非線性微分代數系統的魯棒輸入-輸出線性化問題

張秀華, 房佳瑤

(東北大學 理學院, 遼寧 沈陽 110819)

由微分方程和代數方程組成的系統稱為微分代數系統,該系統是微分系統對復雜系統描述的推廣.微分代數系統在許多工程領域中有著廣泛的應用,如電子網絡系統、電力系統、經濟系統、機械系統、機器人系統、慣性導航系統、化學工程、導彈系統、航空系統、生物系統、網絡分析以及社會系統等.微分代數系統無論在理論研究上還是實際應用中都是一類非常重要的系統.近年來微分代數系統得到了廣泛研究并形成了與正常的常微分方程[1-2]平行的結果.但是大部分方法都是采用系統分解的方法,來降低難度.

本文利用類似微分幾何理論的方法,引入微分代數系統的M導數[3],并采用微分幾何的線性化方法,得到系統的反饋線性化控制器.輸入輸出線性化[4-7](IOL)是非線性控制系統設計中最突出的方法之一.IOL提供的優點之一是它為控制器的設計提供了系統的框架.在這種方法中,基本思想是獲得一個尋求線性化其他非線性系統的非線性控制器.一旦系統被線性化,任何標準的線性技術都可以用來設計控制器.為此,設計一般分為兩步:首先,將非線性控制器作為內環控制;然后設計第二階段或外環控制,以獲得期望的閉環性能.顯然,這種方法的實現取決于能否對模型進行準確描述.在模型不確定和不準確的情況下,不能保證IOL控制器的性能令人滿意.由于建模不確定性幾乎總是存在,因此需要對基于IOL的控制器進行升級.在本文中,利用不確定性和擾動估計量(UDE)來估計不確定性,使IOL控制器得到優化.與其他方法不同,這種方法不需要知道不確定性的邊界,也不需要任何關于它的信息.

由于電力系統是個復雜的動態系統[8-9],其中存在著不確定因素的干擾.因此,設計抗干擾的魯棒控制器就成為一個重要的課題.目前,魯棒控制理論在電力系統中的研究還不夠完善,其中一個有待解決的問題就是如何對不確定系統進行建模,也就是說如何將干擾項引入控制系統,對該系統進行有效地控制.本文對具有魯棒性的微分代數系統應用了類似于經典的微分幾何理論中的定義,將具有魯棒的微分代數模型線性化,并運用輸入輸出線性化和不確定性和擾動估計量(IOL+UDE)的方法,給出了勵磁控制器設計.

1 系統描述與定義

考慮如下形式的微分代數系統

(1)

式中:x∈Rn為狀態向量;z∈Rs為約束向量;u∈Rm為輸入向量;y∈Rm為輸出向量;f(x,z),gi(x,z):Rn×Rs→Rn為光滑n維向量場;p(x,z):Rn×Rs→Rs為光滑s維向量場;h(x,z):Rn×Rs→Rm為光滑m維向量場.

式(1)在(x0,z0)滿足相容性初始值,p(x0,z0)=0.并滿足在某連通開集Ω?Rn×Rs上

設Mf(λ(x,z))表示函數λ(x,z)關于向量場f的M導數,定義為Mfλ=E(λ)f.其中,

(2)

如果在(x,y)=(x0,y0)的鄰域內有

成立,則說系統在(xij,y0)的鄰域中的向量相對階為r.

2 輸入-輸出線性化

輸入-輸出線性化(IOL)的基本思想是,對于一個給定的非線性系統,尋求一個稱為內環控制的非線性控制器,在這種控制下,系統呈現線性輸入-輸出關系.隨后,可以設計外環控制來實現期望的輸出跟蹤[9-11].假設系統(1)的期望輸出軌跡為y*(t),0≤t≤tf,y*(t)是系統(1)中對一些可行的參考控制u*(t),0≤t≤tf的結果.本文的目標是設計一個控制器使得y(t)漸近跟蹤參考輸出y*(t).

假設微分代數系統(1)具有M向量相對階(r1,r2,…,rm).為了得到IOL控制器,對yi(t)求關于向量場f,g的M導數,

(3)

Yr=a(x)+W(x)u.

(4)

并且,W(x)∈Rm×m,它的每一行的形式都是

假設W(x)是非奇異的,IOL控制器被定義為

u(t)=W(x)-1(-a(x)+v).

(7)

其中v=(v1,v2,…,vm)T∈Rm是外環控制.將式(7)代入式(4)中,得到

(8)

3 不確定性和干擾估計的IOL控制器

設計魯棒控制器的方法之一是估計作用于系統的不確定性和干擾[11-12]的影響.時間延遲控制(TDC)是常用的估計不確定性的方法.該方法利用最近的信息直接估計不確定性和外部擾動的影響,然后利用這一估計來設計控制器,以抵消未知動態和外部干擾的影響.遵循TDC的思想,提出了一種估計不確定性的UDE方法.作者已經表明,盡管這種方法帶來的結果與TDC的結果相似,但它克服了與TDC方法相關的一些缺陷.通過與TDC方法的比較,得到了基于UDE方法的控制器,并證實了該結果的正確性.

考慮如系統(1)的動態方程,由于在實踐中,系統(1)所給出的模型很少被認為是準確的,因此必須考慮模型的建模錯誤和不準確性,將系統(1)重新改寫為

(11)

Δf(x,z),ΔG(x,z)代表了相關的不確定性.考慮到不確定性,式(4)將被改寫為

(12)

如果有的話,這里的d=(d1,d2,…,dm)T,表示不確定性和外部不可測擾動的影響.為了解決不確定項的問題,對于控制器式(7)增廣為

u(t)=(x)-1(ua+ud+v).

(13)

其中,

設計錄入界面的設計。錄入界面是小學蒙古文教育資源管理庫平臺的一個不可或缺的一部分，是一種重要的模塊，其主要功能是語料的錄入和存儲。包括將已經收集好的預料文件和預料文獻數據信息進行匯總錄入和存儲在特定的位置。

(14)

ud是控制器中為了消除不確定項的影響而設計的.將式(13)控制器指定為IOL+UDE控制器.將式(13)代入到式(12)中,得到:

Yλ=ud+v+d.

(15)

從式(15)可以得到

d=Yλ-ud-v.

(16)

鑒于式(16),并根據文獻[8]中給出的算法,可以得到d的一個估計,

=Gf(s)(Yλ-ud-v).

(17)

(18)

Gf(s)中的每一項都是含有時間常數τi的一階低通濾波器.選擇ud=-,并將式(17)代入,得到

ud=-Gf(s)(Yλ-ud-v).

(19)

從中解得ud,

ud=-(I-Gf(s))-1Gf(s)(Yλ-v).

(20)

將式(9),式(14),式(20)代入到式(13)中,即得到IOL+UDE控制器.

4 魯棒微分代數模型勵磁控制器的設計

考慮具有勵磁控制的單機與非線性負荷連接的輸電系統.

其中,

式(21)可以表示為魯棒微分代數系統的標準形式

f(x,y)=(f1,f2,f3)T,g(x,y)=(1,0,0)T,0=ρ(x,y)=(gb,hb,gl,hl)T.

式中ζi2=0,i=1,2,3,4.

故可設

其中,γij(i=1,2,3,4;j=1,2,3)是(x,y)的函數.

輸出選為h(x,y)=δ-δ0,經計算得:

故系統的向量相對階λ=3,把式(21)寫成更緊湊的形式,

假設W(x)是非奇異的,IOL控制器為

(25)

考慮到不確定性,式(24)將被改寫為

(26)

為了解決不確定項的問題,對于控制器式(25)增廣為

(27)

將式(25)代入到式(26)中得到:

y(3)=ud+v+d,

(28)

從中可以得到:

d=y(3)-ud-v.

(29)

鑒于式(29),并根據文獻[8]中給出的算法,可以得到d的一個估計

=(y(3)-ud-v)Gf(s).

(30)

Gf(s)中的每一項都是含有時間常數τi的一階低通濾波器.選擇ud=-,并將式(30)代入,得到

ud=-Gf(s)(y(3)-ud-v),

(31)

從中解得:

ud=-(I-Gf(s))-1Gf(s)(y(3)-v).

(32)

將式(9),式(32)代入到式(27)中,即得到IOL+UDE控制器.

下面針對系統(22)給出有關的參數.分別見表1～表4.

表1 發電機參數Table 1 Generator parameters

其中,負荷節點的有功功率和無功功率都是該負荷節點的非線性電壓函數,

表2 負荷特性參數Table 2 Load characteristic parameters

表3 系統短路故障前的平衡點Table 3 Equilibrium point before system short-circuit fault

表4 系統短路后的平衡點Table 4 Equilibrium point after system short-circuit fault

利用控制式(27),得到控制效果如圖1～圖4的仿真圖形.

圖1 暫態電動勢曲線無量綱)Fig.1 Curve of transient electromotive force

圖2 發電機轉子轉速ω曲線Fig.2 Curve of generator rotor speed ω

圖3 發電機功角δ曲線Fig.3 Curve of generator power angle δ

圖4電壓Vl曲線(Vl無量綱)
Fig.4CurveofvoltageVl

5 結 論

利用有關非線性微分代數系統的反饋線性化技術理論和微分代數系統的M導數方法,對具有非線性負荷的電力系統及發動機勵磁進行了綜合控制,實現了發動機功角、轉子轉速、電動勢和電壓穩定的控制目標.從上面的仿真結果可以得到驗證.