基于半定規劃的無源跟蹤最佳傳感器選擇*

蔡立平，左 燕*，王文光

（1.杭州電子科技大學自動化學院，杭州 310018；2.北京航空航天大學電子信息工程學院，北京 100191）

0 引言

相比有源定位系統，無源定位系統具有不主動發射電磁信號、生存能力強、隱蔽性能好、探測作用距離遠等重要優點，近幾十年來受到國內外相關學者和工程技術人員的廣泛關注和深入研究［1-2］。多站無源定位系統通過多個觀測值獲取更多的量測信息，通過多站協同提高目標定位精度［3］。由于許多被動式傳感器（如紅外、聲吶等）都只能得到角度信息，研究基于角度信息的無源協同定位跟蹤具有實際意義。

基于角度信息的定位系統目標估計誤差與目標和傳感器之間的幾何關系相關，在接收站量測噪聲的概率分布相同的情況下，適當選擇不同位置的傳感器可以提高系統對目標的跟蹤性能。王國剛［4］在忽略地球曲率及兩觀測站指向誤差，假定目標到基線的距離一定且基線與X 軸平行的情況下，推導了二維空間相對誤差幾何稀釋度（GDOP）的具體表達式，得出了GDOP 與傳感器精度及其布站方式有關。Levanon［5］給出了二維空間特殊情況下的最優布站，即當目標位于正n 邊形的中心時，多站位于正n邊形的頂點。修建娟［6］重點研究了二維空間的交會角，推導了基線長度一定時最優交會角，給出了目標速度較慢的情況下的最優布站條件。徐國訓［7］針對接收站到目標距離恒定和角度恒定兩種情況，將Fish 信息矩陣（FIM）行列式最大作為指標進行了分析，給出了二維空間中四站及以下的最優構型，并給出了兩站和三站在各站到目標距離相同的限制條件下的角度關系的解析解。

上述研究主要集中在二維空間，得到的幾何分析用于指導傳感器靜態布站。本文從基于角度信息的無源定位系統協同跟蹤性能的角度出發，推導三維空間下目標的CRLB，分析CRLB 指標與傳感器和目標之間關系。以CRLB 行列式最大值為優化指標，考慮傳感器自身的探測能力等實際約束，基于目標狀態的一步預測動態選擇最佳傳感器組合進行協同跟蹤。采用SDP 的方法將上述組合優化問題轉換為凸優化問題，進行優化求解，仿真結果驗證了算法的有效性［8-10］。

1 問題描述

假設M 個被動傳感器組成的陣列對P 個機動目標進行定位跟蹤，利用多站純角度（AOA，Angel of Arrival）量測值估計三維空間內的機動目標的狀態（位置、速度）。為滿足基于AOA 的多站被動跟蹤問題的可觀測性，至少需要保證兩個及以上的被動傳感器跟蹤一個目標。每一時刻，從M 個被動傳感器中動態選擇m 個最佳傳感器對每個機動目標進行定位跟蹤（m≥2，且m 值受融合處理中心傳輸通信信道的制約），提高目標的跟蹤性能（如圖1 所示）。

1.1 運動模型

由于目標是機動的，不能用一個固定的模型來描述目標的運動特性。通常可以把機動目標的運動近似為多個模型的組合，如勻速（CV）模型、勻加速（CA）模型、勻角速度轉彎（CT）模型、Singer 模型、當前統計模型等。

圖1 多站被動傳感器協同定位跟蹤

k 時刻每個機動目標t 的運動方程可描述為

1.2 量測模型

2 純角度量測參數估計下CRLB

目標跟蹤定位的性能通常用CRLB 或者FIM（與誤差橢球相關）來進行評估，基于AOA 多站被動跟蹤下對目標t 估計的CRLB 可寫為

3 基于CRLB 的行列式最大最小化的傳感器動態選擇

3.1 傳感器選擇優化模型

3.2 基于半定規劃的傳感器選擇

根據舒爾補不等式［8］

可以得到：

根據下三角矩陣的性質對目標函數進行變換得到：

此時優化問題轉化成如下半定規劃（SDP）問題：

用以上方法得到最佳的傳感器后再基于所選擇的傳感器采用IMM［9］跟蹤算法對多個機動目標進行跟蹤。

4 仿真及分析

圖2 傳感器位置分布圖

采用CV、CA、CT 3 種模型作為參考模型來跟蹤機動目標，目標1 和目標2 模型的先驗概率和Markov 轉移概率均設為相同，即

圖3 不同算法下最佳傳感器選擇結果

將SDP 算法和基于松弛算法和隨機分配進行仿真比較分析，圖3 給出基于松弛算法的傳感器分配結果和基于SDP 算法的傳感器分配結果，不同的算法獲得的最佳傳感器集合不同。

為了進一步分析傳感器-目標幾何關系對傳感器選擇的影響，采用定位精度的幾何稀釋（GDOP，Geometrical Dilution of Precision）指標來描述定位誤差的三維幾何分布，其表達形式如下：

圖4 目標1 傳感器選擇和GDOP 等值線圖

圖5 目標2 傳感器選擇和GDOP 等值線圖

圖4 和圖5 分別給出某一時刻目標1 和目標2對應的GDOP 等值線圖，圖4 和圖5 顯示當目標在傳感器陣列平面上的投影點與可探測被動傳感器位置在一定程度上靠近時，GDOP 定位誤差減小，幾何關系明顯改善。然而受高度影響，無法得到最佳傳感器位置與目標實際高度之間的最優幾何關系。

圖6 目標位置RMSE

圖6 給出了各目標位置均方根誤差曲線，對于目標1，基于SDP 的傳感器選擇算法和基于松弛的傳感器選擇算法的跟蹤性能，明顯優于隨機傳感器選擇算法；對于目標2，基于SDP 的傳感器選擇算法跟蹤性能，明顯優于基于松弛的傳感器選擇算法和隨機傳感器選擇算法。

5 結論

本文針對三維空間下機動目標，提出了一種基于半定規劃的無源協同跟蹤下最佳傳感器選擇方法。首先，推導了三維空間下目標的CRLB，分析了CRLB 指標與傳感器和目標之間關系。以此，構建基于CRLB 的行列式最大最小化指標的傳感器選擇模型。采用SDP 方法將上述組合優化問題轉化成凸優化問題，并進行優化求解。仿真結果顯示以CRLB 的行列式作為指標，通過改善傳感器和目標之間的幾何關系可以提高跟蹤性能。與松弛算法和隨機選擇算法兩種算法進行比較研究，基于SDP 的傳感器選擇可以進一步提高無源協同跟蹤的精度。