡支矩形板的解析解，采用模態疊加法，得到了四邊簡支功能梯度矩形薄板的橫向自由振動的位移， 結合振動功率流分析平板受簡諧載荷時板內的功率流傳播。

在彈性力學的經典理論中，對于矩形板的橫向振動來說，除了四邊簡支的邊界情況外，其余邊界下矩形板的振動均沒有解析解， 因此其振動問題是較難求解的。 有限元法可以突破對邊界條件的約束，但由于其單位位移函數不精確，因此往往需要將結構細化為大量單元，降低了計算效率[14]。 動剛度法通過引入滿足邊界條件的精確位移假設，只需將結構劃分為若干個單元，甚至一個單元便可進行精確求解[15]。 本文將動剛度法引入對邊簡支功能梯度矩形薄板的橫向振動及動態響應求解，在此基礎上研究功能梯度矩形板的振動功率流特性。

1 基于動剛度法的對邊簡支功能梯度矩形板面外振動

圖1 中為一個矩形薄板，沿x 方向板長為b，沿y 方向板寬為L，厚度為h。假設y=0 和y=L 兩條邊簡支，以“SSSS”表示，如圖中所示，而x=0，x=b 兩條邊的邊界條件可任意組合。 考慮薄板問題， 忽略剪切變形和轉動慣量的影響， 滿足Kirchhoff 假設。

圖1 功能梯度板Fig.1 Functionally graded plates

沿厚度方向變參數的功能梯度矩形板的面外自由振動方程為

考慮阻尼的影響，用EC=E （1+ jη ）代替原楊氏模量。 因此振動方程（1）簡化為

本文考慮簡諧激勵下的振動，則力和位移為隨時間t 呈簡諧變化的函數，考慮到y=0 和y=L 兩條邊簡支，因此將（2）式的解設為

將x=0 和x=b 兩邊界上的位移向量和力向量表示為:

其中的下標m 表示第m 項項數。

2 功能梯度板振動功率流

功率流是單位時間內所做的功。 假設作用于結構某處的激勵瞬時值為P（t ），相應的速度響應為V（t ），此時的瞬時輸入功率流值為P（t ）=F（t ）V（t ），而在工程中，在一段時間內的平均功率流比瞬時功率流更方便，因此有

對于簡諧激勵，外力與速度響應可寫為:F（t ）=Feiωt，V（t ）=Veiωt，從而輸入功率流為P=Re （F· V*）。能量輸入板結構后，會在板內傳播，單位時間內傳播的能量即為傳播功率流。 對于板上的每個點，有2個微元面垂直x 軸和y 軸，求出這兩個微元面上的功率流即可得該點的功率流矢量。 矢量模的大小為功率流大小，方向為能量傳播方向。 基于Kirchoff 假設的薄板的功率流強度表達式為:

式中:Qx和Qy為橫向剪力，Mxx和Myy為彎矩，Myx和Mxy為扭矩。 由上一節中， 施加外力后得到結構的響應，求得結構位移，結合內力函數一起代入（8）式，即可求得功率流。

3 算例分析

3.1 功能梯度矩形板模態分析

本文取文獻中的功能梯度矩形板模型，考慮板x 方向為1 m，y 方向為0.8 m，厚h=0.01 m，彈性模量與密度沿厚度方向以冪指數規律變化，泊松比、溫度不變。參考文獻中考慮為陶瓷-金屬功能梯度矩形板，其材料屬性按如下規律變化:

式中:Xm、Xc為金屬和陶瓷的材料屬性，k 為梯度指數（下文中不加特別說明時，梯度指數k 值取1）。 考慮Al/Al2O3功能梯度材料，則彈性模量Em=70 GPa，Ec=380 GPa，密度為ρm=2 707 kg/m3和ρc=3 800 kg/m3，泊松比νm=νc=0.3，結構阻尼η=0.001。

本文首先給出了功能梯度矩形板三種邊界下前八階固有頻率，四邊中有兩條為簡支邊界，故考慮另外兩條邊為固支、簡支、自由三種邊界條件。其中四邊簡支板在文獻[1]中給出了經典解，本文同時采用了ABAQUS 有限元進行了三種邊界條件的下模態分析，將兩者與本文級數解析解進行對比分析?？梢钥闯霰疚呐c文獻中的經典解吻合較好，文獻與本文的解均基于薄板理論基礎，而有限元中的解考慮剪切變形，故兩者存在一定的誤差。 本文與有限元的誤差較小，三種邊界條件中最大誤差為3.6%，優于文獻[13]中的最大誤差7.98%，說明本文中的方法均有較高的精確度。

表1 功能梯度矩形板固有頻率（Hz）Tab.1 Natural frequencies of an FGM rectangular plate (Hz)

表2 中給出了三種邊界條件下，不同梯度指數下功能梯度矩形板的前八階固有頻率。 從表中可以明顯地看出每種邊界條件下，隨著梯度指數增大，功能梯度板剛度增大，各階固有頻率值增大。 兩邊固支板的固有頻率最大，兩邊簡支次之，兩邊自由為最小。

表2 不同梯度指數功能梯度板固有頻率（Hz）Tab.2 Natural frequencies of an FGM plate with different graded indexes (Hz)

3.2 功能梯度矩形板輸入功率流分析

本文中作用力大小為1 N，作用點為板中心（0 m，0.4 m）處。 根據輸入功率流的公式，計算四邊簡支條件下功能梯度板的輸入功率流，并將其無量綱化，如圖2。 從輸入功率流曲線可以看出，輸入功率流的大小與激勵頻率相關， 在某些頻率附近出現峰值，這些峰值頻率分別與功能梯度板的固有頻率對應。前三個峰值為101 Hz、417 Hz 和595 Hz，從功能梯度板對應振型中看出，由于矩形板的對稱性，在奇數階模態下，板中點的速度最大，在偶數對稱模態中，中心點為振型節點，故輸入功率流在奇數模態時出現峰值。 其中LW=10lg （P/ P0），P0=1×10-12W。

圖2 功能梯度板輸入功率流Fig.2 The input power flow of an FGM plate

圖3 給出了不同梯度指數下功能梯度板輸入功率流隨頻率變化的曲線。 從圖中可以看出，隨著梯度指數的增大，輸入功率流的峰值也相應地向高頻移動，并且偏移量也隨著頻率的增大而增大。 這與表1 中不同梯度指數下功能梯度板的固有頻率變化一致，板的固有頻率增大，所以輸入功率流的共振峰也向高頻移動，梯度指數越大，板的剛度變化越快，固有頻率變化也就越大，偏移量也因此變大。 但輸入功率流幅值并沒有變化， 說明在相同作用力下，板中心的振動速度幅值一致，該點的機械阻抗并沒發生變化。

圖3 功能梯度板輸入功率流Fig.3 The input power flow of an FGM plate with different grade indexes

3.3 功能梯度矩形板功率流傳播分析

圖4 功能梯度板功率流矢量圖Fig.4 The power flow vector of an FGM plate

圖5 功能梯度板功率流流線圖Fig.5 The power flow streamline of an FGM plate

基于上面動剛度法與功率流公式，本文計算了功能梯度板內功率流矢量圖與流線圖。 為了驗證本文功率流計算的正確性，給出功能梯度板四邊簡支條件下在486 Hz 激勵下功率流矢量圖和流線圖。 從圖4 與圖5 可以看出，本文的結果與文獻中的經典解法、有限元解法的矢量圖與流線圖吻合，證明了本文方法的正確性。不同的邊界條件影響平板的剛度，即影響板內功率流的傳播方式。本文給出功能梯度板在486 Hz簡諧激勵下，兩短邊簡支，另外兩長邊簡支、固支、自由三種邊界條件下板內的功率流傳播矢量圖與流線圖，如圖6-7。 考慮該算例板具有高度的對稱性，本文給出矩形板的右半邊結果。 從圖中可以看出，三種邊界條件可以明顯地找出力作用點。 邊界條件影響了板內能量渦的分布。 固支邊界下，板內沒有渦結構，能量從力作用點直接流向簡支邊。 簡支邊界下渦結構均勻且較大，而自由邊界下渦結構較小且遠離力作用點。

為了研究功能梯度板振動功率流特性，本文分別給出了四邊簡支邊界條件下，在486 Hz 與912 Hz激勵下，不同梯度指數情況下板內功率流流線圖，如圖8-9 所示。 從圖中可以看出912 Hz 激勵下板內出現了復雜的能量漩渦，但仍能清晰地識別出激勵源位置，且流線圖能較好地識別板內結構的能量傳播路徑。 隨著指數的增大，板的剛度值變大，板內能量漩渦減小，能量沿單方向傳遞。

圖6 不同邊界條件下功能梯度板功率流流線圖Fig.6 The power flow streamline of an FGM plate with different boundary conditions

圖7 不同邊界條件下功能梯度板功率流矢量圖Fig.7 The power flow vector of an FGM plate with different boundary conditions

圖8 不同梯度指數功能梯度板功率流流線圖（486 Hz）Fig.8 The power flow streamline of an FGM plate with different graded indexes (486 Hz)

圖9 不同梯度指數功能梯度板功率流流線圖（912 Hz）Fig.9 The power flow streamline of an FGM plate with different graded indexes (912 Hz)

4 結 論

本文從功能梯度矩形板振動方程出發，利用動剛度法求解了結構固有頻率及振動響應，結合功率流定義，得到了兩邊簡支，另外兩邊簡支、固支、自由三種邊界條件功能梯度板振動輸入功率流曲線、功率流矢量圖與流線圖，對不同邊界條件與不同梯度指數的影響進行了分析研究。 結果表明，邊界條件與梯度指數的變化，會影響板的剛度變化，剛度越大，FGM 板的固有頻率越大，板內功率流漩渦結構減少，能量沿單方向傳遞。 通過本文研究得到了功能梯度板內功率流傳播特性，為功能梯度材料在結構振動噪聲控制、激勵源識別及傳播路徑分析提供了理論依據。