談數學教學的三重意蘊

莊志紅

摘要

設計與實施單元教學的第一課，有助于培養學生數學的“整體觀”，發展學科核心素養。教學實施中重視知識內容的生長，知識形式的關聯，知識旨趣的積淀是把握單元教學第一課設計的核心。

關鍵詞

單元第一課 知識內容 知識形式 知識旨趣

“單元教學設計”是從提升學生數學核心素養的角度出發，對相關教材內容進行統籌重組優化，設計一個相對獨立的教學單元，以突出數學內容的主線以及知識間的關聯性，其目的和價值在于改變偏重零碎知識的教學，獲得完整的知識和經驗。這類設計遵循的是總分總的程序性原則，首先是呈現整個單元的總體知識概貌，然后按知識的發展順序實施課時教學，最后是更全面地建構單元知識框架和綜合應用。在教學中，教師普遍對章節的第一課不夠重視，往往將其當作傳統的新課教學，就知識而教知識，割裂了知識間的紐帶，缺乏整體視角。那么，單元第一課需要什么樣的知識教學？如何進行單元第一課的教學呢？

一、單元第一課教學的意義

俗話說“良好的開端是成功的一半”，設計單元教學前的第一節課是非常有價值的，它就像是一部劇情介紹，向學生們娓娓道來地呈現出整個教學單元內容從哪里來，到哪里去，有什么思想方法，能生成哪些活動經驗等。單元教學的第一課的實施有助于培養學生的整體觀，讓學生看到樹木的時候也看到森林。比如蘇科版教材中的第一章“數學與我們同行”，它的設計凸顯了作為初中數學“大單元”的第一課的作用與價值，給學生呈現了整個初中數學的“結構”：經歷對現實生活中具體事例的觀察與思考，體會數學來源于生活，感受在具體情境中從數學的角度發現和提出問題，在參與數學活動中體會數學的基本思想和思維方式，積累活動經驗。

這樣的結構是一以貫之的，因為它就是由“數學外部的現實情境、數學內部的內容領域、數學內外的綜合應用”組成的數學過程。比如在蘇科版教材體系中關于“圖形與幾何”這個課程內容，設置的單元模塊有“軸對稱圖形”“中心對稱圖形”“對稱圖形”“圖形的全等”“圖形的相似”，這些單元模塊教學的第一課都是通過具體實例抽象出平面幾何圖形，給出數學化的概念，通過折紙、畫圖、操作、猜想等活動感悟其數學本質即幾何屬性，再通過對已有認知的幾何圖形的直觀觀察，初步完成以共同屬性為“支架”的知識框架。

二、單元第一課教學的實施路徑

單元第一課的設計與實施要呈現“三重三輕”，即重情境導入、輕直奔主題，延知識內容生成之“長”;重方法養成、輕技能訓練，展知識形式關聯之“寬”;重知識復演、輕知識灌輸，求知識旨趣積淀之“厚”。這是把握單元教學第一課設計的核心。筆者擬以“函數”單元第一課教學為例加以說明。

1.重情境導入，把握知識內容的生長。

知識內容是知識的實質內容，為知識本質最核心的成分。數學知識來源于生活，數學知識的衍生遵循從生活到數學再到生活的順序。因此在單元教學的第一課的教學設計中可以體現從“零數學化”到“半數學化”到“全數學化”最后到“數學在實際中的應用”這樣一個歷程，重演知識的生長過程。

在“零數學化”中可以設計諸如觀察加油站儀表盤上跳動的數字等生活情境，讓學生說一說：你看到了哪些數學的“量”，它們有什么關系，這些“量”都有什么變化規律。在這個過程中促進學生調動已有的生活經驗，專注于在儀表盤上去發現數量之間的關系和變化規律。只是這個環節在語言表達上都是生活化的語言，所以稱這個階段為“零數學化”。

“半數學化”的含義是指在活動中出現數學的語言和符號化的表達。可以設計這個階段的情境，諸如蘇科版第六章章頭圖中呈現的一列高鐵從甲地駛往乙地，學生會很自然地寫出行駛的路程s、時間t、速度v之間的關系 ，如果此時給出速度v=200km/h，這時候學生的腦中就定格了一個等式“s=200t ”，他們對數量之間的關系也集中在了對這個等式的觀察上，函數表達式的雛形悄然出現了，數學符號的出現標志著 “半數學化”階段的到來。

“全數學化”階段的設計應從學生已有的數學內部知識體系中抽取1～2個例子，如在“函數”這節課上可以借助幾何畫板，呈現一個任意的直角三角形，拖動非直角的一個頂點讓學生觀察，發現不變的量是一個（直角），變化的量有兩個銳角和兩條邊長，它們之間目前的關系有兩角互余、三邊滿足勾股定理。重點設計兩個活動：一是圍繞兩個銳角設計三個小問題：①∠A=30°，則∠B= ? ? ? ? ?;②∠A=27°，則∠B= ? ? ? ? ?;③得到這些結果的理由。實際上就是“暗中”引導學生從等式∠A+∠B=90°轉化成另一種關系式∠B=90°-∠A，雖然其本質是一致的，但為后續的函數表達式的概念建構再次埋下伏筆。二是回到幾何畫板，演示拖動和定格頂點A，觀察圖形（∠A、∠B的大小形狀）和數值（這兩個角的數量值標簽）的變化規律，引發學生通過直接觀察來表達出“∠A確定時∠B隨之確定，∠A變大時∠B變小，∠A變小時∠B變大”。在經歷了這個可視化的觀察活動后，學生對于這兩個銳角之間的關系就自然能用更為嚴密的數學語言來表達了，實現了“模型”化。

史寧中先生說過：數學教學的最終目標是要讓學習者會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。而數學的眼光就是抽象，數學的語言就是模型。上述三個階段的架構與實施，能有效促進學生從兩個量的變化規律衍生到它們的對應關系、抽象出“函數”的核心概念，建立了數學模型，體現了知識的自然生長。

2.重方法養成，把握知識形式的關聯。

知識形式是指知識內在的思維方式和表達形式。作為整個單元教學的第一課，在主干概念抽象出來的基礎上，應將單元的零碎化知識結網，同時要體現數學的現實背景，因此可以設法用一個背景串起整個單元中分散零碎的知識要點，提煉出統領本單元的思維方式，從而深化數學知識的理解。

例如本單元中函數的三種表示形式（關系式、表格、圖像），它們各有不同，函數表達式更一般，更具有“數”的特質，表格更具體，圖像更直觀，更具有“形”的特質，但都是函數的“表達”。可以借助搭小魚的活動，觀察搭小魚的條數與所需火柴棒的根數。從填表入手，從簡單、具體入手（搭1條魚、2條魚、3條魚），到一般化（搭n條魚）的代數推理，呈現出搭n條魚與所需火柴棒的根數S之間的等量關系，也可將n、S的一般形式化為x、y，繼而將每一對對應值x和y作為點的橫、縱坐標，在直角坐標系中描出若干個點。進一步提出任務：在這個坐標系中快速精準地描出點（10，62），引發思考：這個點與已描出的那幾個點有什么位置特征？從而順暢地給出函數圖像這個概念。在這個過程中從特殊、有限、孤立的點的特殊位置關系直觀想象為：如果有無窮多個點，當這些點的橫縱坐標都滿足同一個關系式時，它們都在同一條直線上，這條直線就是函數的圖像。

知識之間的聯系就像支架，把知識聯結成立體結構才具有張力，而且立體結構更具有“吸附力”。不僅知識點本身可以吸附新的知識點，而且聯結知識點的支架——知識之間的聯系帶同樣能吸附新的知識點，生長出更多新的知識。

在單元教學的第一課建立知識立體結構應遵循兩個原則：一是厘清這些零碎的知識在數學整體知識的體系中客觀存在著的聯系;二是減少每個知識點的邏輯論證，盡可能通過有效的活動（如開展數學實驗、創設主題問題串等）促進學生自主發現、類比猜想，感性地體會到知識的聯系與交叉滲透。

建構知識立體結構靠的是支架，支架實質上就是知識背后隱藏的思想方法，如前例中將函數的三種表示形式（關系式、表格、圖像）聯結在一起的支架就是數形結合的辯證統一，從特殊到一般的歸納演繹。在單元教學的第一課中如果幫助學生掌握了建立函數的結構圖片段（三種表示方式）的思想方法，那么將來面對未知的某個新的函數時，學生就能將思想方法正向遷移，生長出更多新的知識。

3.重知識復演，把握知識旨趣的積淀。

知識旨趣是指數學知識產生的目標追求與價值取向，以及數學知識學習的興趣與情感。掌握知識旨趣有助于強化數學學習目標，激發求知熱情。單元教學的第一課應當讓學生領會數學知識的意義與目的，體驗求知的快樂與價值。

單元教學的第一課是后續知識在單元體系內部生長的“土壤”，根植于這片土壤中的“根系”即為單元教學的第一課中所形成的活動經驗和學科素養。檢驗“活動經驗”是否形成并有效，就要看單元教學的第一課的目標是否達成。目標的設定不能虛無縹緲，要對照課程標準細化出相應的目標內容。結合《義務教育數學課程標準》的要求將單元教學的第一課的目標定為：能結合圖像對簡單實際問題中的函數關系進行分析，能對變量的變化情況進行初步討論;從研究數量和圖形間的內在聯系中感受數形結合的思想;逐步加深對函數思想的理解。因此在這節單元教學的第一課中設計一個活動：觀察所給出的圖像，列舉滿足圖像中的函數關系的生活實例，引發從變量“形”的變化（上升、下降、水平）推斷出變量“數”的變化，從而聯系生活中的數量變化，體會函數實質上就是“用數學的語言表達現實世界”的模型思想。如此復演知識的形成過程，對于學生的持續發展，思維能力、創新精神的培養，對于學生理解知識的旨趣，激發學習動力與培養求知情感極具潛在價值。

數學是研究數量關系和空間形式的一門科學。數學的學習應當把握知識的內容、形式和旨趣，“轉識成智”，從而有助于學生走向社會后，面對多樣紛雜的現實情境，發現規律，找出共性，多向思維，這無疑就是我們的育人目標：發展學生的核心素養。

（作者單位：江蘇省鎮江市教育科學研究中心）

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