多項式Poisson代數上的有限維單Poisson模

陳煒紅, 呂家鳳

(浙江師范大學 數學與計算機科學學院,浙江 金華 321004)

Poisson代數起源于哈密頓力學的研究,在Poisson幾何和量子群中占有重要地位.由于Poisson代數在數學的很多領域都有重要的作用,近幾十年來,有關Poisson代數有許多推廣,如非交換的Poisson代數[1]、DG Poisson代數[2]、Poisson Hopf代數[3]等.而在Poisson代數中,Poisson模、單模又是它的一個重要研究內容.文獻[4-8]對多項式環進行探究,得到多項式環上的有限維單Poisson模結構.本文采用文獻[8]的思想方法,探究一類Poisson代數的有限維單Poisson模結構.

本文中,A是復數域C上的可交換的Poisson代數[6],M是A-模,J是A上的Poisson極大理想.

對于C-代數T,其生成元x,y,z與t±1滿足下列關系:

xy-t-2yx=a(1-t-2)z;yz-t-2zy=b(1-t-2)x;zx-t-2xz=c(1-t-2)y.

且

xt=tx,yt=ty,zt=tz,tt-1=1=t-1t.

其中:a,b,c∈C{0};且t為T的中心元.

若t為非單位元、非零因子的中心元,則對于上述的T,A=T/[(t-1)T]為交換代數且同構于C[x,y,z].因此,A上具有一個自然的Poisson括號{-,-}:

{x,y}=2(az-yx); {y,z}=2(bx-zy); {z,x}=2(cy-xz).

(1)

本文主要研究A上的所有有限維單Poisson模結構.已知有限維單Poisson模的零化子為Poisson極大理想[7],首先回顧了一些基本概念,計算得出A的5個Poisson極大理想;然后分別根據Poisson極大理想J1和J2,探究有限維單Poisson模的構造;最后通過Poisson同構,將有限維單Poisson模的構造從J2轉化到J3,J4,J5,得到了一類Poisson代數的有限維單Poisson模結構.

1 Poisson模和Poisson極大理想

首先回顧一些基本概念及相關結果,然后據此結果,得到A的Poisson極大理想.

定義1設J是Poisson代數A的理想.若對任意的j∈J,a∈A,有{j,a}∈J,則稱J是A的Poisson理想;若Poisson理想J又是A的極大理想,則稱J是A的Poisson極大理想.

定義2設(A,{-,-})是可交換的Poisson代數,M是A-模.若存在線性映射{-,-}M:A×M→M,對任意的a,b∈A,m∈M,滿足:

1){a,bm}M={a,b}m+b{a,m}M,

2){ab,m}M=a{b,m}M+b{a,m}M,

3){{a,b},m}M={a,{b,m}M}M-{b,{a,m}M}M,

則稱M為PoissonA-模.

定義3設J是Poisson代數A的一個理想,M是A-模,則J在M中的零化子可定義為:annMJ={m∈M:mj=0,j∈J}.

如果M是有限維單Poisson模,那么M的零化子是A的Poisson極大理想[8].因此,要探究Poisson代數A上的有限維單Poisson模,需先計算出A的Poisson極大理想.

引理1設(A,{-,-})是滿足式(1)的Poisson代數,則A僅有5 個Poisson極大理想,且這5個Poisson極大理想如下所示:

證明 設J是A的Poisson極大理想,根據文獻[9]中的引理1.4可得:對任意的m,n,l∈C,有J=(x-m,y-n,z-l).由于J是Poisson極大理想,所以{x,J}?J,{y,J}?J,{z,J}?J.考慮

2(az-yx)={x,y-n}∈J, 2(bx-zy)={y,z-l}∈J, -2(cy-zx)={x,z-l}∈J,

2 被J1零化的Poisson模

接下來討論滿足式(1)的多項式代數A=C[x,y,z]被J1零化的有限維單Poisson模結構.由定義3計算可得如下引理：

引理2設M是被J1零化的Poisson模,則對任意的m∈M,有

1)xm=ym=zm=0;

2){xy,m}M={yz,m}M={zx,m}M=0;

3){x,{y,m}M}M-{y,{x,m}M}M=2a{z,m}M,{y,{z,m}M}M-{z,{y,m}M}M=2b{x,m}M,

{z,{x,m}M}M-{x,{z,m}M}M=2c{y,m}M.

根據定義2,可將引理2轉化為

引理3設M是被J1零化的Poisson模,對于λ∈C,0≠m∈M,滿足{x,m}M=λm,則

1){x,{y,m}M}M=2a{z,m}M+λ{y,m}M;

2){x,{z,m}M}M=λ{z,m}M-2c{y,m}M;

3){y,{z,m}M}M-{z,{y,m}M}M=2bλm.

2.1 當a=c時,被J1零化的Poisson模

(2)

于是,有

引理4設M是被J1=xA+uA+vA零化的PoissonA-模,對任意的m∈M,可得:

1)xm=um=vm=0;

2){xu,m}M={xv,m}M={uv,m}M=0;

3){x,{u,m}M}M-{u,{x,m}M}M=2ci{u,m}M,{x,{v,m}M}M-{v,{x,m}M}M=-2ci{v,m}M,{u,{v,m}M}M-{v,{u,m}M}M=k1k2b{x,m}M.

引理5設M是被J1零化的PoissonA-模,對于0≠m∈M,存在λ∈C,滿足{x,m}M=λm,則

1){x,{u,m}M}M=(λ+2ci){u,m}M;

2){x,{v,m}M}M=(λ-2ci){v,m}M;

3){u,{v,m}M}M-{v,{u,m}M}M=k1k2bλm.

引理 6對任意的整數d≥1,存在基為m1,m2,…,md的d-維PoissonA-模M,滿足M被J1零化,并且

1)當1≤j≤d時,{x,mj}M=(λ+2(j-1)ci)mj;

2)當j=1時,{v,m1}M=0,當1

3)當j=d時,{u,md}M=0,當 1≤j

其中,λ=(1-d)ci.

證明 根據文獻[8],需證明:當m=mj,{a,b}={x,u},{x,v},{u,v}時,定義2中的1)和3)成立.為了證明定義2中的3)成立,首先要證明,對任意的1≤j≤d,

{{x,u},mj}M={x,{u,mj}M}M-{u,{x,mj}M}M.

當1≤j

且

{x,{u,mj}M}M-{u,{x,mj}M}M={x,mj+1}M-{u,(λ+2(j-1)ci)mj}M=

(λ+2jci)mj+1-(λ+2(j-1)ci)mj+1=2cimj+1.

當j=d時,{{x,u},md}M=2ci{u,md}M=0,且

{x,{u,md}M}M-{u,{x,md}M}M=0-(λ+2(d-1)ci){u,md}M=0.

同理可證得:對任意的1≤j≤d,

{{x,v},mj}M={x,{v,mj}M}M-{v,{x,mj}M}M;

{{u,v},mj}M={u,{v,mj}M}M-{v,{u,mj}M}M.

當然,仍需證明當m=mj,{a,b}={x,u},{x,v},{u,v}時,定義2中的1)成立.首先,由引理4中的1)可得

{x,umj}M={x,vmj}M={u,vmj}M=0.

其次,由式(2)得

所以,定義2中的1)成立.引理6證畢.

引理7對于任意的整數d≥1,M滿足引理6,則A的d-維Poisson模M是單Poisson模.

此時,非零系數的個數比n少1.由n的最少性可得:當j≠k時,{x,n}M-λkn=0,即αj=0.故n=αkmk,mk∈N.則N=M,M是一個單Poisson模.引理7證畢.

引理8設M是被J1零化的有限維單PoissonA-模,n≤dimM,則存在λ∈C和n個線性無關的元m1,m2,…,mn∈M,滿足

1)當1≤j≤n時,{x,mj}M=(λ+2(j-1)ci)mj;

2)當j=1時,{v,m1}M=0,當1

3)當1≤j

證明 數學歸納法.當n=1時,設θ={λ∈C|對于一些0≠m∈M,{x,m}M=λm}.因為M是有限維模,所以對任意的m∈M,都存在一個特征值,滿足M的線性自同構:m|→{x,m}M.因此θ≠?.取λ∈θ,則存在0≠m1∈M滿足{x,m1}=λm1.m1顯然滿足條件 1)～3).

假設上述結論對dimM≥n成立,現討論dimM≥n+1 的情況.由歸納假設可知,M中存在線性無關的元m1,m2,…,mn和一些λ∈C,滿足條件 1)～3).設mn+1={u,mn}M,則mn+1={u,mn}M≠0.否則,由m1,m2,…,mn生成的n維子空間就會變成M的Poisson子模,與dimM≥n+1時M是單的矛盾.下面證明mn+1滿足條件1)～3).因為{x,mn}M=(λ+2(n-1)ci)mn,所以根據引理5中的1)可知

{x,mn+1}M={x,{u,mn}M}M=(λ+2nci)mn+1,

則當dimM≥n+1時,條件1)成立.又由引理4中的3)得

{u,{v,m}M}M-{v,{u,m}M}M=k1k2b{x,m}M.

當m=mn時,有

-k1k2b(n-1)(λ+(n-2)ci){u,mn-1}M-{v,mn+1}M=k1k2b{x,mn}M,

所以

{v,mn+1}M=-k1k2bn(λ+(n-1)ci)mn.

因此,當dimM≥n+1時,條件2)和3)成立.所以,m1,m2,…,mn+1為{x,-}M中的不同特征值對應的特征向量.因此,m1,m2,…,mn+1線性無關,結論成立.引理 8 證畢.

定理1設M是被J1零化的d-維單PoissonA-模,則M有一組基m1,m2,…,md滿足:

1)當1≤j≤d時,{x,mj}M=(λ+2(j-1)ci)mj;

2)當j=1時,{v,m1}M=0,當1

3)當j=d時,{u,md}M=0,當1≤j

其中,λ=(1-d)ci.

證明 根據引理8,存在λ∈C和一組基m1,m2,…,md,使M滿足條件1)～3),除{u,md}=0外.由引理5中的1)可得

{x,{u,md}M}M=(λ+2dci){u,md}M.

因為M是由特征值λ+2(j-1)ci(1≤j≤d)對應的特征向量mj生成的,所以λ+2dci不是{x,-}M的特征值,從而{u,md}M=0.由引理4中的3)可得

{u,{v,m}M}M-{v,{u,m}M}M=k1k2b{x,m}M,

則

-k1k2b(d-1)(λ+(d-2)ci)md=k1k2b(λ+2(d-1)ci)md.

得到d(λ+(d-1)ci)=0,所以λ=(1-d)ci.定理 1 證畢.

定理2對任意的整數d≥1,Poisson代數A存在唯一一個被J1零化的d-維單Poisson模,并且該模有一組基m1,m2,…,md滿足:

1)當1≤j≤d時,{x,mj}M=(λ+2(j-1)ci)mj;

{y,md}M=-k1bi(d-1)(λ+(d-2)ci)md-1;

{z,md}M=-k1b(d-1)(λ+(d-2)ci)md-1.

其中,λ=(1-d)ci.

2.2 當時,被J1零化的Poisson模

(3)

按照a=c的情況,同理可得有限維單Poisson模的結構,結論如下:

定理3對任意的整數d≥1,Poisson代數A存在唯一一個被J1零化的d-維單Poisson模,并且該模有一組基m1,m2,…,md滿足:

1)當1≤j≤d時,{x,mj}M=(λ+2(j-1)i)mj;

{y,md}M=-k1bi(d-1)(λ+(d-2)i)md-1;

{z,md}M=-k1bc(d-1)(λ+(d-2)i)md-1.

其中,λ=(1-d)i.

3 被J2零化的Poisson模

引理9設M是被J2零化的Poisson模,m∈M,則

(4)

根據定義2,可得到以下引理:

引理10設M是被J2零化的Poisson模,對于0≠m∈M,存在λ∈C,滿足{s,m}M=λm,則

按照第2部分的證明方法,同理可得被J2零化的有限維單Poisson模結構,結論如下:

定理4對任意的整數d≥1,Poisson代數A存在唯一一個被J2零化的d-維單Poisson模,并且該模有一組基m1,m2,…,md,滿足:

2)當1≤j

4 Poisson同構

α(x)=x,α(y)=-y,α(z)=-z.

由上可知,α(J2)=J3且α2為恒等映射.若M是被J2零化的單Poisson模,則被J3零化的單Poisson模為Poisson模Mα.此外,可得:對任意的整數d≥1,存在一個被J3零化的d-維單Poisson模.同理,對于被J4,J5零化的Poisson模,可定義C-自同構β和γ如下:

β(x)=-x,β(y)=y,β(z)=-z;

γ(x)=-x,γ(y)=-y,γ(z)=z.

因此,被J4,J5零化的d-維單Poisson模分別為Mβ,Mγ.

定理5對任意的整數d≥1,滿足式(1)的Poisson代數A有5個d-維單Poisson模.

證明 由引理1、 定理2、定理3、定理4及 Poisson自同構可證.