如何教學生猜想

黃建清

著名數學教育家波利亞說過，數學的創造過程與任何其他知識的創造過程一樣，在證明一個定理之前，先得猜想、發現出這個定理的內容，在完全作出詳細證明之前，還得不斷檢驗、完善、修改所提出的猜想，還得推測證明的思路，在一系列的工作中，需要充分應用的不是演繹推理、而是合情推理。合情推理，顧名思義，就是一種合乎情理的，好像為真的推理，主要包括觀察、比較、不完全歸納、類比、猜想、估算、聯想、自覺、頓悟、靈感等思維形式。合情推理所得的結果具有或然性，但是也非完全憑空想象，它是依據一定的知識和方法做出的探索性的判斷，因此，合情推理被廣泛應用于科學、生產和社會研究之中，例如律師的案情推理，歷史學家的史料推理，經濟學家的統計推理，物理學家的實驗歸納推理等等。它的清楚程度不能與演繹推理相比，它沒有固定的邏輯標準，并且是籠統的，通人情的，是與個人的情緒、愛好、基礎等主觀因素有關的一種推理，它是取得創造性成就的工具，是創造性工作所賴以進行的那種推理。

在過去的數學教育中，我們普遍存在“重演繹，輕歸納”的現象。近些年來，隨著人們對創新教育的重視，已經開始注意到猜想對于創新的作用，特別地，在《數學課程標準》中關于課程目標的闡述中提到：要讓學生“能根據解決問題的需要，收集有用的信息，進行歸納、類比與猜測，發展初步的合情推理能力”。那么，在小學數學教學中如何培養學生的合情推理能力呢？讓我們教學生猜想吧！

一、結合典型材料，鼓勵學生大膽猜想

要想培養學生的合情推理能力，關鍵在于教師。教師首先要有意識地選擇一些典型的、可以進行合情推理的情景和材料，例如，結合教材中的數學概念和規則教學，創設情景，鼓勵學生大膽猜想，從而培養學生的合情推理能力。

例1? 圓柱體積的教學

教學時，先引導學生觀察等底等高的直角三角形和長方形面積之間的關系：2S三角形=S長方形。然后讓學生猜一猜，由直角三角形沿著一條直角邊旋轉得到的圖形---圓錐，和由長方形沿著等高的一邊旋轉所得到的圖形---圓柱，這兩個圖形體積之間的關系，有的學生可能會猜出：2V圓錐=V圓柱，有的學生可能會猜出3V圓錐=V圓柱，究竟對否？再通過實驗來說明。這個例子說明大多數數學的結論并不是隨意得到的，而是依靠合情的推理得到的，讓學生首先具有合情推理的意識。

其次，老師要選取一些典型數學結論的創造過程，分析其發現動機和合情推理，然后再讓學生模仿范例去獨立實踐，在實踐中發展合情推理能力。

例2? 哥德巴赫猜想的由來

如有機會讓學生觀察：3+7=10，3+17=20，13+17=30……注意到它們之間的類似之處，或許學生會想到：3、7、13和17都是奇素數，10、20和30都是偶數，兩個奇素數之和必定是一個偶數，反過來說，一個偶數能等于兩個奇素數之和，那么，進一步考慮其他偶數會怎樣呢？會有類似的性質嗎？通過舉例和歸納，可以得出一個猜想：“每一個大于4的偶數都是兩個奇素數之和。”而這正是著名的哥德巴赫猜想。

由此可見，教師的主要任務是選好主題，創設情境，讓學生饒有興趣地自覺去試驗、猜想、論證，要充分發揮班級教學的優勢，鼓勵學生之間的相互討論和啟發。教師只有在學生受阻的時候才給方向性的提示，不能硬把他們趕上事先預備好的道路，這樣學生才能體驗到猜想，發現到樂趣，才能真正掌握合情推理。

二、教給學生猜想的方法

數學中的合情推理是多種多樣的，常用的有歸納、類比、一般化和特殊化等推理。教學時，教師要善于分析教學內容中合情推理的各種形式，幫助學生學會運用歸納、類比、一般化和特殊化等方法，提高綜合運用合情推理的能力。

例3? 問題：平面上的6條直線最多有幾個交點？

分析：兩條直線最多有一個交點，三條直線可以看作在兩條直線的基礎之上又增加一條直線，要使增加的交點最多，第三條直線必須和前兩條直線都分別相交，并且不出現三線共點的情形。這樣，三條直線的交點最多有1+2=3（個）。同理，四條直線可看作三條直線的基礎上再增加一條直線，所以四條直線最多有1+2+3=6（個）交點……根據歸納，一般化得：直線的條數n（n>1），交點最多個數為1+2+…+（n-1）。再類比到平面，猜想：“空間上的6個平面最多有幾條交線？”學生不難得出答案。

再如，小學數學中的許多運算性質、定律和運算法則，大多數都是通過不完全歸納和一般化所得出的，都是可以發展學生合情推理能力的好素材。因此，在教學中教師要充分挖掘教材中合情推理的因素，適當培養學生的歸納、類比、一般化和特殊化等推理能力，來促進合情推理能力的發展。

三、將猜想和驗證結合起來

合情推理和演繹推理是數學推理的兩個方面，這兩個方面是相輔相成，缺一不可的。過去只強調演繹推理，而不提和情推理。因為注意到合情推理的結論帶有或然性，結果不能保證絕對正確，所以往往在合情推理后需要演繹推理加以證明。考慮到小學的基礎性和特殊性，小學數學中的證明，大多是通過舉例，使得原來的猜想更可靠，而作為一名小學數學教師，應該要求會用演繹推理證明。

總之，合情推理是數學創造的需要，合情推理的數學是數學教學過程的需要，合情推理能力是學生數學素養形成的需要，它對于養成學生科學的思維方式，提高解決問題的能力，特別是培養創新意識有著重要意義。