基于自適應優化方法的響應時間數據分析

劉鵬寅* 徐忠平

（上海飛機制造有限公司，上海201324）

0 引言

溫度傳感器被應用于飛機的多個區域（如壓氣機出口、制冷包、機翼前緣表面等），為相關系統的控制部件提供相應的溫度信息，其性能特性對飛機相關系統的正常運行具有重要意義。溫度傳感器的響應時間反映了溫度傳感器的動態測試性能指標，檢測溫度傳感器的響應時間對于溫度傳感器的性能特性具有重要意義。響應時間的大小與溫度傳感器的物性參數、幾何參數以及測溫環境等物理因素有關[1]。由于測溫環境對溫度傳感器的響應時間影響顯著，因此很難用簡單的理論模型進行準確求取，故在實際檢測中通常采用實驗的方法得到溫度傳感器的響應時間[2]。常用的試驗方法為投入實驗法，這種方法簡單實用，適用于較小的溫度階躍[3]。本文所討論的溫度傳感器響應時間數據即是采用投入實驗法，將溫度傳感器投入恒溫油槽中，通過示波器記錄溫度傳感器輸出電壓的測試數據，最后對測試數據進行處理得到所需的響應時間。

采用傳統中溫度傳感器響應時間的測試數據由人工進行讀取與計算處理，不僅在精度上難以保證統一，同時會引入較大的人為因素引起的誤差，對響應時間的準確檢測存在負面影響。因此采用計算機編程處理測試數據獲取響應時間的方法被大量提出，這些方法雖然可以保證精度的統一，但是往往涉及到一些經驗常數的設置，影響了這類方法的適用性[4-5]。本文基于溫度傳感器響應時間的理論公式，采用擬合的方法對測試數據進行計算處理，從而得到所需的響應時間結果，避免了經驗常數的設置從而增強了該處理方法的適用性范圍，同時具備了自動高效的特點。

1 響應時間測試原理

對溫度傳感器進行響應時間測試時，可以將測試系統視為一階線性系統[2]，則其響應狀態可用如下微分方程進行描述：

式中：τ為響應時間；T為溫度隨時間變化的函數；()T t為測試記錄的結果。

對于階躍響應，則上述微分方程有如下解：

式中：T0為溫度傳感器的初始溫度；Te為階躍后溫度傳感器的最終溫度；ts為溫度階躍開始時刻，即本文測試響應時間所采用的投入實驗法中，溫度傳感器投入恒溫油槽的時刻。

當t-ts=τ，則上式變為

根據上式，通過計算溫度傳感器實測溫度T與初始溫度T0之差達到溫度階躍 ( Te-T0)的63.2%處所需時間就可以得到溫度傳感器的響應時間[6]。

2 響應時間計算算法研究

2.1 尋優擬合方案

本文計算溫度響應時間的方法是利用實際測試數據擬合得到理論公式中的響應時間，具體方法如下所述。

首先，通過對響應時間的理論分析，可以得到實際測試數據的理論函數如下所示：

式中：V為溫度傳感器輸出電壓；V0為溫度傳感器在初始溫度時對應的輸出電壓；Ve為階躍后溫度傳感器在最終溫度時對應的輸出電壓；則需要擬合的參數向量為：

其次，將理論函數與實際測試數據結果的差值平方和定義為目標函數：

式中：Vexp( ti)為ti時刻的實際測試數據，N為測試采樣總數。

最終溫度響應時間的擬合計算問題可以轉化為尋優問題，從而得到需擬合參數向量中的溫度響應時間 τ，即

式中：Yopt(X)為 Y(X)的最優值，Ω為X的定義域。

2.2 基于Kriging模型的自適應序貫優化方法

本文在尋優過程中采用基于Kriging模型的自適應序貫優化方法進行，該方法在多自變量的工程優化鄰域中，能夠避免局部收斂現象，同時具有較好的收斂速度和精度[7]。

2.2.1 Kriging代理模型

代理模型在工程優化問題中被大量應用以提高相應優化問題計算的效率，而本文所采用的Kriging模型相較于其他代理模型具有訓練樣本點處無偏估計、良好的高度非線性近似能力等特點[7]。

Kriging模型假設樣本點集 X=[x1，x2，…，xn]T（其中 xi( 1 ≤i≤n)為m維的向量，m為設計變量的個數，n為樣本點的個數），響應值 Y=[y1，y2，…，yn]T，樣本與響應值的關系如下：

式中：f(x)是確定性部分，表示對設計空間的全局近似。z(x)為一隨機函數，表示對設計空間的背離情況，其統計特性如下：

式中：R為相關函數矩陣，R( xi，xj，θ)為點xi，xj之間的相關函數。選擇高斯函數作為相關函數，其形式為：

未知點處的預測值和預測標準差為：

相關矩陣R以及β?，σ?2都依賴于相關參數向量θ，通常由最大似然估計方法給出其最優值用以構建最好的Kriging模型，即在θ＞0的情況下使下式最小：

在優化計算過程中需要確定校正點，本文采用EI（Expected improvement）函數來解決最小化問題，其定義為：

式中：Φ為標準正態分布函數，Ψ為標準正態分布概率密度函數，ymin為可行域中最小的目標函數值。整個優化問題的最終收斂條件為：

2.2.2 自適應序貫優化方法

圖1給出了基于自適應Kriging代理模型的溫度響應時間計算流程。該計算通過試驗設計獲得需擬合參數向量的樣本集，之后計算得到相應的響應樣本（目標函數）集，進而采用Kriging代理模型構造需擬合參數向量和目標函數的近似模型，并完成校正點的尋找和評估。若計算未收斂，則將校正點和相應的響應值加入樣本集，直至計算收斂，得到該問題的最優解，從而最終獲得需要的溫度響應時間τ。

圖1 基于自適應Kriging代理模型的響應時間計算流程

3 結果分析

3.1 響應時間數據結果與擬合結果對比

圖2給出了某型飛機溫度傳感器某次的響應時間測試數據與擬合數據對比圖。如前文所述，該測試數據是由示波器記錄的溫度傳感器輸出電壓的時間序列。如圖所示，該溫度傳感器的響應時間測試曲線與擬合后的理論曲線基本一致。但是由于背景噪聲等實際影響，測試數據在全時域上存在波動現象，見圖2中局部放大圖。對于初始溫度和最終溫度時溫度傳感器輸出的電壓數據，由于實際測試數據的波動，使得人工讀取的方法會引入較大的人為因素引起的誤差。這會導致對同一測試數據，同一人員多次讀取的結果、不同人員讀取的結果均會出現不同的現象。因此，采用傳統人工讀取的方法會導致溫度傳感器響應時間結果的誤差較大。而采用本文所應用的擬合優化方法，可以使得同一數據每次計算得到的響應時間結果保持一致，從而避免了處理響應時間測試數據時人為因素的引入。

圖2 響應時間測試數據與擬合數據對比圖

圖3 響應時間測試數據與擬合數據局部對比圖

為了進一步分析擬合尋優方法計算響應時間的特性，圖3給出了圖2中部分時間區域內的測試曲線與擬合計算得到的理論曲線對比圖。從圖3中可以發現，實際溫度傳感器的階躍開始時間與擬合得到的理論結果有明顯差異，同時在階躍上升階段測試數據和理論結果也存在一定的偏差。這一現象主要受兩個因素的影響：一是溫度傳感器本身的實際階躍響應特性與理論存在差異；另一個是由于所采用的投入實驗法的結果受制于溫度傳感器投入恒溫油槽的速度，如果溫度傳感器投入恒溫油槽的速度過慢則不符合溫度階躍的假設，從而導致實際響應曲線與理論解存在一定的差距。

3.2 階躍開始時刻修正

投入實驗法中階躍開始時刻的定義是溫度傳感器投入恒溫油槽的時刻，對應于響應時間曲線應是數據開始高于初始溫度所對應常值的時刻t′s。由于實際測試中，初始溫度階段的響應曲線是波動的，故本文中將實際階躍開始時刻定義為實際響應時間數據中最后一個低于擬合得到的初始溫度所對應常值的時刻。考慮到實際響應時間曲線在階躍開始階段與理論解的不同，定義響應時間的修正結果如下：

式中：τ為擬合計算得到的理論響應時間，Δt為擬合的理論階躍開始時刻ts與實際階躍開始時刻t′s之間的差值。

表1 響應時間數據計算結果

表1給出了同一溫度傳感器五次測試結果對比，采樣總數均為10 000，其中序列1數據結果即是上文圖中分析的測試數據。從多次對比結果可以看出，Δt在響應時間中的占比均達到14%以上，因此在計算響應時間過程中不應忽略這一因素的影響。同時表中還給出了人工讀取響應時間的結果τ-，為盡量消除人為因素的影響，這里給出的是同一人員三次讀取的平均值。從結果對比可以發現，擬合尋優方法計算得到的響應時間數據結果與人工讀取結果存在一個較為一致的偏差。這是由于采用人工讀取方法，很難對初始溫度、最終溫度時相應數據結果及階躍開始時刻進行精確的估計，同一人員利用個人經驗判斷就會造成一個較為一致的偏差。這種由人為經驗引起的偏差會對溫度傳感器響應時間特性的研究分析形成負面影響，采用擬合尋優的方法可以消除這種偏差影響。

3.3 階躍開始時刻修正

表1中還給出了各次測試數據的目標函數的最優值結果，按目標函數的定義其反映的是實際數據與理論解的差異程度。可以發現序列5的測試數據結果的目標函數明顯高于其他測試結果，同時人工讀取與計算得到的響應時間也均明顯高于其他測試結果。圖4給出了序列5的響應時間測試數據與擬合數據對比圖。對比圖1情況，從圖4中可以發現擬合數據與測試數據有明顯區別，其目標函數過高是這一現象的量化體現。由于表1中五次測試數據均采用同一溫度傳感器，結合上文關于測試數據與擬合后的理論結果差異因素，可以判斷是由于實際操作中的問題（如溫度傳感器投入恒溫油槽的速度過慢）所引起的。因此序列4的測試數據并不能反映該溫度傳感器的真實階躍響應特性。綜上所述，對于同一溫度傳感器進行多次響應時間測試后，可以通過目標函數的數值判斷是否存在操作問題，從而避免錯誤的測試數據影響響應時間的結果。

4 結論

在溫度傳感器響應時間測試中，采用人工讀取方法存在對同一測試數據多次讀取結果不一致的現象，從而導致響應時間結果難以精確統一。為此本文提出了尋優擬合計算響應時間的方法，其中所采用的自適應序貫優化方法具有全局收斂特性，同時避免了經驗參數的介入，具有更好的適用性。通過結果分析，可以發現該方法能夠避免人工讀取方法存在的問題，得到較為精確的響應時間結果。同時計算過程中所得到的目標函數，可以對同一溫度傳感器的多次測試數據進行對比量化判斷，以剔除由于實際操作問題引起的測試數據對響應時間最終結果的影響。采用本文的尋優擬合計算方法，對于溫度傳感器的響應時間測試數據可以進行自動精確的處理，減少該過程中由人為因素所引起的誤差對響應時間結果的影響。