對坐標的曲面積分方法探討

張坤

摘要：多元函數積分學中，曲面積分是十分重要的內容之一。它不僅拓展了一元函數積分學，還有其特殊的實際應用。本文從對坐標的曲面積分的定義、投影面轉化以及高斯公式三個方面出發，結合計算方法的復雜性，通過典型例題探討對坐標的曲面積分的計算方法及應注意的問題。

關鍵詞：對坐標的曲面積分;高斯公式;典型例題

中圖分類號：G648?????文獻標識碼：B????文章編號：1672-1578（2019）28-0183-02

1.問題的提出

在物理應用中我們常常碰到求穩定流動（流速與時間無關）的不可壓縮流體在單位時間內流向有向曲面指定側的流體流量問題。根據數學模型的建立我們得到了解決這一問題方法即使用對坐標的曲面積分。模型的建立是解決問題的第一步，如何正確計算這個積分是我們第二步。下面我們通過一個典型例題來構建我們計算對坐標曲面積分的方法。

2.對坐標的曲面積分方法

定義直接計算法：采用對坐標的曲面積分的定義直接計算。直接計算法思想直接，但可能計算較復雜。

投影面轉化法：利用對坐標的曲面積分與對面積的曲面積分的聯系，借助轉化投影面，統一積分微元的方法。這一方法的特點是將對坐標的曲面積分化歸到一個投影面上，而這個投影面的二重積分計算難度不大。

高斯公式計算法：當曲面積分中的三個三元函數和積分曲面滿足高斯公式成立的條件時，我們可以使用高斯公式將對坐標的曲面積分轉化為計算三重積分。該方法能將對坐標曲面積分轉化為三重積分，計算難度有可能大幅度降低，但可能遇到不滿足高斯公式條件的情況，此時我們需要構造條件讓題設滿足然后進行轉化。

典型例題：計算對坐標的曲面積分∫∫∑（z2+x）dydz-zdxdy，其中∑是拋物面z=2（x2+y2）介于平面z=0及z=2之間部分的下側，如圖

解法一（定義直接計算法）：∑在yoz面投影為Dyz：12y2≤z≤2，-2≤y≤2

∑=∑1+∑2，∑1∶x=2z-y2，（y，z）∈Dyz，朝前，

∑2∶x=-2z-y2，（y，z）∈Dyz，朝后

則∫∫∑（z2+x）dydz=∫∫∑1 （x2+x）dydz+∫∫∑2（z2+x）dydz

=∫∫Dyz（z2+2z-y2）dydz-∫∫Dyz（z2-2z-y2）dydz=2∫∫Dyz2z-y2dydz

=2∫2-2dy∫212y22z-y2dz=4π

同理：∑在xoy面投影為Dxy∶x2+y2≤4，∑∶z=12（x2+y2），（x，y）∈Dxy，朝下

∫∫∑-zdxdy=∫∫Dxy-12（x2+y2）（-dxdy）=12∫∫Dxy（x2+y2）dxdy=12∫2π0dθ∫20r2·rdr=4π

所以原式∫∫∑（z2+x）dydz-zdxdy=∫∫∑（z2+x）dydz+∫∫∑-2dxdy=4π+4π=8π

此題使用定義法需要分別計算兩個對坐標的曲面積分，而且這兩個曲面積分再轉化為二重積分時積分計算復雜度較大，容易出現計算失誤，從而使整體計算錯誤。但此方法理解思路清晰簡明。

解法二（投影面轉化法）：利用兩類曲面積分之間的聯系，使用投影面轉換法。

∑在xoy面投影為Dxy∶x2+y2≤4，∑∶z=12（x2+y2），（x，y）∈Dxy，朝下，則∑上任意一點處切平面的法線向量（朝下）為（2x，2y，-2），

可得cosα=xx2+y2+z2，cosy=-1x2+y2+z2

∫∫∑（z2+x）dydz=∫∫∑（z2+x）cosαdS=∫∫∑（z2+x）cosα·1cosydxdy=∫∫∑（z2+x）·（-x）dxdy

原式∫∫∑（z2+x）dydz-zdxdy=∫∫∑（z2+x）·（-x）dxdy-zdxdy

=∫∫Dxy（（12（x2+y2））2+x）·（-x）dxdy-（12（x2+y2））dxdy

=∫∫Dxy（x2+12（x2+y2））dxdy=∫2π0dθ∫20（r2cos2θ+12r2）rdr=8π

此題使用投影面轉化法，首先需要將兩個積分部份化歸為一個，但是化歸為哪一個需要做出選擇，而選擇的方向決定了后面計算的難度，所以需要經驗判斷。其次要將其中一個坐標面的積分化為另一個必須要清楚兩個坐標面積分的轉換關系，此處將引入空間曲面與其在坐標面的投影面之間的關系，而此關系又是使用曲面上一點處切平面的法線向量搭建的，需要學生有多元函數微分學的基礎知識。第三轉化為一個坐標面的積分時仍然要考慮二重積分的計算方法。此方法有幾個非常關鍵但是又容易出錯的步驟，只有通過多練習才能熟練掌握。

解法三（高斯公式計算法）：由于此題設不滿足高斯公式中關于閉曲面的條件，則需要添加輔助面∑′∶z=2，x2+y2≤4（朝上），使得題設中∑+∑′成為一封閉曲面外側且分片光滑，兩個三元函數z2+x在-z封閉曲面所圍區域Ω內一階偏導存在并連續（其中Ω∶12（x2+y2）≤z≤2，x2+y2≤4），則

所以原式

此題使用高斯公式計算法，首先要判斷題設是否滿足高斯公式成立的條件，由于不滿足光滑曲面封閉，添加輔助面成為關鍵，特別要注意添加輔助面的側，這個側與題設的曲面的側結合要構成封閉曲面的外側，如果不是外側是內側那么要通過加符號改面側度。其次添加的輔助面的曲面積分應方更計算，否則使用此方面不僅沒有簡化計算，反而增加了計算步驟使得計算過程更加復雜。

2.總結

我們可以看到三種方法都能有效的將對坐標的曲面積分計算完成，定義直接計算理解簡單清晰但轉化為二重積分后計算復雜度高，而投影面轉化法和高斯公式計算法理解和構造有難度但轉化為二重積分后計算復雜度低。在解決實際問題進行對坐標的曲面積分計算時，不能只單純掌握一種方法，幾種方法配合使用才能在理解和計算之間找到最適合問題的綜合方法。

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