基于分形理論的AC-16型瀝青混合料高溫性能預(yù)測(cè)模型

王懷志，呂馥宏

(1.安徽省公路工程檢測(cè)中心 合肥市 230051； 2.中鐵國(guó)際集團(tuán)有限公司 北京市 100039)

在夏季炎熱的北方地區(qū)，瀝青混合料的高溫穩(wěn)定性一直是判斷道路性能的重要依據(jù)，其級(jí)配分布與路面性能密切相關(guān)[1]。運(yùn)用分形理論分析兩者之間的內(nèi)在關(guān)系，通過(guò)多組AC-16瀝青混合料車(chē)轍試驗(yàn)，建立了AC-16瀝青混合料高溫性能預(yù)測(cè)模型，供設(shè)計(jì)參考。

1 分形理論及瀝青混合料的分形特征

1.1 分維數(shù)的計(jì)算方法

分形維數(shù)可以用來(lái)解釋物體的復(fù)雜特性。對(duì)于分形維數(shù)的計(jì)算方法通過(guò)具體實(shí)例向讀者闡述。

設(shè)有一條曲線(xiàn),例如海岸線(xiàn),假設(shè)先用長(zhǎng)為ε的尺進(jìn)行量測(cè),其長(zhǎng)度測(cè)量結(jié)果見(jiàn)式(1)。

L=Nε

(1)

式中：L—曲線(xiàn)量測(cè)長(zhǎng)度；

N—用尺量測(cè)的次數(shù)。

由于海岸線(xiàn)是形狀上有自相似的分形曲線(xiàn),且L與ε有關(guān)，具體過(guò)程見(jiàn)式(2)。

(2)

式中：L0—曲線(xiàn)是整數(shù)時(shí)的長(zhǎng)度,常數(shù)；

D—表征曲線(xiàn)復(fù)雜程度的分維數(shù),且有D≥0。

若考察的對(duì)象是點(diǎn)、線(xiàn)段、面或體,則式(1)可以推廣成式(3)。

(3)

式中,當(dāng)E=0時(shí),A與對(duì)應(yīng)點(diǎn)或線(xiàn)段的個(gè)數(shù),如Cantor集；當(dāng)E=1時(shí),A與對(duì)應(yīng)線(xiàn)的長(zhǎng)度；當(dāng)E=2時(shí),A與對(duì)應(yīng)幾何對(duì)象的面積和長(zhǎng)度；當(dāng)E=3時(shí),A與對(duì)應(yīng)體積和長(zhǎng)度；A0是圖形為整數(shù)時(shí)A的數(shù)值；εmax為尺的最大長(zhǎng)度；D為分維數(shù)[2]。

1.2 集料粒徑分布的分形

集料粒徑分布的函數(shù)根據(jù)定義，可寫(xiě)成式(4)。

(4)

式中：F(x)—粒徑分布函數(shù)；

N(x)—不大于粒徑x的集料顆粒數(shù)目；

N0—集料顆粒的總數(shù)目；

x—粒徑尺寸大小，用篩孔尺寸大小表示。

若維對(duì)象是一維的點(diǎn)或線(xiàn)，則其分維計(jì)算公式見(jiàn)式(5)。

(5)

式中：A0、B0—常數(shù)；

D—瀝青混合料中集料粒徑的維數(shù)；

E—拓?fù)渚S數(shù)。

對(duì)集料級(jí)配進(jìn)行研究，我們可以用線(xiàn)段來(lái)表示粒徑，將線(xiàn)段進(jìn)行n級(jí)排列。級(jí)配粒徑的拓?fù)渚S數(shù)為E=0，每一級(jí)的集料數(shù)用ni(i=1,2,3……n)來(lái)表示，則如式(6)所示。

(6)

由式(5)和式(6)可知，集料粒徑分布函數(shù)見(jiàn)式(7)。

(7)

將式(7)帶入式(4)中，可得到級(jí)配集料的粒徑分布函數(shù)，如公式(8)所示。

(8)

其中D值是可以表示出粒料的粗細(xì)狀況的，但它不是絕對(duì)的。D值如果出現(xiàn)增大趨勢(shì)的話(huà),則表征通過(guò)篩孔的粒料增多,對(duì)應(yīng)的粒料則應(yīng)該是粒徑較小的[3]。

2 試驗(yàn)材料及混合料配合比設(shè)計(jì)

根據(jù)北方地區(qū)氣候環(huán)境、料源及交通量等特點(diǎn)，確定了原材料及用量[4]；根據(jù)瀝青混合料的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及強(qiáng)度形成機(jī)理，確定了用于預(yù)測(cè)分形模型的級(jí)配類(lèi)型。

2.1 原材料基本性能檢測(cè)

選用遼陽(yáng)市小屯宏發(fā)采石廠(chǎng)生產(chǎn)的石灰?guī)r礦粉及骨料、沈陽(yáng)鴻祥水泥有限公司生產(chǎn)的42.5級(jí)普通硅酸鹽水泥及遼河90號(hào)道路石油瀝青配制AC-16混合料。原料測(cè)試結(jié)果如表1、表2和表3所示。

表1 瀝青技術(shù)指標(biāo)

表2 粗集料技術(shù)指標(biāo)

表3 細(xì)集料技術(shù)指標(biāo)

所測(cè)試的原料性能均符合規(guī)范要求。

2.2 AC-16瀝青混合料設(shè)計(jì)

在進(jìn)行初擬級(jí)配的確定時(shí)，結(jié)合工程經(jīng)驗(yàn)級(jí)配初步確定目標(biāo)空隙率，粗、細(xì)集料的比例，瀝青膠結(jié)料的用量及礦粉含量[5]。在級(jí)配范圍內(nèi)初步設(shè)計(jì)12組AC-16混合料級(jí)配，如表4所示。

表4 AC-16型瀝青混合料試驗(yàn)方案

2.3 高溫性能試驗(yàn)

進(jìn)行車(chē)轍試驗(yàn)時(shí)，將養(yǎng)生完成后的車(chē)轍試件放置在恒溫60℃的車(chē)轍試驗(yàn)儀中養(yǎng)生不少于5h且不宜超過(guò)12h，方可進(jìn)行車(chē)轍試驗(yàn)；車(chē)轍試驗(yàn)輪壓強(qiáng)采用0.7MPa[6]。對(duì)于試驗(yàn)結(jié)果變異系數(shù)小于20%的，取平均值作為結(jié)果，如果變異系數(shù)超過(guò)20%，予以剔除[7]。試驗(yàn)結(jié)果如表5所示。

表5 分形維數(shù)及車(chē)轍試驗(yàn)結(jié)果匯總

由表5可知，滿(mǎn)足動(dòng)穩(wěn)定度要求的分形維數(shù)范圍為D=[2.4435, 2.5444]， Dc=[2.3157, 2.5775]，Df=[2.3716,2.6331]。

3 高溫性能的分形預(yù)測(cè)模型

借助SPSS分析動(dòng)穩(wěn)定度DS與各分維數(shù)之間的相關(guān)性，通過(guò)MATLAB編程回歸，建立動(dòng)穩(wěn)定度DS與分維數(shù)之間的分形預(yù)測(cè)模型，經(jīng)模型比選，得到動(dòng)穩(wěn)定度DS與分維數(shù)間的推薦預(yù)測(cè)模型。

3.1 高溫性能預(yù)測(cè)模型的建立

通過(guò)SPSS分析分維數(shù)與動(dòng)穩(wěn)定度的相關(guān)性，得到近似矩陣，如表6所示。

表6 高溫指標(biāo)近似矩陣

由表6可知，單個(gè)分形維數(shù)與DS的相關(guān)性大小為Df>Dc>D，也就是說(shuō)，細(xì)集料分形維數(shù)Df相對(duì)于級(jí)配分形維數(shù)和粗骨料分形維數(shù)對(duì)于瀝青路面高溫性能要大一些，且為正相關(guān)。

結(jié)合表6中的數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)MATLAB得到回歸后的數(shù)據(jù)殘差圖，如圖1所示。

圖1 動(dòng)穩(wěn)定度與分形維數(shù)殘差圖

由圖1可知：經(jīng)過(guò)剔除異常點(diǎn)數(shù)據(jù)的殘差圖，數(shù)據(jù)殘差距離零點(diǎn)均較近，并且都經(jīng)過(guò)零點(diǎn)，這說(shuō)明每個(gè)自變量的選取都是有意義的。經(jīng)過(guò)殘差分析，得到更準(zhǔn)確的回歸模型。三元線(xiàn)性回歸模型如式(9)所示。

DS=34127.3-15383.8D-2071.2Dc+4380.4Df

(9)

回歸系數(shù)R2=0.8639。

由此可見(jiàn)，動(dòng)穩(wěn)定度與分形維數(shù)之間可以建立三要素線(xiàn)性回歸模型，回歸系數(shù)較高。通過(guò)對(duì)表6的數(shù)據(jù)分析，建立了分形維數(shù)與動(dòng)穩(wěn)定度的相關(guān)模型，如式(10)和式(11)所示。

DS=-379298.7+314081.6D-64635.4D2

(10)

回歸系數(shù)R2=0.4707。

DS=22328.8-11903.1D+3631.3Df

(11)

回歸系數(shù)R2=0.6867。

3.2 模型比選

在3.1中，分別對(duì)動(dòng)穩(wěn)定度與分形維數(shù)之間建立相關(guān)模型。通過(guò)表7可知，模型1的預(yù)測(cè)精度較高且分析因素較全面，因此推薦采用模型1作為瀝青混合料高溫性能的預(yù)測(cè)方程。

表7 模型比選

3.3 模型驗(yàn)證

AC-16瀝青混合料試驗(yàn)驗(yàn)證方案見(jiàn)表8。

表8 試驗(yàn)驗(yàn)證方案

計(jì)算了級(jí)配分形維數(shù)，將D=2.4573、Dc=2.4116、Df=2.4936代入高溫性能預(yù)測(cè)模型1得到DS=2072次/mm。實(shí)測(cè)值DS=2252次/mm，相對(duì)誤差在20%以?xún)?nèi)且低于實(shí)測(cè)值。因此，可以看出模型1是安全的，可以作為推薦的預(yù)測(cè)模型用于預(yù)測(cè)瀝青混合料的動(dòng)穩(wěn)定度。

4 結(jié)論

(1)通過(guò)分形理論研究可以發(fā)現(xiàn)，瀝青混合料的級(jí)配分形特征與粒徑的分形特征具有一致性。

(2)根據(jù)上述試驗(yàn)結(jié)果和模型，提出了AC-16瀝青混合料高溫性能預(yù)測(cè)模型，可減少試驗(yàn)次數(shù)，提高工作效率，為工程設(shè)計(jì)提供參考。

(3)在合理的分維數(shù)范圍內(nèi)，分維數(shù)可作為級(jí)配的量化值，用于指導(dǎo)瀝青混合料配合比的設(shè)計(jì)。