二階微分方程初探

李紅巖

【摘要】在十八世紀，數學家在用微積分解決物理問題時，發現某些比較困難的問題用初等函數來計算積分已經遠遠不夠，這樣微分方程就應運而生。有幾類物理問題激發了微分方程的研究，其中對彈性理論也就是一個物體在外力作用下的形狀問題的研究對微分方程的發展起到了很大的推動作用。其中伯努利父子以及泰勒和歐拉更是其中的的佼佼者。

【關鍵詞】二階微分方程;伯努利;歐拉;里卡蒂方程

早在十七世紀末，詹姆斯.伯努利在研究船帆風力狀態下的形狀問題時，提出了一個二階方程d2x/ds2=（dy/ds）3，這里s為弧長。隨后約翰.伯努利在微積分的教科書中處理了這個問題，并且證明了這個方程在懸鏈線問題上的數學一致性。

二階微分方程在討論彈性振動弦的形狀問題上也得到了運用，比如論證小提琴弦的振動形狀。泰勒在研究一個古老問題時也用到了這個主題。畢達哥拉斯的追隨者在數學以及音樂的研究中也一直在運用二階微分方程。貝內代蒂（Giovanni Battista Benedetti）、貝克曼（IsaacBeeckman）、梅森、笛卡爾、惠更斯和伽利略也在研究二階微分方程方面有各自的杰出貢獻。一根弦在振動時有許多種模式，那么如果把一根弦分成k部分，它在振動時所產生的音是第k諧音或是第k-1泛音。這些信息很大程度上都是通過索佛爾（Joseph Sauveur，1653—1716）的實驗在18世紀初就已經被英國人所熟知。

泰勒推導出了一根振動弦的基頻，并且解出了方程a2x=syy′，這里s=x2+y2，微商是把時間看做是自變量，他還給出了方程y=Asin（x/a）來刻畫弦在任何時刻的狀態，其中a=l/π，l表示弦的長度。泰勒關于振動弦的基頻公式就是我們現在見到的v=12lTσ（T為弦的張力，σ=m/g，m是單位長度的質量，g是重力加速度）

約翰.伯努利在研究振動弦問題時，1727年曾經給他的兒子丹尼爾.伯努利的一封信中提出了無重量的彈性弦這個概念;1728年歐拉開始考慮研究二階微分方程，他在他的力學研究中對這個問題產生了興趣，他在對阻尼介質中的運動進行研究時就用到了二階微分方程。歐拉還在空氣對投射體的阻力影響的研究中討論了一類二階微分方程，他利用變量替換把這類二階微分方程轉化為一階微分方程。也就是方程axmdxp=yndyp-2d2y或者它的微商形式的方程（dydx）p-2d2ydx2=axmyn。歐拉通過變量替換y=evt（v），x=eαv引入新的變量t和v，其中α是待定的常數。而x和y是關于v的參數方程，這樣就可以計算dy/dx和d2y/dx2，這樣帶入上述的二階微分方程就可以得到v作為自變量t作為函數的一個二階方程，然后通過固定α從而消去指數因子，再通過變量替換z=dv/dt，二階微分方程就轉化給一個一階微分方程。

丹尼爾·伯努利以一篇題為《關于用柔軟細繩聯結起來的一些物體以及垂直懸掛的鏈線的振動定理》中提出，上端固定的懸鏈線，在沒有重量但帶有等間隔的重荷條件下，當線振動時，質點可以通過懸掛點的垂線做不同振幅的振動，這些振動的重荷都有各自的特征頻率。對于一定長度的均勻的懸鏈線，丹尼爾.伯努利給出了從最低點x到位移y的微分方程αddx（xdydx）+y=0，這個方程的解是一個無窮級數，這個方程的解在現在的教科書中表示為y=AJ0（2xα），其中J0是零階的貝塞爾函數Jn（x）=（x2）n∑∞k=0（-1）k（x/2）2kk！（k+n）！（n是正整數或0），其中α滿足J0（2lα）=0，其中l代表懸鏈的長度，丹尼爾.伯努利斷定上述方程有無數個根，并且這些根會越來越小并趨于零，他還求得了α的最大值，而每一個α值都對應著一個振動模式和一個特征頻率。他在弦的振動諧音以及高階模式的研究上超過了前輩。在關于懸鏈線的論文中，丹尼爾討論了非均勻的振動鏈，在論文中他引進了微分方程αddxg（x）dydx+ydg（x）dx=0，其中g（x）=（x/l）2，他求解了這個微分方程的級數解，我們現在可以把它寫成y=2A（2xα）-12J1（22xα），其中J1（22lα）=0，J1是第一類一階的貝塞爾函數。

不難看出，丹尼爾的解答中有兩處失誤：第一，他沒有指出位移s是時間t的函數，所以，他在數學上的研究就停留在常微分方程的范疇;第二，他沒意識到所研究的簡單運動模式可以疊加成復雜運動。在丹尼爾完成了一篇以樂聲為主題的論文《建立在諧振原理基礎上的音樂理論的研究》之后，歐拉緊隨其后，以一篇題為《關于帶有任意多個重量的柔軟細繩的振動》推導出了和丹尼爾相仿的結論，只不過歐拉在丹尼爾研究的基礎上，對數學問題的掌握和推導更精細，表達的數學結論也更精確。對于重力正比于xn的特殊情形，歐拉推導出的方程為xn+1d2ydx2+dydx+yα=0，歐拉推導出的級數解Lv（z）=∑

SymboleB@ n=0（z/2）v+2nn！Γ（v+n+1），我們現在的表達式為y=Aq-n2In（2q），q=-（n+1）xα，由于n是任意的常數，所以歐拉就引進了任意實指數的貝塞爾函數，他還推導出了用積分表示的解y= A∫10（1-t2）（2n-1）/2cosh2t（n+1）xαdt∫10（1-τ2）（2n-1）/2dx。這應該是二階微分方程的解用積分表示的最早結果。

參考文獻：

[1]Phil.Trans.Abridged，6，1809，712，1417.

[2]Comm.Acad.Sci.Petrop.，3，1727，124137，pub.1732=Opera，（1），22，114，Opera，（3），1，197427.