基于本質屬性建構概念意義
——以《相交與平行》教學為例

浙江省杭州市余杭區教育局教研室 李玉華

浙江省杭州市余杭教育學院 張建明

圍繞“扎實·智慧的數學課堂——堅持與包容：基于基礎性課程內容的數學核心素養培養”這一主題的浙江省杭州市2018年小學數學教學觀摩評比活動已經圓滿結束了，在此活動中我區推出的《相交與平行》，課后得到了同行們“簡潔與深刻一致”的高度評價，并榮獲了一等獎中的第一名，現將“起源、思考、實踐、反思”的心智經歷分享與大家。

一、起源

為了迎接市小學數學教學觀摩評比活動，我們團隊選擇了人教版四年級第五單元《平行四邊形和梯形》的第一課時《平行與垂直》作為了研究課例。

1.學生沒有真正理解“同一平面內”含義

“在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線”是人教版給“平行線”概念的定義。教材先讓學生在紙上任意畫兩條直線，通過觀察、分類、直線延長等畫一畫、分一分中逐步明確平行線概念，比較簡潔、高效。但學習后“同一個平面”這一前置條件學生并沒有真正理解。我們嘗試讓五年級的學生說說：“下圖中兩條直線是什么關系？為什么？”，絕大多數學生能說出“兩條直線既不平行也不相交”，但能正確說出“為什么”則寥寥無幾，更不知道兩直線所在平面位置。

顯然，從二維到三維的思維跨度較大，對學生的空間想象能力要求太高，事實上上圖中直線m所在的平面可以有無數個，同理直線L也有無數個，但是不能合在同一平面內，這是很難讓四年級的孩子去領悟的，所以教學時學生對異面兩直線體會并不深刻，蜻蜓點水，淺嘗即止，缺乏整體建構。

2.學生理不清“平行、相交、垂直”關系

人教版教材把此內容的課題定為《平行與垂直》，從教材的版面設計來看，對平行和垂直概念明顯筆墨較多，有意無意地弱化了相交的地位，從以往的課例來看，一課時內完成相交、平行、垂直的教學是普遍現象，這樣產生的副作用是：學生對三者之間的邏輯關系常常混淆。我們對不同教師任教的班級做了三次后測（結果統計如下表）。可見，教材著重突出了平行與垂直后，相當一部分學生對于三者之間的關系是不甚清楚的，將垂直概念與相交、平行置于并列關系占了27%。

題：請你用維恩圖（集合圖）表示一下同一平面內相交、平行、垂直之間的關系。

題：請你用維恩圖（集合圖）表示一下同一平面內相交、平行、垂直之間的關系。典 型 圖 例 結論 占比images/BZ_61_289_640_417_710.pngimages/BZ_61_426_638_599_714.png正確表達 68%images/BZ_61_264_753_392_823.pngimages/BZ_61_400_750_527_820.pngimages/BZ_61_542_751_670_821.pngimages/BZ_61_271_847_399_918.pngimages/BZ_61_408_845_581_920.png錯誤表達27%images/BZ_61_335_954_463_1025.pngimages/BZ_61_471_951_598_1021.png其他（不完整） 7%

二、思考

為了突出教學重點突破教學難點，我們從基于本質屬性建構概念意義的角度，對“同一平面內”含義真正理解的導入、“相交、平行”概念意義重構的定位、“教材再整合”課時安排調整的設想，進行了較深入的思考。

（一）基于“同一平面內”含義真正理解的導入

“同一個平面”的理解是本節課的難點，不同的學生在認知上存在差異，為了突破并強化“必須在同一平面內”的理解，是否可以嘗試教學導入時就在一個三維空間內來研究兩條直線的位置關系，再從三維到二維再到一維，反其道而行呢？理由是學生接觸到的現實空間都是三維的、可視化的立體空間，比較符合認知習慣；二者在三維空間內研究兩線關系，便于整體建構，將所有兩直線位置關系一一呈現出來（包括同面、異面），再通過分類、比較、辨析，順勢引出相交與平行，而所用的三維空間的載體，就只需一個簡單的長方體而已。

（二）基于“相交、平行”概念意義重構的定位

基于學生積累的豐富表象和學習經驗，人教版教材對“相交”概念直接出示，沒有下定義，如果在一個平面內討論兩直線關系，這當然是沒有任何問題的，但如果對兩直線關系在一個三維空間內討論，兩直線關系出現的情況會非常復雜，所以需要對“相交”的本質屬性有一個簡單的判斷，考慮到四年級學生的實際，將“有交點”作為判定相交的本質屬性。關于平行線，人教版教材給了比較嚴格的定義“在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線”，這個定義更多的是基于對平行線的判定，而非平行線的本質屬性，華東師范大學數學系張奠宙教授在《小學數學教材要厘清邏輯順序——談平行與平移》一文中指出：“‘平行線’教學要和方向概念聯系起來，應用直線的方向相同來定義直線的平行。”基于這樣的認識，將“方向一致”作為平行線的本質屬性在教學中加以落實。

（三）基于“教材再整合”課時安排調整的設想

在《平行與垂直》一課時中教學完相交、平行、垂直，由于知識點較多，帶來的一個問題是一部分學生對三者之間的并列與包含關系混淆，教學效果存疑。因此，從單元立意、整體建構的角度考慮，將“垂直”概念挪到第二課時進行教學，在本課時中聚焦于研究“相交與平行”的關系，課時安排調整的設想（如下表）。

版 本 第一課時 第二課時 第三課時 第四課時教材原編排平行與垂直畫垂線 垂線段、平行線間距離處處相等畫長方形、正方形整合后安排相交與平行垂直、畫垂線垂線段、平行線間距離處處相等畫長方形、正方形

三、實踐

（一）畫一畫——感知兩條直線的不同位置

師：同學們，請看這是什么？

生：長方體。

師：現在老師請你們在長方體上，用直尺和水筆任意畫兩條直線。

生：畫兩條直線（師以照片的形式展示“學生作品”，并用手比劃只要“在這個長方體上畫兩條直線都可以”）

師：請想一想這兩條直線你會畫在哪里呢？（學生動手操作）

借助于長方體這個三維的工具，讓學生在長方體面上任意地畫兩條直線，肯定會出現同面、異面的直線；相交、待相交、平行、既不相交也不平行等各種兩直線關系，既可以為后續分類提供豐富的素材，也可以在一個三維的框架下整體建構兩直線關系，目的是讓學生感知兩條直線的不同位置。

（二）分一分——思考兩條直線的不同關系

師：巡視中將典型的7種畫法借助西沃同屏軟件拍照實時傳于大屏幕。

師：如果讓你給它們分分類，你會怎么分？把你的想法先說給同桌聽一聽。

（同桌交流想法，然后請學生上臺拖動圖片分一分）

生1：把兩條直線畫在同一個面上的分為一類（圖①②⑥⑦），畫在不同面上的分為一類（圖③④⑤）。

生2：把交叉在一起的分為一類（圖②③），不交叉在一起的分為一類（圖①④⑤⑥⑦）。

生3：這兩條直線延長后也會交叉在一起（圖⑥），也應該分在交叉的那一類。

生4：我覺得這四幅應該單獨分一類（圖①②⑥⑦），它們在同一個面上。

師：聽了這幾位同學的意見，他們對這四幅圖（圖②③⑤⑥）有不同的想法，既然這樣我就先來研究大家沒有意見的這三幅圖（圖②③⑥）。

對這7種類型進行分類，根據前測發現學生分類的思考路徑基本可概括為兩種，第一種是按兩條直線是否畫在同一個平面上來分，第二種是按兩條直線是否相交（學生稱交叉）來分，但是這兩種分類的路徑，最終都會指向相交、平行、既不相交也不平行三類，所以分類的切入點不同，但出口端相同，殊途同歸，目的是讓學生自主思考兩條直線的不同關系。

（三）議一議——理解相交平行的概念含義

1.基于“有交點”建構“相交”概念

師：先來看這幅（圖②），這幅圖你們都說這兩條直線是交叉在一起的，那么它們在哪里交叉了呢？

生1：它們這樣（用手比劃）交叉在一起了。

生2：一條直線這樣，另一條方向這樣，不一樣的就交叉了。

師：那哪個地方可以看出來因為它們方向不一樣就交叉了呢？

生：這個點。（生上臺指一指交點）

師：同學們剛剛說的交叉在一起，在數學上我們就說這兩條直線的位置關系就是“相交”，這個交叉的點就叫“交點”，只要這兩條直線有相交關系那么就會“有交點”（板書）。

師：那這兩幅圖（圖③⑥）的兩條直線相交嗎？

生：相交。（圖③）交點在棱上（學生上臺比劃）；（圖⑥）交點在延長線上，因為這是直線，直線是可以無限延長的。

師：把掌聲送給他，直線的特點馬上就想到了。如果把這兩條直線延長，那你能想象下大約會在什么位置相交（生想象）。

師：拿出直尺動手操作，實際證明這兩條直線也會相交。這條直線向著這個方向延長，另一條直線向著另一個方向延長，最終它們相交了，交點就在這兒（比劃）。我們把這三幅圖移到黑板上。這些圖中的兩條直線都相交，相交后都有交點。

從沒有爭議的相交圖入手，讓學生指一指在哪里交叉，指向相交的本質屬性“有交點”，同時隨即滲透相交的兩條直線“方向不一樣”，為后面學習平行的本質屬性“方向一致”做好埋伏。有了第一幅圖關于相交本質屬性“有交點”的準備，然后用這一屬性來判斷異面相交（本質上是同面）和延長后相交這兩種情況，完善了對相交概念的認知。

2.基于“方向一致”建構“平行”概念

師：我們來看這兩幅圖（圖①⑦），剛才同學們都同意這兩幅圖中的兩條直線是不相交的，你們是怎么想的？

生：這兩條直線方向是一樣的，不管怎么延長都不會相交的。

師：那向左向右穿過這個屏幕無限延長下去呢？

生：還是永遠不會相交的，因為這兩條直線的方向是一樣的，不會相交在一起的。

師：是啊（動態延長圖①兩直線），像這樣的方向一樣的兩條直線永遠不相交，我們就說這兩條直線互相平行。它們的位置關系就是“平行”（板書）那這兩條直線互相平行嗎（圖⑦）？說說你的想法。

生1：還是互相平行的，它們和前面圖中兩條直線一樣的，只是都是朝著前后方向延長的，延長后也不會相交的。

生2：他說的就是兩條直線向著前后無限延長永遠不會相交的，所以也還是互相平行的。

師：是的，這兩條直線向前、向后這兩個方向無限延長，它們都是不相交的，所以它們是互相平行。那這樣呢（旋轉圖⑦）？

生：還是互相平行的，只是現在兩條直線都是向同一個方向斜著的。

師：對的，像這樣延長方向一致的兩條直線，永不相交，就互相平行了。

基于“方向一致”初步建構“平行”概念。由于沒有學過垂直，無法用距離處處相等來判定，因此對平行的定義是基于視覺直觀，即兩條直線向兩端無限延長之后也不會相交（借助于計算機技術和空間想象），落腳點是在“方向一致”上，通過前后方向，左右方向，旋轉后斜向，體會平行的兩條直線都是向同一個方向無限延長。

師：那這兩條直線互相平行嗎（圖④）？

生 1：平行

生2：不平行

生 3：平行

師：誰來說說你們是怎么想的？

生3：前面說了只要方向一致的兩條直線就互相平行了，那么這兩條直線的方向是一樣的，所以我認為這兩條直線是互相平行的。

師：那認為不平行的你們又是怎么想的？

生2：這兩條直線不在一個面上，也可以平行嗎？

師：其實要互相平行的兩條直線還要在同一平面上，請仔細觀察這兩條直線它們能放在同一平面上嗎？（學生沉思）

生1：可以的，把長方體拆開來就好了

生2：拆開來打開就能放到同一平面上了

師：還有不拆的想法嗎？（生沒有其他想法）那你們先看動畫（用刀沿著兩條直線進行切割的動畫），看完你再思考下你有沒有新想法？

師：現在你看到了什么？

生1：經切割，這兩條直線它們在一個面上了。

生2：這個面和我們平常看到的不一樣，這個面是切出來的，而且還是斜著的。

生3：是的，只要是平平的就是平面了，斜著的也是的。

師：是呀，像這樣方向一致的兩條直線我們就可以切出一個斜斜的平面了，這兩條直線就在同一平面上了，看來這三副圖中的兩條直線都是互相平行的。

基于“方向一致”深入建構了“平行”概念。先通過討論圖中異面（實質是同面）平行的兩條直線來激發認知沖突，再把兩條異面的直線想辦法放在同一個平面上，是一個需要很強空間想象力的任務，學生的直覺思維是把這個長方體的面給拆了拉平。對于需要斜切在長方體內部來找平面的方法學生普遍感到困難，借助計算機輔助，動態演示切的過程，學生恍然大悟，難點順勢而解。

3.基于“同一平面”深化“相交與平行”本質

師：那這兩條直線呢（圖⑤）？

生1：屬于相交的。

生2：應該是平行的。

生3：它們不會有交點，所以肯定不是相交。

師：剛剛第一位同學說相交的，請問交點在哪里？

生1：把這條直線延長就會在這里相交了（學生比劃）。

師：真的？老師這兒有兩根小棒咱們就把它們當成這兩條直線，請你上來擺一擺看。

生1：上臺擺好，硬生生把小棒折彎說相交了。

生：（搶答）這是直線怎么可以折彎呢？應該是不相交的。

生：（搶答）老師我還發現這兩條直線方向是不一樣的，而且也不在一個面上。

師：誰聽懂這位同學說的了嗎？

生：他說這兩條直線的方向是不一樣的。

師：那這兩條直線是互相平行嗎？

生：也不是平行。

師：是呀，像這樣的兩條直線不會相交，方向也不同，而且也不在同一平面上，所以它們“既不是相交也不是平行”（板書）。今天大家一起研究了兩條直線的關系：相交與平行（板書）。像這樣既不相交也不平行的我們以后再研究。

最后的圖⑤是屬于異面中既不平行也不相交的情況，它的存在對于完善相交和平行的概念有很大作用，由于拍成的圖片是二維的，學生在辨析中存在困難，因此通過教具的直觀演示（用兩根小棒代替直線）來進行突破，效果較好。此環節還發生了一個學生將小棒折斷后讓線強行相交的小插曲，也很好地反證了直線必須是直的特性。最后點明本課主旨，研究的是兩條直線之間的關系：相交與平行，相交的本質屬性是兩直線“有交點”、平行的本質屬性是兩直線的“方向一致”。

四、反思

1.課題演變有利于關系的簡單理清

課題是一個“眼”，課題的演變及背后的思考（如下表）。從“教、學、評”的結果看，過程的思考是深刻的，課題的演變是正確的，它更有利于學生簡單理清“相交與平行”的并列關系。

稿別 課題 思考第一稿《平行》對教材內容《平行與垂直》進行處理，去掉垂直部分的教學，課題就順理成章地剩下了《平行》字第二稿《平行與相交》在同一個平面內，教學平行概念，勢必繞不開相交，兩者是并列關系，缺一不可，課題定為《平行與相交》體現建構的整體性第三稿《相交與平行》在同一個平面內的兩線關系，相交是一種更普遍的現象，而平行卻是一種相對比較特殊的現象（需要一定的條件：方向一致），本課教學中，也是先涉及相交后研究平行，所以《相交與平行》既能體現一般與特殊的關系，又能反映教學先后順序。

2.本質把握有利于概念的深刻建構

從一個“體”上來研究兩直線關系，即從三維整體構建再回到二維研究，對四年級學生來說雖具有一定的挑戰性，但從課堂教學效果看學生由于生活經驗的積累，空間想象能力還是能有效支撐的。關于“平行線”的定義不同版本教材有的“像這樣……”描述性定義，有的“在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線”下相對嚴格的定義，沒有出現用“方向一致”這個角度來定義，是考慮到四年級學生的認知水平較低空間觀念不足采取的不得已策略，還是另有原因我們雖不得而知，但從學生課堂學習結果看，基于“平行”的本質屬性弱化“同一平面”用“方向一致”來建構概念意義還是切實可行的。當然，作為一堂研究型的課，顛覆以往固有的設計結構，提供一種全新的切入視角，一切還有待時間來檢驗。