均勻帶電半球面軸線上的電勢和電場強度

林建福

(金秀瑤族自治縣民族高中 廣西 來賓 545799)

先用積分法求出均勻帶電半球面軸線上的電勢表達式，然后利用電場強度與電勢的關(guān)系求出軸線上電場強度的表達式，并用所得表達式求出球心處的電勢和電場強度.

1 均勻帶電半球面軸線上的電勢

設(shè)有一半經(jīng)為R的均勻帶電半球面，電荷面密度為σ，現(xiàn)求出其軸線上的電勢表達式.如圖1所示，在軸線上任取一點p，則p點的電勢可以表示為如下積分

(1)

積分遍及整個半球面.

圖1 均勻帶電半球面

采用球坐標形式，式(1)化為

即

所以

(2)

由于z=0是式(2)的一個奇異點，對于球心處(z=0)的電勢將于下文給出.

當z≥-R且z≠0時

(3)

當z<-R時

(4)

上述式(3)、(4)即為均勻帶電半球面軸線上除去球心處(z=0)任意一點的電勢表達式.

2 均勻帶電半球面軸線上的電場強度

由于電場強度E等于電勢梯度的負值[1]

E=-V

設(shè)均勻帶電半球面軸線上電場強度為E，則

當z>-R時，由式(3)有

所以

(5)

當z<-R時，由式(4)有

所以

(6)

上述式(5)、(6)即為均勻帶電半球面軸線上除去球心處(z=0)的電場強度的表達式.

由于電場強度的法向分量在帶電面兩側(cè)存在突變[2]，對于z=-R處即半球面所在處的電場強度并不能直接由上述式(5)、(6)給出，下面我們單獨求出z=-R處的電場強度.設(shè)從z=-R所在處上下兩邊趨于該點時，電場強度的極限分別為E+和E-，則z=-R處的電場強度為[3]

由式(5)、(6)可分別求出

因此z=-R處的電場強度為

(7)

3 均勻帶電半球面球心處的電勢與電場

由于z=0是式(2)、(3)、(5)的奇異點，故不能直接應(yīng)用這些式子求出z=0處的電勢和電場強度，現(xiàn)直接應(yīng)用積分法求出z=0處的電勢和電場強度.

球心處的電勢

球心處的電場強度

作為對比，我們再根據(jù)式(3)、(5)，采用取極限的方法求解z=0處的電勢和電場強度.

球心處的電勢

球心處的電場強度

可見，兩種方法求出的球心處的電勢和電場強度是一致的.球心處的電勢和電場強度分別為

和