立足數(shù)學思想方法，整體架構(gòu)分數(shù)乘法中的算理和算法

朱春雷

教學內(nèi)容：蘇教版數(shù)學六年級上冊第28～29頁例1、例2、“練一練”、練習五第1～5題。

教學目標：

第一，使學生體會分數(shù)與整數(shù)相乘的含義，理解并掌握分數(shù)乘整數(shù)的計算方法，并能正確計算。

第二，使學生經(jīng)歷探究分數(shù)乘整數(shù)的意義，探索分數(shù)乘整數(shù)的計算方法，積累數(shù)學學習經(jīng)驗;培養(yǎng)觀察、分析、推理和概括等思維能力。

第三，培養(yǎng)學生數(shù)學學習的探究方法、探究意識和優(yōu)化意識，提高學生學好數(shù)學的信心，提高學習數(shù)學的興趣。

教學重點：理解并掌握分數(shù)乘整數(shù)的計算方法。

教學難點：理解分數(shù)乘整數(shù)的計算方法。

教學過程：

• 復習導入，激活舊知

師：什么是分數(shù)？

生：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫作分數(shù)。

[評析]“分數(shù)”和“乘法”都是學生學習分數(shù)乘整數(shù)的重要基礎(chǔ)，有研究顯示，學生從乘法的角度理解分數(shù)乘整數(shù)的意義并不困難。確實，學生對于乘法意義的理解已經(jīng)比較透徹。因此，本節(jié)課學生學習的認知難點不在于“乘法”，而在于“分數(shù)”，從分數(shù)的意義出發(fā)更能促進學生思考。教師準確把握學生的認知起點，緊扣本節(jié)課的關(guān)鍵點，從整體把握教材。

二、探索算理，歸納算法

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

出示例1：做一朵綢花要用米綢帶。

米

1米

師：米表示什么意義？

生：米是把1米看作單位“1”，平均分成10份，表示其中的3份。

師：的分數(shù)單位是什么？它有幾個這樣的分數(shù)單位？

生：的分數(shù)單位是，它有3個這樣的分數(shù)單位。

出示問題：小芳做3朵這樣的綢花，一共用綢帶幾分之幾米？

提問：求“一共用綢帶幾分之幾米？”就是求什么？

明確：求“一共用綢帶幾分之幾米？”就是求3個米是多少。

[評析]教師利用教材設(shè)計的情境引入新課，將計算教學與解決實際問題的有機結(jié)合。這樣有利于學生聯(lián)系現(xiàn)實問題情境，理解分數(shù)乘法的意義，體會學習計算是解決實際問題的需要。學生在分析題目時，教師引導學生主動將整數(shù)乘法的意義推廣到分數(shù)中。通過新舊知識的聯(lián)系，實現(xiàn)學生原有認知結(jié)構(gòu)的改造和新認知結(jié)構(gòu)的建立，促進了數(shù)學知識的融會貫通。教師還有意識地喚醒學生的舊知——分數(shù)單位，為后面對算理的理解做準備。

（二）探索算理

師：你能在直條圖上涂色表示3個米嗎？注意先涂第一個米，再涂第二個米，最后涂第三個米。

（學生在書上涂色）

師：看著你畫好的圖，現(xiàn)在你知道3個米是多少嗎？

生：米。

追問：從圖中我們可以直接看出結(jié)果，那要求“3個米是多少”應該怎樣列式呢？

生1：

生2：

師：對，可以用連加計算，我們在學整數(shù)乘法時知道，求幾個幾是多少也可以用乘法計算。分數(shù)加法我們很熟悉了，那這個算式是？

生：分數(shù)乘整數(shù)。

師：這就是今天我們要研究的內(nèi)容：分數(shù)乘整數(shù)。

（板書標題：分數(shù)乘整數(shù)）

師：的結(jié)果我們可以從圖上看出，那這個算式到底怎樣計算呢？

生1：就表示3個的和是多少，即=。

生2：，3和3相乘，分母是10。

師：為什么？

生2：我感覺是這樣算的。

師：那我們一起來研究一下這樣算有沒有道理。

師：和計算結(jié)果相等嗎？為什么？

生：相等，都是求3個是多少。

師：好，那我們可以用等號將這兩個算式連接。

（教師板書：=）

師：算下去，這是同分母分數(shù)的加法，怎么算？

生：分母不變，分子相加。

（教師板書：==）

師：分母上的3個3相加可以寫成什么？

生：3乘3。

（教師板書：====）

師：如果省去中間的推導過程，確實等于。

小結(jié)：我們可以根據(jù)同分母分數(shù)加法的計算方法推導出分數(shù)與整數(shù)相乘的計算方法。

[評析]教師安排學生在直條圖上涂色表示3個米，并且提示學生一個一個的涂，讓學生借助圖形直觀地感受分數(shù)與整數(shù)相乘的意義。計算時，有學生根據(jù)直覺提出了計算方法，教師沒有否定，并和學生一起進行了算法的探索，尊重學生的數(shù)學直覺思維。教師利用分數(shù)加法計算過程作為推導的依據(jù)，重點引導學生根據(jù)同分母分數(shù)加法的計算過程理解分數(shù)與整數(shù)相乘的計算方法，使算法的得出水到渠成。

（三）歸納算法

師：請同學觀察這道算式說說分數(shù)乘整數(shù)的計算方法。

算法：分子與整數(shù)相乘的積作分子，分母不變。

師：為什么3和分子3相乘，卻不和分母10乘？

生：如果和10乘，分母就變了，分數(shù)單位沒有變，所以不能和10乘。

師：確實，表示3個，它的分數(shù)單位是，現(xiàn)在要求3個是多少，就是求3乘“3個”是多少，分數(shù)單位始終沒變。

引導：我們從圖上可以看出，一朵綢花用了1個“3個”，2朵綢花用2個“3個”，3朵綢花用幾個“3個”？

生：3個“3個”。

師：對啊，3個“3個”是3×（3個），就是。看來從分數(shù)單位的角度也能理解分數(shù)乘整數(shù)的計算方法。

[評析]五年級時學生已經(jīng)學習了小數(shù)乘整數(shù)的計算，部分關(guān)注計算形式的學生可能會有疑惑：小數(shù)乘整數(shù)時，小數(shù)的每一個數(shù)位上的數(shù)都要和整數(shù)相乘，為什么分數(shù)乘整數(shù)中，分母不和整數(shù)相乘呢？教師在歸納完算法后，提出了一個巧妙的問題：為什么3和分子3相乘，卻不和分母10乘？引發(fā)學生深度思考：是把單位“1”平均分成10份，有這樣的3份，乘3就是9份，分數(shù)單位始終沒有變。“求3個是多少，就是求3個“3個”是多少。”看似拗口的一句話，學生卻能夠在教師的引導下順利地表述出來。可見，學生的數(shù)學思維在語言表達中得到了提升。計算教學的本質(zhì)無非是在計一計、算一算有幾個計數(shù)的單位，分數(shù)乘整數(shù)的計算無非就是在算一算有幾個分數(shù)單位。這部分的教學是本堂課最精彩的部分，學生從分數(shù)的本質(zhì)上理解了算法，在明晰算理的過程中進一步理解算法，也充分地體會到了算理的嚴密性和算法的合理性，教師讓算理和算法在反思中更通透。

（四）優(yōu)化算法

出示例2：小華做5朵這樣的綢花，一共用綢帶幾分之幾米？

師：求“一共用綢帶幾分之幾米？”就是求什么？

生：求5個米是多少。

師：觀察剛才兩個例子，思考分數(shù)乘整數(shù)表示什么含義？

生：表示求幾個幾分之幾是多少。

（板書：表示求幾個幾分之幾是多少）

師：你打算怎樣列式？

生：

師：我們一起來計算。

[板書：]

師：我們來觀察中，誰是分子？誰是分母？

生：3乘5是分子，10是分母。

師：分子上有兩個因數(shù)分別是3和5，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：分子和分母都有因數(shù)5。

師：那根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，我們可以將分子和分母同時除以5，這樣就在計算過程中約分了。

師：你覺得先計算再約分和先約分再計算，哪種更簡單？

生：先約分，再計算。

師：所以我們在計算分數(shù)乘整數(shù)時要注意觀察，如果可以先約分的，要先約分再計算，這樣計算起來比較簡便。

[評析]例2的教學重在優(yōu)化算法。過程約分和結(jié)果約分是計算中出現(xiàn)的兩種情況，這兩種情況沒有對錯，都能算出正確答案。但是，在計算過程中先約分，再計算，大大地降低了計算難度。教師通過兩種計算情況的對比分析，讓學生體會先約分，再計算的優(yōu)勢。在教學中要把握好教師“教”和學生“學”的分寸，學生的學習以有意義的接受學習為主，因此教師適時的引導非常關(guān)鍵。這里不需要刻意讓學生去探索發(fā)現(xiàn)過程約分的簡潔性，教師稍加引導，讓數(shù)學知識自然生成即可。處理好“教”和“學”的分寸，數(shù)學教學就能達到潤物無聲之效。

• 練習提升

通過“練一練”、練習五第1～5題，鞏固和提升所學知識。

• 全課總結(jié)

師：通過本節(jié)課的學習，談?wù)勀愕氖斋@。

[總評]《分數(shù)乘整數(shù)》是蘇教版數(shù)學六年級上冊《分數(shù)乘法》中第一課時的內(nèi)容。本節(jié)課是一節(jié)計算教學課。計算教學的重點就是：理解算理，掌握算法。何為算理？顧名思義，就是計算過程中的道理，是一種思維方式，它是客觀存在的規(guī)律。何為算法？算法是用文字表述的運算方法，它是根據(jù)算理對運算過程實施細則作出的具體規(guī)定，是人為規(guī)定的操作方法，它反映的是一種規(guī)范化的操作程序。下面是關(guān)于本節(jié)課的一些思考。

• 思考數(shù)學思想方法，從數(shù)學本質(zhì)上整體把握教材。數(shù)學思想方法和數(shù)學內(nèi)容是數(shù)學不可分割的兩個面，它們一暗一明，思想方法潛在統(tǒng)領(lǐng)，數(shù)學內(nèi)容有形外顯。數(shù)學教學就要基于思想方法，促進學生理解道理、掌握內(nèi)容。學生學習本節(jié)課的起點有兩個，一個是整數(shù)乘法的意義，即求幾個幾是多少可以用乘法計算;一個是分數(shù)的意義和基本性質(zhì)及分數(shù)加法運算。因此，教師把《分數(shù)乘整數(shù)》置于“乘法”和“分數(shù)”兩大知識框架中，找到新知與舊知之間的橋梁，利用有效的正遷移，來拓寬學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。教師還準確把握學生的認知起點，從分數(shù)的意義切入就是從數(shù)學的思想方法上思考，緊扣本節(jié)課的教學難點，從數(shù)學本質(zhì)上整體把握教材。
• 整體架構(gòu)算理和算法，有效演繹推理。學生只要知道算法就能根據(jù)形式化的步驟進行運算，所以有的教師只關(guān)注計算結(jié)果，在計算教學中往往忽視算理，重視算法。學生只是機械地掌握了計算程序，知其然，卻不知其所以然。賁友林老師說過：算理為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和正確性。算法為計算提供了快捷的操作方法，提高了計算速度。因此，算法和算理是相輔相成，缺一不可的。而算理和算法靠思想方法來統(tǒng)領(lǐng)，本節(jié)課，教師在數(shù)學思想方法的引領(lǐng)下，引導學生注重算理的探索、算法的歸納，讓學生經(jīng)歷探索分數(shù)乘整數(shù)的計算方法的過程，體會數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，積累數(shù)學學習經(jīng)驗，培養(yǎng)學生觀察、分析、推理和概括等思維能力。

第三，重視數(shù)學直覺，實現(xiàn)直覺思維的高效滲透。本節(jié)課中，計算時，教師問學生應該怎樣計算，有的學生聯(lián)想乘法的意義計算，而有的學生認為，教師追問為什么，學生說不出原由。顯然第二種答案也是對的，但是學生從沒有學習過分數(shù)乘法的計算法則，這種想法是從何而來的？這就是數(shù)學直覺思維。布魯納認為直覺就是一種直接的、非漸進的、以視覺形象為思維媒介的、對問題的飛躍式的直接把握和解決。數(shù)學直覺思維具有非邏輯性，這和美國科學家羅杰斯證實的人腦的右半球具有產(chǎn)生靈感、頓悟、聯(lián)想等特點相吻合。學生利用直覺思維省略了對具體細節(jié)的抽絲剝繭，從宏觀上把握并作判斷。彭加勒曾說：邏輯用于證明，直覺可用于發(fā)明。教師應該充分肯定學生利用直覺思維，鼓勵學生利用直覺思維猜想問題，使用邏輯思維驗證猜想，實現(xiàn)數(shù)學直覺思維的高效滲透。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]?[荷蘭]弗賴登塔爾著，陳昌平，唐瑞芬，等譯.作為教育任務(wù)的數(shù)學[M].上海：上海教育出版社，1995.

[3][美]布魯納著，邵瑞珍、張渭城等譯.布魯納教育論著選[M].北京：人民教育出版社，1989.