畜產品供應鏈質量控制策略的微分博弈分析*

安玉蓮，孫世民，夏兆敏

(1.山東農業大學經濟管理學院，泰安 271018；2.山東財經大學工商管理學院，濟南 250014)

0 引言

中國是世界上最大的畜產品生產和消費國，2015年全國肉、蛋、奶總產量分別達到8 625萬t、2 999.2萬t和3 870.3萬t，對于改善城鄉居民的飲食結構和生活質量發揮了重要作用。但是，近年來中國畜產品質量安全隱患普遍存在，既有消費者難以觀察到的有毒有害物質殘留超標問題，又有“瘦肉精”和“三聚氰胺”為代表的畜產品質量安全事件，嚴重影響了消費者的身心健康和中國畜產品國際競爭力的培育與提升。導致中國畜產品質量安全問題的原因很多，但畜產品供應鏈節點企業(包括養殖場戶、屠宰加工企業和超市，下同)的質量預防水平和質量檢驗水平不合理且相互間協同程度不高是深層次的根源因素。因此，科學制定畜產品供應鏈質量控制策略，實現節點企業之間的質量協同控制，是解決中國畜產品質量安全問題的客觀要求，迫切需要深入研究。

21世紀以來，國內外學者運用質量管理、博弈論、控制論、委托代理、供應鏈優化等理論、方法和技術，對供應鏈質量控制問題開展了許多研究。國外代表性研究有，Baiman[1]等建立了供應商質量預防和制造商質量評價基本模型，并且綜合考慮供應商的逆向選擇和制造商的道德風險而建立了產品質量決策控制模型，制定了產品質量控制策略。Balachandran[2]等研究了單邊和雙邊道德風險下通過檢驗和外部損失信息確定對供應商質量缺陷的懲罰，從而進行供應商質量決策。Cachon[3]等通過設計需求預測分享和收益分享契約，以解決非對稱信息條件下供應鏈質量協同控制的決策問題。Thomas[4]設計了一個由供應商和制造商組成的二級供應鏈質量預防和質量控制的合作方法。國內代表性研究有，張翠華等[5]運用委托代理模型，研究了質量檢驗制度下供應商質量努力、自身檢驗水平信息隱匿以及兩者都隱匿時供應鏈協同質量控制問題。尤建新等[6]基于委托代理理論，研究了供應商質量預防水平隱匿、購買商質量檢驗水平隱匿以及兩者均隱匿3種道德風險條件下的供應鏈質量合同設計與質量控制策略。洪江濤等[7]應用微分博弈方法研究了兩級供應鏈中供應商和制造商的質量控制協調問題。朱立龍等[8]基于動態博弈分析構建了質量控制模型，研究了創新驅動條件下三級供應鏈分銷渠道產品質量控制策略。姜德金等[9]利用博弈方法，分析了銷售商檢測水平有限和制造商分擔外部損失條件下供應鏈質量控制的互動協調策略。近年來，國內一些學者開始借鑒一般供應鏈質量控制的研究成果，運用博弈分析方法，探討以乳品和豬肉為代表的畜產品供應鏈質量控制問題(尹巍巍等[10]；申強等[11]；夏兆敏等[12]；張園園等[13])。供應鏈環境下，畜禽養殖與屠宰加工是影響畜產品質量安全水平的兩個關鍵環節，在此期間畜產品質量形成過程具有明顯的動態性、連續性和長期性(如從母豬懷孕到分娩再到生豬育肥、屠宰、豬肉上市，需要300d左右的時間)，因此在動態框架下研究畜產品質量控制策略更加貼近現實，并且畜禽養殖環節的質量預防、屠宰加工環節的質量檢驗和質量預防對于畜產品質量既獨立發揮作用又協同互動。但是，現有研究對這些問題涉及較少。

文章將在借鑒已有研究成果的基礎上，首先考慮養殖場戶的質量預防水平、屠宰加工企業的質量檢驗水平和質量預防水平，構建描述畜產品質量變化的微分方程；再考慮質量控制收益及其分配和質量控制成本及其分攤，構建畜產品供應鏈質量控制微分博弈模型，確定不同博弈模式下養殖場戶和屠宰加工企業的質量控制策略及其協同條件；最后通過數值模擬驗證所建模型的科學性和研究結論的正確性。

1 問題描述與假設

由于養殖與屠宰加工是影響畜產品質量的兩個關鍵環節，因此該文重點研究畜產品供應鏈中養殖場戶和屠宰加工企業之間的質量控制策略及其協同問題。畜產品供應鏈運行過程中，養殖場戶按照質量合格畜禽的標準和要求，在環境維護、投入品采購、疫病防控、設施配置、養殖檔案、動物福利及其與屠宰加工企業協同合作等方面采取質量預防措施；屠宰加工企業首先對養殖場戶提供的畜禽進行毛色、步態、呼吸和體溫等外在質量檢驗，以及疫病、獸藥殘留量和有毒有害物質含量等內在質量檢驗，然后按照畜禽屠宰加工工藝流程的標準和要求，在環境維護、設施配置、生產檔案、動物福利、儲存保鮮及其與養殖場戶協同合作等方面采取質量預防措施。借鑒已有研究成果，該文進行如下基本假設。

①養殖場戶和屠宰加工企業都是經濟人假設條件下的理性個體，雙方均完全了解對方的成本和收益信息。

②畜產品供應鏈提供給市場的畜產品質量由養殖場戶的質量預防水平、屠宰加工企業的質量檢驗水平和質量預防水平共同決定，且隨時間而動態變化。借鑒洪江濤等[7]和夏兆敏等[12]關于“供應鏈產品質量動態演變”的思想并進一步擴展，將畜產品供應鏈中畜產品質量隨時間變化的規律表達微分方程為：

(1)

式(1)中，表Q(t)示畜產品質量在t時刻的質量，Q(0)=Q0為質量初始值；x(t)∈[0，1]表示養殖場戶在t時刻的質量預防水平，即養殖出質量合格畜禽的概率；y(t)∈[0，1]表示屠宰加工企業在t時刻的質量檢驗水平，即將質量不合格畜產品檢驗出來的概率；α、β、γ和δ均為大于零的常數，分別表示養殖場戶質量預防水平、屠宰加工企業質量檢驗水平和屠宰加工企業質量預防水平對畜產品質量的影響系數(統稱質量控制效果系數)，以及畜產品質量的相對衰減率。

③為避免價格競爭對該文主題(畜產供應鏈質量控制策略)的干擾，假定畜產品價格為常數。參照洪江濤等[7]和夏兆敏等[12]關于“市場需求、產品質量與供應鏈總收益間關系”的假設，用線性函數描述畜產品供應鏈總收益π(Q(t))與畜產品質量間得的關系為：

π(Q(t))=m+nQ(t)

(2)

式(2)中，m和n均為大于零的常數，n為畜產品質量對畜產品供應鏈總收益的影響程度。

⑤養殖場戶和屠宰加工企業共同分享畜產品供應鏈總收益，其中養殖場戶分得總收益的比例為σ，屠宰加工企業為1-σ，σ∈(0，1)稱為收益分配系數。

⑥養殖場戶和屠宰加工企業有相同且大于零的貼現率ρ，雙方的目標都是在無限時區內尋求能夠實現自身收益最大化的最優質量控制策略。

2 質量控制的微分博弈模型構建與分析

該文將分“雙方獨立平等的Nash非合作博弈”、“屠宰加工企業主導的Stackelberg主從博弈”和“雙方協同合作博弈”3種情況，構建畜產品供應鏈質量控制的微分博弈模型并對模型結果進行比較分析。

2.1 Nash非合作微分博弈模型

在Nash非合作博弈模式下，養殖場戶和屠宰加工企業的關系平等系，雙方同時、獨立地選擇各自的最優質量控制策略，以實現自身收益最大化。則，養殖場戶的目標函數為：

(3)

屠宰加工企業的目標函數為：

(4)

養殖場戶和屠宰加工企業的質量控制策略是當前狀態變量畜產品質量和時間的函數。由于該文所建模型中的所有參數都是與時間無關的常數，且在無限時區的任何時段內養殖場戶和屠宰加工企業實際上面對的是相同的博弈，因而雙方的最優質量控制策略組合為靜態反饋Nash 均衡。為書寫方便起見，下文將省略時間t。

根據靜態反饋Nash均衡的充分條件，養殖場戶的最優值函數Vf和屠宰加工企業{的最優值函數Vs均是有界、連續、可微的，兩者必須滿足如下漢密爾頓—雅可比—貝爾曼(Hamilton-Jacobi-Bellman)方程[14]，簡稱HJB方程。

(5)

(6)

基于已有研究文獻(洪江濤等[7]；夏兆敏等[12])，該文總結出上述HJB方程的“五步求解法”。

第一步，由式(5)和式(6)右邊最大化的一階偏導數條件得：

(7)

第二步，將式(7)分別代入式(5)和式(6)進行合并整理為：

(8)

(9)

由式(8)和式(9)可見，關于Q的線性最優值函數是式(5)和式(6)對應的HJB方程的解，于是令：

Vf=g1+h1Q，Vs=u1+w1Q

(10)

其中，g1、h1、u1、w1為待定常數。將式(10)及其對Q的導數分別代入式(8)和式(9)。

第三步，利用待定系數法進行求解得，

(11)

由式(11)可見，養殖場戶和屠宰加工企業的質量控制策略與畜產品供應鏈總收益分配系數σ有關。其中，養殖場戶的質量預防水平與σ成正比，而屠宰加工企業的質量檢驗水平和質量預防水平均與σ成反比。因此，要不斷改善畜產品質量，就應確定合理的畜產品供應鏈總收益分配系數σ，實現養殖場戶和屠宰加工企業質量控制策略的最佳組合。

第五步，將g1、h1、u1、w1代入式(10)得到養殖場戶、屠宰加工企業和畜產品供應鏈的最優值函數為：

(12)

2.2 Stackelberg主從微分博弈模型

在Stackelberg主從博弈模式下，作為畜產品供應鏈的核心企業，屠宰加工企業在質量控制過程中充當領導者角色，并主動分擔養殖場戶的質量預防成本，養殖場戶是質量控制的跟隨著，雙方質量控制策略的決策是一個序貫非合作博弈過程。屠宰加工企業首先確定最優的質量檢驗水平、質量預防水平和養殖場戶質量預防成本分擔比例τ∈[0，1]；養殖場戶在觀察到屠宰加工企業的決策后再決定自己的最優質量預防水平；屠宰加工企業在做出決策前能夠預料到養殖場戶的跟隨反應。此時，養殖場戶和屠宰加工企業的最優質量控制策略組合為靜態反饋Stackelberg均衡。

運用逆向歸納法，首先確定養殖場戶的最優質量預防水平。養殖場戶的目標函數為：

(13)

養殖場戶作為Stackelberg博弈的跟隨者，其最優質量預防水平的確定是一個單方最優化控制問題。根據靜態反饋Stackelberg均衡條件和最優控制原理，養殖場戶的最優值函數Vf必須滿足如下HJB方程：

(14)

(15)

式(15)的最優值函數Vs必須滿足如下HJB 方程：

(16)

針對式(14)和式(16)對應的HJB方程，利用“五步求解法”，得到Stackelberg主從博弈模式下，養殖場戶和屠宰加工企業的最優質量控制策略：

(17)

其他

(18)

由式(17)可見，在收益分配系數σ∈(0，2/3)范圍內，τ**∝1/σ。這表明，養殖場戶分得的畜產品供應鏈總收益比例越高，屠宰加工企業為其分擔的質量預防成本比例越低。這體現了畜產品供應鏈運作過程中，養殖場戶和屠宰加工企業之間利益分配與成本分攤的互動協調關系。

最優控制策略條件下，養殖場戶、屠宰加工企業和畜產品供應鏈的最優值函數為：

(19)

2.3 協同合作微分博弈模型

在協同合作博弈模式下，養殖場戶和屠宰加工企業成為一個整體，雙方以畜產品供應鏈總收益最大化為目標，共同確定各自的最優質量控制策略。則，畜產品供應鏈的目標函數為：

(20)

式(20)的最優值函數V必須滿足如下HJB方程：

(21)

利用“五步求解法”得到協同合作博弈模式下，養殖場戶和屠宰加工企業的最優質量控制策略：

(22)

在協同合作博弈模式下，養殖場戶和屠宰加工企業按照σ和1-σ的比例分配畜產品供應鏈總體收益。因此有：

(23)

2.4 比較分析

根據式(11)、式(18)和式(22)以及式(12)、式(19)和式(23)得出養殖場戶和屠宰加工企業間由Nash非合作博弈→Stackelberg主從博弈→協同合作博弈時，質量控制策略的調整量與最優值函數的增量，詳見表1(計算過程略)。

表1 非合作博弈、主從博弈、協同合作博弈的質量控制水平與最優值函數比較

表1中，Δx、Δy、Δz、ΔVf、ΔVs和ΔV分別表示不同博弈模式下，養殖場戶質量預防水平、屠宰加工企業質量檢驗水平、屠宰加工企業質量預防水平、養殖場戶最優值函數、屠宰加工企業最優值函數和畜產品供應鏈最優值函數等項指標的增量。由表1得出如下命題：

命題1 若畜產品供應鏈總收益分配系數σ∈(0，2/3)則養殖場戶與屠宰加工企業間的Stackelberg主從博弈嚴格優于雙方間的Nash非合作博弈。具體表現為，當雙方由Nash非合作博過渡到Stackelberg主從博弈時，養殖場戶的質量預防水平提高，屠宰加工企業的質量控制水平不變，養殖場戶、屠宰加工企業和畜產品供應鏈的最優值函數均增加。

命題2 養殖場戶與屠宰加工企業間的協同合作博弈整體上優于Stackelberg主從博弈。具體表現為，雙方由Stackelberg主從博弈過渡到協同合作博弈時質量控制水平均提高，畜產品供應鏈的最優值函數增加。

命題3養殖場戶與屠宰加工企業間的協同合作博弈是一種集體理性模式。具體表現為，協同合作博弈模式下，養殖場戶和屠宰加工企業的質量控制水平與畜產品供應鏈的最優值函數均大于分散博弈模式下的質量控制水平與最優值函數。

3 畜產品供應鏈質量控制策略的協同機制

命題3表明，養殖場戶與屠宰加工企業間的協同合作博弈是保障畜產品質量的充要條件。根據制度經濟學的基本原理，只有通過設計合理的畜產品供應鏈總收益分配制度，才能在滿足個體理性的前提下實現集體理性。即，確定合理的畜產品供應鏈總收益分配系數σ，確保對于養殖場戶和屠宰加工企業的收益來說協同合作博弈是Pareto最優的，雙方才能開展質量協同控制，畜產品質量得以不斷改善。

3.1 質量控制策略的協同條件

根據表1，養殖場戶和屠宰加工企業的個體理性條件為：

(24)

(25)

由式(24)得：

2ω/(φ+4ω)≤σ≤4ω/(φ+4ω)

(26)

由式(25)可得：

(ω-φ)/(2ω-φ)≤σ≤φ/(2φ-ω)

(27)

綜合式(26)和式(27)得：

max{2ω/(φ+4ω)，(ω-φ)/(2ω-φ)}≤σ≤min{4ω/(φ+4ω)，φ/(2φ-ω)}

(28)

命題4 當且僅當畜產品供應鏈總收益分配系數滿足式(28)時，養殖場戶與屠宰加工企業才能實現質量協同控制。

由式(28)可見，在質量協同控制模式下，畜產品供應鏈收益分配系數區間的左右端點與φ成反比，φ變大時區間左移，養殖場戶分享供應鏈收益減少；與ω成正比，ω變大時區間右移，養殖場戶分享供應鏈收益增加。這是因為，φ越大，說明養殖場戶的質量控制越容易，因而其分享的供應鏈收益越少；ω越大，說明屠宰加工企業的質量控制越容易，因而其分享的供應鏈收益越少，養殖場戶分享越多。這也體現了畜產品供應鏈運作過程中，質量控制收益分配與質量控制難易程度之間的互動協調關系。

圖1 Δx、Δy、Δz隨σ變化的曲線

3.2 數值模擬

為直觀驗證所建模型及命題(因篇幅所限，僅驗證命題3和命題4)的正確性，假定模型中的常量參數為：α=2.5，β=2，γ=1.5；k=0.8，λ=0.6，μ=0.4，ρ=0.1，則有：θ=13.333，φ=7.812 5，ω=12.291 7，2ω/(φ+4ω)=0.431 4，4ω/(φ+4ω)=0.862 8，(ω-φ)/(2ω-φ)=0.267 1，φ/(2φ+ω)=2.343 8。(超出σ的取值范圍，舍去。)結合式(11)式(18)和式(22)以及式(12)式(19)和式(23)將θ、φ和ω的值代入表1中的相關項，利用Matlab7.11.0進行數據模擬仿真，得出圖1、圖2和圖3所示的不同博弈模式下，質量控制水平增量、畜產品供應鏈最優值增量，以及養殖場戶和屠宰加工企業最優值函數增量隨畜產品供應鏈總收益分配系數變化的曲線。

圖2 ΔV隨σ變化的曲線 圖3 ΔVs、ΔVf隨σ變化的曲線

4 結語

該文運用微分博弈方法，導出了Nash非合作博弈、Stackelberg主從博弈和協同合作博弈3種模式下，畜產品供應鏈中養殖場戶和屠宰加工企業的最優質量控制策略與最優值函數，分析了實現養殖場戶和屠宰加工企業質量協同控制的畜產品供應鏈總收益分配機制。結果表明養殖場戶和屠宰加工企業之間協同合作時，個體收益和供應鏈總體收益都是最優的，并通過數值模擬驗證了所建模型與結論的正確性。主要結論包括：(1)若畜產品供應鏈總收益分配系數σ∈(0，2/3)則養殖場戶與屠宰加工企業間的Stackelberg主從博弈嚴格優于雙方間的Nash非合作博弈。(2)養殖場戶與屠宰加工企業間的協同合作博弈整體上優于Stackelberg主從博弈。具體表現為，雙方由Stackelberg主從博弈過渡到協同合作博弈時質量控制水平均提高，畜產品供應鏈的最優值函數增加。(3)養殖場戶與屠宰加工企業間的協同合作博弈是一種集體理性模式。協同合作博弈模式下，養殖場戶和屠宰加工企業的質量控制水平與畜產品供應鏈的最優值函數均大于分散博弈模式下的質量控制水平與最優值函數。(4)在質量協同控制模式下，畜產品供應鏈收益分配系數區間與φ成反比，φ變大時區間左移，養殖場戶分享供應鏈收益減少；與ω成正比，ω變大時區間右移，養殖場戶分享供應鏈收益增加。這是因為，φ越大，說明養殖場戶的質量控制越容易，因而其分享的供應鏈收益越少；ω越大，說明屠宰加工企業的質量控制越容易，因而其分享的供應鏈收益越少，養殖場戶分享越多。