借形助數，活化思維

江芝芬

摘 要：借形助數，數及數量關系置于圖形及生活的實物模型和現實背景中就能把數及數量關系化抽象為具體、化繁為簡，還能發展學生的數感，促進學生理解知識并掌握知識，拓寬學生的思路，活化他們的思維，提升他們的探究興趣與創造力，文章從四個方面進行闡述。

關鍵詞：借形言數;思維;數感;數量關系;算式;數學語言

一、借形言數，發展數感

什么是數感？簡而言之，就是人們對數與數之間關系的理解與感悟。如何發展學生的數感？若能借助圖形、實物模型以及實際生活的素材等來豐富學生的感知，就能使抽象的數及數量關系形象化、具體化。

例如，在教學“十萬的認識”這課時，十萬對四年級學生來說是個較大的數目。如何引導學生通過已學的萬以內的知識去類推、去感知，筆者通過小立方體及計數器兩種直觀模型并聯系現實生活來幫助學生理解，發展他們的數感。我們知道這節課的難點就是接近整萬數的數法，而數與數之間滿十進一的計數單位間的變化對學生來說是較抽象的，為了讓這個抽象的計數單位變得直觀可見，我們就要引導學生把數數的思維方式“暴露”出來，讓他們一萬一萬地數，并邊數邊觀察小立方體的變化，在他們數到九萬時，筆者有意稍作停頓，問學生“再添一萬是多少”，讓學生思考后自然而然說出“十萬”，接著讓他們與同桌合作，在計數器上邊數邊觀察，計數器上珠子的變化及“十萬”是怎么產生的？這樣他們就在操作中直觀地理解了“十萬”與“萬”的十進制關系?！笆f的數目究竟有多大呢？”讓學生帶著問題與好奇到操場，借助熟悉的學校操場的跑道長度（400米）以及想象活動，讓他們通過小組合作學習、探究，真切地感悟到生活中“十萬”數目的大?。孩偈f毫米多長？②十萬厘米多長？③十萬千米多長？學生通過計算得知， 十萬毫米等于100米，相當于跑道長度的1/4，十萬毫米很短;十萬厘米等于1000米，相當于操場跑道長度的2圈半，十萬厘米有點長;十萬千米相當于操場跑道長度的25萬圈，相當于繞地球2.5圈的長度，學生驚嘆：“十萬千米真的好長呀！”通過結合生活中熟悉的操場的“形”來說“十萬”這個數，學生直觀地感受到“短、有點長、好長”，從中感悟“十萬”這個數在不同的場景中給人的大小、多少的感覺是不一樣的。如此，既能讓學生印象深刻，發展數感，又能讓學生拓寬思路，發展思維。

二、借形溯源，體悟知識

讓學生親身經歷知識的產生、發展與形成過程，探清知識的來龍去脈，他們才容易理解與掌握，記憶深刻，從而真正實現有效教學。如在教學“用四舍五入法求小數的近似值”時，筆者聽了一些老師的公開課均是直接告知學生“四舍五入法”“是用四舍五入法取小數近似數的時候，看它保留位數的后一位，如果后一位數的最高位數字≤4時，就把尾數去掉;若后一位數的最高位數字≥5時，就把尾數舍去并在保留的這位數上進“1”，然后學生熟記方法，再強化應用，他們認為這是約定俗成的所以就直接告知。課后我問學生“你知道為什么尾數的最高位數≥5，就把尾數舍去并在保留的這位數上進‘1;尾數的最高位數字≤4，就把尾數直接舍去？”學生異口同聲地答道：“老師說這是規定的?！?/p>

如何讓學生“知其然又知其所以然”呢？筆者在自己的班級里做了嘗試，以一位小數為例：把0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9在下面的線段圖中找出來，并說說它們更接近0還是1？

學生結合線段圖很快就明白大于0.5的數更接近1，小于0.5的數更接近0，而居中的0.5人們就把它歸為接近1。因此，規定在取近似值時，看保留位數的下一位，如果是0～4的5個數字就直接把尾數舍去，如果是5～9的5個數字就在保留的這位數上加1后再把尾數舍去，這樣就剛好5個數字的尾數是舍去，5個數字是進“1”后舍去，這種保留法的誤差總和是最小的。所以，為了便于計算，人們就使用四舍五入法。通過在直觀的線段圖上找數，并結合線段圖說清哪些數更接近1與0，學生很容易就理解了“四舍五入”的道理，且在提升其探究能力的同時，使模糊的知識明晰化。

三、借形明理，厘清關系

（一）厘清計算之理

算理是內隱的、抽象的，是計算之根，只有厘清算理才能使計算之樹枝繁葉茂。那如何讓抽象的算理變得清晰可見？何時“借形助數”方有效？教師在厘清教材的編寫意圖，了解學生的知識“盲點”后，應創造性地使用教材，靈活地選擇有效的“形”。如在教學“小數除以整數”時，筆者放手讓學生探究11.5÷5的豎式計算，出現了以下兩種算豎式：

我引導學生認真觀察，并組織辯論：豎式中的部分積究竟寫15還是1.5呢？剛開始絕大多數學生都認為應寫1.5，極少部分學生認為是15，至于為什么是15卻講不清楚，這時筆者給他們出示了計數器引導他們借助計數器來說說“你是怎么把11.5平均分成5份的？”借助直觀形象的計數器，學生明白了從高位除起，高位上的數不夠除，就把它轉化成較低位上的數和較低位上的數合起來繼續除，個位上11個珠子平均分成5份后還余1，個位上1要化成10個0.1，再和十分位的5個0.1合成15個0.1，15個0.1再繼續平均分成5份，說到這里，學生恍然大悟：“應該是寫15不寫1.5，因為……”學生的頓悟源于他們熟知的計數器這個直觀形象模型的啟發，借助這個模型學生的思路清晰，學習效率不言而喻，且對后繼研究除數是小數的除法的算理鋪路搭橋。

（二）厘清數量關系之理

正確分析數量關系是解決數學問題的關鍵。為促進學生有效分析數量關系、厘清解題思路，幫助學生思考，應引導學生動手畫畫線段圖、簡易分析圖或想象實物模型等，借助直觀形象的“形”把復雜的問題變得簡明、形象、易于思考。為提升學生探究興趣，促進學生思考，拓展學生思維，筆者在新知教學后經常會讓學生進行“思維操練”。如學生剛學完假分數時，筆者出示：“如果一個分數分子與分母的和是30，分子加4且分母不變。則這個分數值是1。原來的分數是多少？”剛開始很多學生不知所措，緊皺眉頭，不知如何解答，我提醒他們：“當遇到不好解決的問題時，我們經常是怎么解決的？”學生說：“畫線段圖或舉例。”我說：“那就動動手，用線段表示分子、分母，看看會不會有啟發?！睂W生獨立思考，然后和同桌交流，相互補充，畫出了以下線圖：

這時，很多學生驚喜地說：“老師，我明白了！”“你明白了什么？”有的學生迫不及待地跑到黑板前指著線段圖說：“先畫一條線段表示分子，現在分子加4，分數值是1，什么意思呢？因為分子分母相等的分數是1，那分子加上4這段就和分母這段一樣長了。把原來分子分母的和30加上4等于34。它就是分母的2倍，把34除以2得到17，17就是原來的分母，把分母17減4得13就是原來的分子，所以原來分數是十七分之十三?！?/p>

通過簡易的線段圖把看似復雜的數量關系理得條分縷析，學生的思維從不知所措的迷茫到“柳暗花明”時的驚喜皆源于直觀形象的線段圖。

四、借形解式，化繁為簡

很多復雜的算式，如果按四則運算法則計算，難而且繁雜，且容易出錯，若能善用圖形，巧用圖形，就能將復雜的算式巧妙地轉化為很簡單的式子，而且使算式變得具體形象，更能激發學生的探究欲望。學完通分后，我出示了一道拓展題。如++ +，由于受思維的定勢作用，學生看到題目紛紛作答，大部分學生用通分的方法計算，少部分學生化成小數計算，我問：“還有其他方法嗎？”學生默然，于是筆者出示 ，啟發學生思考：“答案就藏在這個長方形里，看誰的眼睛最亮？”很多學生半信半疑，筆者又接著說：“你能把這個算式中的分數在這個長方形中找出來嗎？”一石激起千層浪，學生們有的動手畫，有的與同桌一起討論，最終有學生得出下面的線段圖：

此時，有學生興奮地喊道：“1- = 。”然后筆者讓他們結合圖形講清道理。之后，又讓學生在算式后增加了 +，讓他們觀察、計算，并說說有什么發現。掌握了方法后，他們說：“老師，照這樣規律不管再增加幾個分數，結果都是用‘1減最后一個分數”“那最后結果會等于1嗎？”“只能無限接近1，不可能等于1”……學生們都驚嘆：“圖形真的很神奇！居然能幫我們把這么復雜的算式變得這么簡單易懂?！?/p>

其實，在數與代數領域，圖形的功用遠遠不止這些，諸如數的大小比較、運算定律的解釋、問題解決等，都可以借助圖形或實物模型來引導學生進行思考，能夠讓學生在理解與掌握知識、提升學習力的同時，提升學習數學的素養，讓數學知識變得更有生命力與魅力。

參考文獻：

[1]陳紅霞.以形助數，化難為易——試談數形結合思想在小學數學教學中的應用[J].湖北教育（教育教學版），2010（3）：17-18.

[2]畢娉婷.數學教學中數形結合思想的應用分析[J].教育現代化，2017（15）：134-135.