把握數學概念本質，促進學生深度體驗

馮小輝

摘要：數學概念教學實“雙基”教學的核心，一切數學教學都基于概念產生，因此把握數學概念本質，既是促進學生深度體驗，又是實現對數學知識與方法更高程度的理解。本文以《函數的單調性》的概念教學案例讓學生真正經歷函數單調性概念化的過程，并對學生的有效深度體驗進行分析，真正促進學生對概念本質的理解與反思，以實現體驗向高層次的轉化，從而探究出數學學科背后所反映的知識、方法、態度、價值觀“產生情感且生成意義”，提高了學生數學的學科素養。

關鍵詞：數學概念??? 核心問題??? 深度體驗??? 反思

概念教學要使學生自然地、水到渠成地實現“概念的形成”。高中數學人教A版的主編寄語中說：“數學概念、數學方法與數學思想的起源與發展都是自然的。如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應用，以及它與其他概念的聯系，你就會發現它實際上是水到渠成、渾然天成的產物，不僅合情合理，甚至很有人情味?！蔽艺J為，這應該成為概念教學的基本指導思想。數學課就應該使概念出得自然、水到渠成，否則就不叫做“教數學”、“學數學”。從課堂教學的要求看，概念教學的自然和水到渠成應該包括兩個方面：一是知識的邏輯順序自然;二是學生心理邏輯的自然，主要是思維過程的自然?！白匀坏母拍罱虒W過程”是上述兩方面的融合。在引導學生展開對數學相關概念的學習過程中，主要強調“讓學生參與到定義概念的活動中來”，不輕易打斷學生的思維和活動，適時恰點地“以問題引導活動”，在“追問（質疑）——反思”的過程中深化概念的理解，使“概念的理解”成為學生自己主動思維的結果。^[1]

學校二十年磨一劍的核心問題教學更是提出概念課教學研究的著眼點不只在于對文本數學知識意義的理解與掌握，而是在獲得對數學概念本質理解和掌握的同時形成學生在活動體驗基礎上的學習，更需要著眼于數學學科教育的特點和目的，在獲得知識與方法的背后以實現體驗向高層次的轉化，實現教學的結果性目標與體驗性目標獲得更高達成度的教學活動規范形式。筆者采用核心問題教學的提出問題——解決問題——反思提升——運用反饋四個環節^[3]進行了《函數的單調性》進行概念教學，下面就以本節課為案例，促進數學課堂上的深度體驗進行剖析。以下是課堂實錄片段：

一、課堂實錄

數學概念課首先對教師就需要深挖概念的本質，需要創造性地使用教材，也就是深刻理解教材，教什么比怎么教更重要，要教數學這就要求教師自己先理解好數學：了解數學概念的背景，掌握概念的邏輯意義，理解內容所反映的思想方法，把握概念的“多元聯系表示”，挖掘知識所蘊含的科學方法、理性精神等情感、態度、價值觀資源。本節課從溫度變化圖、股票價格走勢圖讓同學們初步體驗到生活中有許多數據變化規律的例子，而且貼近生活，視角新穎，并與學生生活實際和思維水平密切關聯，學生能很快進入對“圖象”的描述。而從函數的觀點看，它反映的就是函數值隨自變量的變化在變大還是變小，同學們在初中對這種函數的性質就有一定的認識，但沒有嚴格的定義，這就能激發內在的緘默知識顯現，此時就需要一個核心問題來調動，激發學生自主探究的熱情，順理成章的給出核心問題：“請任畫一個函數圖象，用符號語言描述其函數值隨自變量變化的增減規律?！?sup> [4]

（一）恰當的核心問題是促進學生理解數學概念的基石

核心問題前半節：“請任畫一個函數圖象”，學生都能畫一些一次和二次函數圖象探究，學生個體能夠親身經歷，就有了體驗，就會引起感覺，這就達到了體驗的最低層次—經歷。

核心問題后半節：“用符號語言描述其函數值隨自變量變化的增減規律。”學生腦海中自然就會閃現出用圖象研究函數性質的緘默知識與思想方法，從而引起一連串的思考：“所畫的圖象特征是什么”，“圖形特征如何轉化自然語言”，“自然語言如何轉化數學符號語言”，這就是學生亟需解決的客觀問題，過程中讓學生經歷特殊到一般，從具體到抽象概括出增（減）函數的定義，真正體會到了三種語言在轉化中的關聯，產生了新舊知識的關聯，進一步讓學生進行了思維深層次的體驗，把所有的感覺，情感融入圖象的情境中，這是一種具體的體驗，具體的體驗就促進了學生深度體驗，形成了知識方法的表象特征打下了堅實的基石。

這樣的核心問題力求使學生了解函數單調性概念的背景和形成過程，了解為什么要引入這個概念，怎樣定義這個概念，怎樣入手研究一個新的課題。這實際上學生對概念的深度體驗就是靠學生親身去踐行，處在情境中感受的一個過程，那么就要一個主線引領學生去踐行，從上面核心問題的定義與表達要求，完成核心問題的過程就是學生體驗的過程，同時，更為重要的，本節課的核心問題前后兩半節就是相互關聯的，關聯的體驗就調動了學生的多種器官，激發他們的情感，由此學生完成核心問題的過程就是進行關聯體驗的過程，教師也忘掉“結論性的知識”，親身體驗知識的發展軌跡，體驗知識的成長過程與成長方法。

（二）深度體驗促進學生理解數學概念化過程的催化劑

在引導學生展開對函數單調性概念的學習過程中，主要強調“讓學生參與到定義概念的活動中來”，不輕易打斷學生的思維和活動，適時恰點地“以問題引導活動”，在“追問（質疑）——反思”的過程中深化概念的理解，使“概念的理解”成為學生自己主動思維的結果。

課堂上學生在理解核心問題之后，大多數同學能作圖一次、二次、反比例、分段函數，能作出這些類型的函數比如（1）（2）（3）（4）……等等，學生在畫圖的過程中，能夠從圖形的走勢來理解函數的單調性，形成形象化的視覺經驗。教師通過展示學生作的圖，提供豐富的感性材料，讓學生從圖形語言體驗函數單調性的概念。學生能從圖象直觀感知函數單調性，再用自己的語言表達出來，用自然語言（文字語言）表達自己對函數單調性概念的理解。同時也間接提供了判斷函數單調性的方法——圖象法。在實施過程中學生能夠用最直接淺顯的語言：“從左向右看，如果函數在某個區間上圖象上升，稱函數在該區間上為增函數;如果函數在某個區間上圖象下降，稱函數在該區間上為減函數”，或者“從左向右，若圖象成上升趨勢，稱函數為增函數;從左向右，若圖象成下降趨勢，稱函數為減函數”來描述所理解的增函數和減函數。

學生小組交流討論后，對具體函數表達了探尋的本質屬性后，筆者引導學生回顧學習過程，要求學生從具體函數單調性的定義，遷移到一般意義的函數，抽象概括出增函數準確的定義（符號語言），然后類比得出減函數的定義。由于有了具體函數的單調性定義，學生能夠很容易得到一般意義上的單調性定義：對于屬于定義域內某個區間上的任意兩個自變量，都有，稱為該區間上的增函數;若都有，稱為該區間上的減函數。至此學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，生成對抽象函數單調性的符號語言上的認識。

本節課，師生對對所探究了函數單調性的來源、成長過程與成長方法、本質與結構等有著透徹的認識。課堂上思維的碰撞不僅是師生之間與生生間智慧的交鋒，更是學生與學生，老師與學生情感的溝通，達到了“產生情感而生成意義”的體驗性目標，進一步促進了學生心靈深處的深度體驗。

（三）反思提升是促進學生概括概念本質的升華

數學概念教學的核心是概括：將凝結在數學概念中的數學家的思維打開，以典型豐富的實例為載體，引導學生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質屬性，歸納得出數學概念。

在反思提升環節，教師還要適時適切的引導學生概括出知識中蘊含的思想方法和探究知識的思維方法：①函數的圖形語言、文字語言、符號語言的等價轉化.②特殊到一般的思想方法.③直觀到抽象.④數形結合.⑤類比等。筆者根據學生具體情況，通過符號語言的轉化，促進學生對函數單調性的深度體驗（差商理解）。用差商描述“時，” ， 將基于的大小關系來討論對應的的大小關系的方法轉變成了一個統一的差商式子與0比較的關系。差商的結果不僅可以用來判斷函數的增減性， 而且可以反映關于的變化率。它還有明顯的幾何意義，為以后的導數理解做好鋪墊。

這樣讓學生“既形成了知識又有數學思想方法，將核心問題解決問題中涉及的關聯體驗進一步提升，這樣本節課又上升了一個層次，上升到形—數—形的關聯，體驗三種語言間的關聯。

（四）結果性與體驗性目標的達成更是促進學生對概念理解的內化

學生經歷了數學概念的生成過程，我們需要對概念的理解進行內化，可以從三個方面進行。一是進行概念的辨析——以實例為載體分析關鍵詞的含義（恰當使用反例）;二是概念的鞏固應用——用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟;三四概念的“精致”——納入概念系統，建立與相關概念的聯系。^[2]本節課的最后，在運用反饋環節側重檢測學生深度體驗圖形語言、自然語言及符號語言在相互轉化中的關聯情況。選取了生活的應用舉例進行課堂檢測：

學生將自己探究出的數學知識與方法解決來實例，讓學生將三種語言在轉化中的關聯應用，反思解題思路，再次深度體驗到定義證明函數性單調性的步驟，讓學生有一定的成就感，學生不僅實現了體驗性目標的達成，也完成了本節課的結果性目標，最終內化成自己的數學知識方法，逐漸形成了學生內在的緘默知識，也為以后的課堂探究函數的其他性質做好了鋪墊。實際上是辨析、運用、“精致”函數單調性的概念。

二、課后教學反思

李邦河院士指出：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”課后筆者認真進行了，數學概念的形成來自解決實際問題和數學自身發展的需要。但概念的高度抽象，造成了難懂、難教和難學，這就需要讓學生置身于符合自身實際的學習活動中去，從自己的經驗和已有的知識基礎出發，經歷“數學化”、“再創造”的活動過程。^[1]結合本節課的核心問題數學，認識到概念教學促進學生深度體驗的實質就是是理解數學、理解學生、理解教學，它是一個多側面、多層次、無止境的過程

第一，理解數學，是指對所教數學知識的來源、成長過程與成長方法、本質與結構等有著透徹的認識。即對數學知識既“知其然”，也“知其所以然、所以不然”，知其“來自何處、去向何方”，知其本質、結構與教育價值。以核心問題教學促進理解數學的實質是把靜態的、成熟的、不利于學生接受和消化的學術形態的數學轉化為動態的、發展的、更利于學生接受與消化、更富營養的教育形態的數學。

第二，理解學生是指教師清楚學生的認知起點;清楚學生已有認知結構與新知識之間的潛在距離;清楚學生的認知障礙;清楚學生的認知規律;清楚不同學生間的認知差異。以核心問題教學促進理解學生的實質是教師準確地把握學生學習的基礎、潛能、需求、困難與差異，為以學定教、以導促研提供準確的信息與依據。

第三，理解教學是指教師清楚教學的本質與功能，掌握一定的教學方法與教學藝術;清楚學生的認知規律和教學的基本原則，能夠把教與學作為有機的、相互促進的整體來加以處理;清楚數學的教育價值，能為不同的學生提供不同的數學;清楚將不同類型的知識用不同的方式呈現給不同學生的策略與方法。以核心問題教學促進理解教學的實質是以研定導，以導促研，實現教育價值與效益的最大化。

總而言之一定要重視概念教學，數學核心概念的教學更要“不惜時、不惜力”。這是因為“數學概念高度凝結著數學家的思維，是數學地認識事物的思想精華，是數學家智慧的結晶，蘊含了最豐富的創新教育素材。在恰當核心問題的的數學概念教學中，課堂上，學生感覺不是老師在灌輸知識，而是同學親身體驗探究出新的知識與思想方法，獲得了豐富而深刻的體驗，不僅在于使學生掌握書本知識，更重要的是讓他們從中體驗概括數學概念的心路歷程，領悟用數學的觀點看待和認識世界的思想真諦，學會用概念思維，進而發展智力和培養能力，進一步體會數學學科背后所反映的知識、方法、態度、價值觀“產生情感且生成意義” ，在數學概念教學要返璞歸真，在概念的發生發展過程中揭示它的本來面目，那么數學知識思想方法都能在潛移默化中形成，從而促進學生的深度體驗，培養了學生的創新精神和實踐能力進一步提升師生自我的數學學科素養。

參考文獻：

[1]張峰《淺談新課標下的高中數學概念教學》[J].《江蘇教育學院學報》

[2]張富培《淺談素質教育形勢下的高中數學概念教學》[J].《教育科學研究雜志》

[3]周光岑《核心問題教學研究》.電子科技大學出版社

[4]周文良《核心問題教學的深度體驗實踐研究》.電子科技大學出版社