雙耦合諧振子共振特性研究

翟立朋 張俊武

(西安交通大學大學物理國家級實驗教學示范中心 陜西 西安 710049)

程 琳

(西安工程大學理學院 陜西 西安 710048)

常凱歌 童 童 王雪冬

(西安交通大學大學物理國家級實驗教學示范中心 陜西 西安 710049)

共振現象在聲、光、無線電、原子物理、核物理及工程領域非常普遍[1]，是指在某個特殊頻率下系統對外界激發的增強響應，這個特殊的頻率通常稱為系統的共振頻率.早在1602年伽利略研究琴弦振動時就發現了共振現象[2].最簡單的共振現象可以用簡諧振動模型來描述，其幅頻特性曲線是一個對稱的洛倫茲線型[2]，外驅動力頻率接近共振頻率時，系統振動的振幅達到最大，達到位移共振，這種共振現象在大學物理理論課上有比較完整的研究[3,4]，在大學物理實驗教學中常通過波爾共振實驗來研究[1].Ugo Fano于1961年在研究原子的自電離態時發現了一類具有反對稱線型的新型共振特性[5]，這打破了大家對共振現象的認識，這種反對稱的新型共振被稱為Fano共振.但在大學物理和物理實驗教學中，目前針對這種反對稱的共振特性涉及較少，所以本文詳細研究了雙耦合諧振子模型的共振原理及共振特性，并提出了一種可以用于大學物理實驗教學的共振儀，以補充大學物理和物理實驗教學對共振特性的認識和研究.

1 雙耦合諧振子共振原理

如圖1所示為雙耦合諧振子模型，模型中有A和B兩個振子分別連接κ1和κ2兩個彈簧，彈簧κ1左端連接周期性的外驅動力Feiωt.

圖1 雙耦合諧振子模型

(1)

其中x1和x2分別表示A和B兩個振子的位移，將式(1)整理之后得到

γBA(κ2)x2=aeiωt

(2)

(3)

式(2)和式(3)中的耦合系數都是只跟彈簧κ2有關的常數，所以兩個耦合系數應該是一樣的，耦合系數可以簡化為

γAB(κ2)=γBA(κ2)=γ

(4)

用待定系數的方法求解由式(2)和式(3)組成的方程組，即可以得到振子A和B的運動特性.

因為A和B兩個振子都做受迫振動，所以在振動穩定之后，兩個振子都做角頻率為ω的周期性運動，方程組解的形式表示為

x1=A1(ω)eiωt

(5)

x2=A2(ω)eiωt

(6)

式(5)、(6)中的指數部分只代表位移是周期性的振動形式，而不包含初相位信息，振子的振幅和相位信息都包含在A1(ω)和A2(ω)中.將式(5)和式(6)所表示的解的形式返回到式(2)和式(3)組成的方程組，進行待定系數求解可以得到

A1(ω)=a·

(7)

A2(ω)=a·

(8)

從式(7)、(8)所表示的A1(ω)、A2(ω)兩個物理量可以看出，A1(ω)、A2(ω)都是復數形式，也正好說明了其中包含了振子做受迫振動的振幅和相位信息.所以我們想要研究幅頻特性和相頻特性，只需要對式(7)、(8)進行分析即可.

A1(ω)和A2(ω)的實部|A1(ω)|和|A2(ω)|代表了振動的振幅信息，即可研究其幅頻特性.如果將振幅的相位信息表示為eiφ1(ω)和eiφ2(ω)，則A1(ω)和A2(ω)還可以表示為

A1(ω)=|A1(ω)|eiφ1(ω)

(9)

A2(ω)=|A2(ω)|eiφ2(ω)

(10)

將式(9)、(10)相除，并根據歐拉公式，可以得到

ei(φ1-φ2)=eiΔφ=cos Δφ+isin Δφ=

(11)

則有

(12)

(13)

則可以得到兩個振子的相位差為

(14)

這樣我們根據式(7)、(8)就可以得到振子A和B的幅頻特性曲線，根據式(14)就可以得到相頻特性曲線.如圖2中的(a)和(b)分別表示的是雙耦合諧振子模型的幅頻特性和相頻特性曲線.

圖2 雙耦合諧振子的幅頻特性和相頻特性曲線

從幅頻特性曲線可以看出，A和B兩個振子都對應ω1附近和ω2附近的兩個共振峰，說明外驅動力的頻率與彈簧振子的共振頻率一致時，振動幅度最大，諧振子系統出現共振現象.但是振子A(受到外驅動的振子)在ω2附近的共振峰呈反對稱分布，即Fano共振特性.但此處的共振強度相對于普通共振來說要小很多，所以在常規實驗中不太容易觀察到，也沒有得到足夠的重視.

將此處的反對稱共振曲線放大，如圖3所示，可以看出當外驅動力的頻率等于ω2時，振子A的振幅出現一個最小值，這是因為彈簧κ1受外驅動力以頻率ω2對振子A進行作用時，彈簧κ2帶動振子B剛好達到共振狀態，使得κ1和κ2對振子A的作用剛好處于反向同步，作用力恰好相互抵消，使振子A剛好達到穩定靜止狀態，從而出現了振幅最小值，這也是產生非對稱共振譜的原因.

圖3 Fano共振處的幅頻特性曲線

如圖2(b)所示，在外驅動力頻率為ω2處，振子A和B之間的相位差產生突變，呈反對稱線型，即Fano共振的相頻特性曲線，與我們之前研究的傳統共振中的相頻特性[1]有很大的差異.

2 雙耦合諧振子共振特性

雙耦合諧振子共振特性受兩個振子的阻尼系數和耦合系數的影響.本文將具體分析振子A的阻尼β1，振子B的阻尼β2和兩個振子之間的耦合系數γ對雙耦合諧振子共振特性的影響.

如圖4(a)、(b)分別為振子A，B的幅頻特性曲線隨阻尼β1的改變而產生的變化.從圖中可以看出，隨著β1的增大，ω1附近的共振峰強度明顯減弱，共振峰寬度逐漸增大.對于振子A來說，ω2附近的反對稱共振峰的最小值基本沒有改變，極大值有微弱的減小趨勢，但此處共振峰的線型和半高寬都沒有變化；對于振子B來說，ω1處的共振峰強度是有明顯減弱，ω2附近的共振峰沒有任何變化.這說明β1對ω1附近的共振峰的強度有明顯的調控作用，但對ω2附近共振峰基本沒有影響.

圖4 阻尼β1對幅頻特性曲線的調控

如圖5(a)、(b)所示分別為振子A，B的共振特性隨著振子B的阻尼系數β2的改變而產生的變化.隨著β2的增大，兩個振子在ω1處的共振峰強度、位置和半高寬都沒有變化，而振子A，B在ω2附近的共振峰強度逐漸減小，振子A在此處反對稱的振幅最小值從零開始逐漸增大.β2=0時振子B處于無阻尼的理想狀態，ω2處的反對稱最低值為零，β2越大反對稱的最低值和共振峰值越來越接近，Fano共振現象也越來越不明顯，直至共振現象逐漸消失.所以想要觀察到明顯的反對稱共振線型，振子B的阻尼系數β2應該盡量的小.

圖5 阻尼β2對幅頻特性曲線的調控

如圖6(a)、(b)所示分別為振子A和B的幅頻特性曲線隨耦合系數γ的改變而產生的變化.當耦合系數γ為零時，振子A退化為單個諧振子，只有處于ω1附近的一個共振峰，而振子B沒有振動，振幅一直為零.隨著耦合系數γ的逐漸增大，對于振子A來說，ω1附近的共振峰強度逐漸增強并產生明顯紅移；ω2附近逐漸產生反對稱的共振峰，反對稱共振的最低點逐漸降低為零，共振峰的強度逐漸增強并產生明顯藍移，共振峰的半高寬也逐漸增大，反對稱線型也越來越不明顯.對于振子B來說，隨著耦合系數γ的逐漸增大，ω1附近的共振峰強度逐漸增強并產生明顯紅移，ω2附近的共振峰強度也逐漸增強并產生明顯藍移.

圖6 耦合系數γ對幅頻特性曲線的調控

對于雙耦合諧振子模型的相頻特性，從式(14)可以看出，相頻特性只受到振子B的阻尼系數β2的影響，與β1和γ無關.如圖7所示為振子A，B之間的相位差隨阻尼β2的改變而產生的變化情況，兩個振子之間的相位差在振子ω2處產生突變.隨著阻尼系數的增大，相位突變點沒有改變，這也是由式(14)決定的，但相頻譜線的半高寬隨著耦合系數的增大而逐漸展寬.

圖7 阻尼β2對相頻特性曲線的調控

3 雙耦合諧振子共振儀

基于本文對雙耦合諧振子共振特性的分析，本文提出一種雙耦合諧振子共振儀，可用于大學物理實驗教學，以填補學生對反對稱線型共振現象的認識.

如圖8所示為共振實驗儀的模型圖，本文提出的共振實驗儀由驅動系統、測量系統和控制系統3個系統構成.

圖8 雙耦合諧振子共振儀示意圖

控制系統設置外驅動力的參數和測量后的數據記錄.在驅動盤的圓周邊緣均勻刻上一周狹縫(示意圖中只畫出了4條狹縫)，稱為驅動相位測量尺.驅動電機帶動驅動盤轉動，在狹縫通過左側光電門的過程中，光電門可根據狹縫的長度和通過狹縫的數目確定外驅動的相位，這與目前大學物理實驗中用到的波爾共振儀類似[6].外驅動通過驅動桿傳動到測量系統的驅動振子，使驅動振子產生周期性振動，驅動振子通過彈簧κ1和κ2分別驅動振子A和B振動，為了測量振子A和B振動的振幅和相位，在每個振子上加一個光電門，光電門經過下方刻有狹縫的位移相位測量尺，光電門根據通過測量尺的狹縫數目確定受迫振動的振幅、相位和振動頻率等參數，最后將測量結果回傳到控制系統，得到我們想要的振子A，B的振幅和相位信息，從而描述雙耦合諧振子模型做受迫耦合振動的幅頻特性和相頻特性.

4 結論

本文詳細推導了雙耦合諧振子做受迫振動的幅頻特性和相頻特性，在外驅動頻率等于振子B的共振頻率ω2時，振子A會產生反對稱的Fano共振.阻尼系數β1和β2分別調控ω1和ω2附近的共振強度，耦合系數γ對兩個位置的共振峰都有影響；相頻特性曲線只受阻尼系數β2的調控，阻尼系數β2和耦合系數γ可以調控Fano共振的幅頻特性和相頻特性.想要觀察到明顯的Fano共振現象，阻尼β2應該盡量的小.本文所提出的雙耦合諧振子共振儀可以同時測量反對稱的Fano共振特性和常規對稱的共振特性.