加權(quán)Laguerre多項(xiàng)式的時(shí)域有限差分法高效模擬石墨烯電磁特性

陳偉軍 龍世瑜 梁啟文

摘要：本文提出了一種有效的基于加權(quán)Laguerre多項(xiàng)式的時(shí)域有限差分法（WLP-FDTD），并采用這種方法精確的模擬電磁波在石墨烯薄片中的傳播。本文提出的方法結(jié)合石墨烯表面電導(dǎo)率的帶內(nèi)項(xiàng)并引入一種輔助差分方程技術(shù)，在電場強(qiáng)度和石墨烯中導(dǎo)體電流之間建立關(guān)系。一個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)?zāi)M計(jì)算了石墨烯中電磁波的傳播。相比傳統(tǒng)的FDTD，本文提出的方法具有更高的計(jì)算精確和效率。

關(guān)鍵詞：加權(quán)Laguerre多項(xiàng)式;時(shí)域有限差分法;石墨烯;電磁特性

中圖分類號(hào)：TP368 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-9416（2019）07-0101-02

0 引言

石墨烯是一種二維平面單層碳原子結(jié)構(gòu)，其獨(dú)特的物理特性給科學(xué)研究者帶來了很大的興趣[1]。在許多應(yīng)用中，電磁特性包括石墨烯的散射和傳播引起了學(xué)者的興趣[2]。由于石墨烯器件是多尺度結(jié)構(gòu)和色散材料，數(shù)值仿真模擬石墨烯器件是一種有挑戰(zhàn)性的工作。最近，大多采用FDTD方法用來模擬電磁波在石墨烯層中的傳播[3-7]。在參考文獻(xiàn)[3]中，標(biāo)準(zhǔn)的FDTD使用復(fù)共軛色散材料模型和高密度采樣點(diǎn)去研究兩平行板石墨烯層。在參考文獻(xiàn)[4]中，亞網(wǎng)格FDTD和特定類型的完全匹配層被提出來模擬無窮薄的薄片。在參考文獻(xiàn)[5]中，采用FDTD結(jié)合表面邊界條件模擬石墨烯薄片。由于時(shí)間穩(wěn)定性條件的限制，采用FDTD模擬計(jì)算極小結(jié)構(gòu)時(shí)要求較大的內(nèi)存和計(jì)算時(shí)間。在參考文獻(xiàn)[6]中，采用了一種無條件穩(wěn)定的局部一維FDTD模擬計(jì)算石墨烯器件。然而，當(dāng)局部一維FDTD的時(shí)間步增大時(shí)，色散誤差也跟著增大。

本文提出了一種無條件穩(wěn)定的加權(quán)Laguerre多項(xiàng)式的FDTD，該方法結(jié)合了石墨烯表面電導(dǎo)率的帶內(nèi)項(xiàng)，有效模擬電磁波在石墨烯薄片中的傳播。與參考文獻(xiàn)[7]中提出的線性卷積技術(shù)不同，輔助差分方程技術(shù)引入到加權(quán)Laguerre多項(xiàng)式的FDTD中，在電場強(qiáng)度和石墨烯導(dǎo)體電流之間建立關(guān)系。采用一個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明了本文提出的方法。本文提出的方法的結(jié)算結(jié)果與理論解一致，比傳統(tǒng)的FDTD有更高的效率。

1 數(shù)學(xué)公式

其中，Td=1/（2fc），Tc=3Td和fc=5000GHz。我們選擇電磁波持續(xù)時(shí)間Tf=1.5×10-12s，時(shí)間尺度因子s=1.885×1014和步進(jìn)階數(shù)N=80[10]。一個(gè)y方向的極化波從空氣中垂直入射到石墨烯中，如圖1所示。由于在計(jì)算區(qū)域中包含有薄層，一種細(xì)的網(wǎng)格1nm×1500nm應(yīng)用到石墨烯層。漸變網(wǎng)格應(yīng)用到剩余的計(jì)算區(qū)域，最大的網(wǎng)格為1500nm×1500nm。為了計(jì)算的方便，Mur一階吸收邊界被用來截?cái)嘤?jì)算區(qū)域。在這個(gè)算例中，石墨烯的厚度是10nm，μc=0.5eV，T=300K，和τ= 0.5×10-12s。圖2畫出了本文提出方法、基于輔助差分方程的時(shí)域有限差分法和理論方法計(jì)算的結(jié)果。與理論計(jì)算結(jié)果比較，本文提出方法的精度被證明。表1給出了計(jì)算時(shí)間的比較。我們的方法比基于輔助差分方程的時(shí)域有限差分法具有更高的計(jì)算效率。

3 結(jié)語

本文把石墨烯電子模型的帶內(nèi)項(xiàng)引入到麥克斯韋方程中，并采用基于輔助差分方程和加權(quán)Laguerre多項(xiàng)式的FDTD有效模擬電磁波在石墨烯中的傳播。一個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明本文提出的方法有效。

參考文獻(xiàn)

[1] K. S. Novoselov， V. I. Falko， L. Colombo， P. R. Gelllert， M. G. Schwab， and K. Kim. A roadmap for grapheme [J].Nature，2012，7419（490）：192-200.

[2] M.Tamagnone，J.S.Gomez-Diaz， J. R. Mosig， and J. Perruisseau-Carrier. Reconfigurable terahertz plasmonic antenna concept using a graphene stack[J].Applied Physics Letters，2012，214（101）：1-3.

[3] H.Lin，M.F.Pantoja，L. D. Angulo， etc. FDTD modeling of graphene devices using complex conjugate dispersion material model[J].IEEE Microwave and Wireless Component Letters，2012，12（22）：612-614.

[4] X. Yu， C. D. Sarris.A perfectly matched layer for subcell FDTD and applications to the modeling of graphene structures[J].TEEE Antennas and Wireless Propagation Letter，2012（11）：1080-1083.

[5] V. Nayyeri， M. Soleimani， and O. M. Ramahi. Modeling graphene in the finite-difference time-domain method using a surface boundary condition[J].TEEE Transaction on Antennas and Propagation，2013，61（8）：4176-4182.

[6] I. Ahmed， EngHuatKhoo， and Erping Li.Efficient modeling and simulation of graphene devices with the LOD-FDTD method[J]. IEEE Microwave and Wireless Component Letters，2013，23（6）：306-308.

[7] R. M. S. de Oliveira， N. R. N. M. Rodrigues， and V. Dmitriev. FDTD formulation for graphene modeling based on piecewise linear recursive convolution and thin material sheets techniques[J]. TEEE Antennas and Wireless Propagation Letters，2015（14）：767-770.

[8] G. W. Hanson. Dyadic Greens functions and guided surface waves for a surface conductivity model of grapheme[J]. Journal of Applied Physics，2008，103（064302）：1-9.

[9] Y. S. Chung， T. K. Sarkar， B. H. Jung， and M. Salazar-Palma. An unconditionally stable scheme for the finite-difference time-domain method[J].IEEE Transaction on Microwave Theory and Technology，2003，51（3）：697-704.

[10] W.-J. Chen， W. Shao， J.-L. Li， and B.-Z. Wang. Numerical dispersion analysis and key parameter selection in Laguerre-FDTD method[J]. IEEE Microwave and Wireless Component Letters，2013，23（12）：629-631.