一道機械能守恒問題引發的思考

潘文清

(南京市金陵中學 江蘇 南京 210016)

機械能守恒定律是很多物理現象遵循的重要規律，因此被列為高中物理的重要內容，也是高考的必考內容之一.機械能守恒定律涉及的問題一般難度大，較為靈活，綜合性強，解題過程復雜，從而成為高中物理學習的重點和難點.

筆者在學習過程中發現，應用機械能守恒定律解題需要明確以下3點：(1)研究對象是什么，即哪個物體或者哪些物體組成的系統機械能守恒；(2)運動過程是什么，即上述研究對象在哪個運動過程中機械能守恒；(3)運動狀態是什么，即上述運動過程的初始運動狀態和結束運動狀態是什么.值得注意的是，機械能中的勢能(重力勢能和彈性勢能)與位置有關，而機械能中的動能與速度有關，因此這里的運動狀態指位置和速度.

1 典型問題

圖1 例1情境圖

【例1】圖1所示輕質彈簧的勁度系數為κ，其一端固定于水平地面，另一端與質量為mA的物塊A相連并在高度h1處平衡靜止不動，質量為mB的物塊B從h2的高度無初速度自由下落至高度h1，在高度h1處與物塊A接觸后兩物塊粘連在一起并獲得共同的速度(可以認為這一階段是在瞬間發生的)，然后兩物塊繼續向下運動并壓縮彈簧，求彈簧的最大壓縮量.

根據題意，分析出本題的3個運動過程和4個運動狀態(位置和速度)，如圖2所示，其中狀態2為物塊B剛剛接觸物塊A的瞬時，此時物塊A的速度仍為零，狀態3為物塊B與物塊A粘連在一起，并獲得共同速度的瞬時.

圖2 例1情境的狀態分析

(1)運動過程Ⅰ：狀態1-狀態2.這一過程中物塊B為自由落體運動，只有重力做功，其機械能守恒，也就是說，物塊B在運動過程Ⅰ中狀態1的機械能和狀態2的機械能相等，于是有

(1)

解得

(2)運動過程Ⅱ：狀態2-狀態3.根據題意，這一過程是瞬間發生的，故兩物塊的位置沒有變化，但兩物塊的速度均有突變，假設vA3=vB3=v3，則物塊A的速度由零突變為v3，物塊B的速度由vB2突變為v3，因此無論是物塊A和彈簧組成的系統的機械能，還是物塊B的機械能，亦或是物塊A、彈簧以及物塊B組成的系統的機械能都不守恒(兩物塊之間的接觸力做功).但由于這一過程是瞬間發生的，所以兩物塊組成的系統的動量守恒，也就是說，兩物塊組成的系統在運動過程Ⅱ中狀態2的動量和狀態3的動量相等，于是有

mBvB2=mAv3+mBv3

(2)

解得

(3)運動過程Ⅲ：狀態3-狀態4.這一過程中兩物塊一起向下運動壓縮彈簧，重力和彈力做功，兩物塊和彈簧組成的系統機械能守恒，也就是說，兩物塊和彈簧組成的系統在運動過程Ⅲ中狀態3的機械能和狀態4的機械能相等，于是有

(3)

其中x為狀態3(亦為狀態1)彈簧的壓縮量，根據物塊A的重力和彈簧的彈力相等，有mAg=κx，得

將其代入上式，解得

和

最后得彈簧的最大壓縮量

δ=x+a=

(4)

2 幾點思考

2.1 常見錯誤

求解本題的一個常見錯誤就是認為兩物塊和彈簧組成的系統在全過程中機械能守恒，也就是說，兩物塊和彈簧組成的系統在全過程中狀態1的機械能和狀態4的機械能相等，于是有

(5)

解得

和

最后得彈簧的最大壓縮量

δ=x+a=

(6)

產生錯誤的原因是沒有注意到在運動過程Ⅱ中兩物塊之間的接觸力做功使得兩物塊和彈簧組成的系統的機械能減少而不守恒.為了避免這一錯誤，需要分析物塊在運動過程中有沒有速度突變.

2.2 舉一反三

在上述典型問題中，如果沒有物塊A(即mA=0)，物塊B在高度h1處與彈簧接觸并粘連在一起，其他條件不變.將mA=0代入式(4)和式(6)得到同樣的結果.事實上，由式(2)可知物塊B的速度沒有突變，物塊B和彈簧組成的系統在運動過程Ⅱ中機械能守恒，從而物塊B和彈簧組成的系統在全過程中機械能守恒.

在上述典型問題中，如果h2=h1，(即物塊B在高度h1處靜止釋放)，其他條件不變.將h2=h1代入式(4)和式(6)得到同樣的結果.事實上，這時就沒有運動過程Ⅰ，將vB2=0代入式(2)得vA3=vB3=v3=0，物塊A和物塊B均沒有速度突變，所以兩物塊和彈簧組成的系統在運動過程Ⅱ中機械能守恒，從而兩物塊和彈簧組成的系統在全過程中機械能守恒.

2.3 類似問題

【例2】如圖3所示，長為L的細繩一端固定在O點，另一端系一質量為m的小球，開始時小球位于A點，OA與水平線的夾角為30°且OA=L.若將小球由A點靜止釋放，求小球運動到最低位置的速度.

圖3 例2情境圖

根據題意，分析出本題的3個運動過程和4個運動狀態(位置和速度)，如圖4所示.

圖4 例2情境的狀態分析

其中狀態2為細繩即將繃緊前的瞬時，此時小球的速度向下，狀態3為細繩剛剛繃緊的瞬時，此時小球的速度變為垂直于細繩，狀態4為小球到達最低位置的瞬時.運動過程Ⅰ(狀態1-狀態2)為小球的自由落體運動，小球機械能守恒；運動過程Ⅱ(狀態2-狀態3)小球的速度方向發生突變，小球機械能不守恒，但小球在垂直于細繩方向的動量守恒；運動過程Ⅲ(狀態3-狀態4)為小球小球以O為圓心、L為半徑的圓周運動，小球機械能守恒.具體計算請讀者自己完成.

3 結束語

總之，應用機械能守恒需要明確哪個(或哪些)物體組成的系統在哪個運動過程的初始運動狀態與結束運動狀態的機械能相等.此外，如果物體的運動速度(大小或方向)在運動過程中有突變，則該物體在這一運動過程的機械能一定是不守恒的，包含該物體在內的系統的機械能在這一運動過程也一定是不守恒的.需要注意的是，如果物體的運動速度在運動過程中沒有突變，一般不能得出機械能一定守恒的結論.