基于『直覺表征』『改造』學生經驗
——《平行與垂直》教學實錄與評析

執教/朱孟迪 評析/金 奎

《平行與垂直》是人教版四年級上冊“平行四邊形與梯形”單元起始課。教材基于“圖形分類”的方式編排：在白紙上任意畫兩條直線——對兩條直線的位置關系分類——認識平行與垂直。這種方式有一弊端，學生所畫的所謂的“平行線”不能突顯其本質，換句話說，平行線很難畫，稍一偏差就是相交（教材已取消平行線的作圖要求）。教師借助方格紙讓學生“直覺表征”，可以激發學生內部動力，通過改造“學習材料”，逐步剝離“錯誤的”、“偏差的”、“非本質的”經驗，進而形成正確的認知。

一、發揮經驗，改造經驗

師：同學們，這是一張白紙，今天我們要把它看作一個平面，請你展開想象：這個平面可以這樣大，這么大，變得（用手比劃）……無限大。今天，我們就要在這個平面內，研究直線與直線的位置關系。直線與直線有怎樣的關系呢？

1.畫出心目中的“平行”與“垂直”。

師：請你先想一想，平行是怎樣的？垂直呢？想好了嗎？請你在方格紙上分別畫出你心目中的平行與垂直。

（學生操作，教師收集作品）

2.交流“平行”——基于經驗，改造經驗。

師：老師收集了一些作品，我們一起來欣賞一下。

作品一：

師：這位同學這樣畫，符合你心目中的平行標準嗎？你是怎么想的？

生1：平平的線就是平行。

生2：這兩條直線的中間都是1 格，像這樣即使無限延長后也不會碰在一起。

師：是的，像這樣無限延長后也不會碰在一起的兩條直線就是平行。

作品二：

生：因為中間都是3 格，所以無限延長后它們仍然不會碰在一起。

師：你們都說無限延長，那我一條這樣延長，另一條這樣延長，現在你認為它們還是不是平行，為什么？（如下圖）

生：直線可以無限延長，長一點短一點都沒有關系。

師：（轉動方向）這樣，你認為還是平行嗎？

生：還是。因為它們還是不會碰在一起。

作品三：

師：有人這樣畫，你覺得它是平行嗎？

生：是的。（將作品旋轉至水平位置）

師：改變方向，只要不碰在一起，就是平行的。

作品四：

師：剛才同學們畫了兩條直線，這位同學呢？（1條）你們認為這是平行嗎？（不是）如果給它加一條直線變成平行，你會怎么幫助他呢？（學生比劃）看來，你們心目中的平行是指兩條直線的位置關系。

二、豐富表象，形成平行概念

1.在辨析中豐富表象。

師：①號為什么是平行？

生：無限延長也不會碰頭。

師：②號為什么不是平行？

生：兩條直線相交了。

師：我們把這樣的位置關系稱為兩條直線相交，相交的點稱為交點。

師：③號、④號作品也沒有相交，它們應該算平行了吧？

生：③號向左延長后會相交。④號是兩條曲線，不是直線。

2.建構平行的概念。

（1）呈現概念。

師：在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。想一想，為什么要在“平行”前面加上“互相”兩字？

生：只有一條是不夠的，是兩條直線的一種位置關系。

（2）語言表征。

師：如果老師給一條直線記作直線a，另一條直線記作直線b，于是我們可以這樣說——直線a 是直線b 的平行線，直線b 是直線a 的平行線，它們互相平行。誰能像老師一樣來說一說？

（3）符號表征。

師：為了表示方便，數學上還給平行規定了符號——a∥b，讀作a 平行于b。你看，這個符號多像平行線。請你們在草稿紙上表示出自己作品中的平行，并讀給同桌聽。

三、基于經驗，形成垂直概念

1.在比較中引入垂直。

師：同學們，讓我們把目光聚焦到這些相交的情況。你感覺哪兩條直線最特殊？為什么？

生：⑤號，因為4 個角都相等，都是直角。

師：要知道是不是直角，我們得借助——三角尺驗證。

2.形成垂直的概念。

（1）呈現概念。

師：在數學上，兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線。

（2）語言表征。

師：如果我們給這條直線取名為直線a，這條直線取名為直線b，你會怎么理解這兩條直線的位置關系呢？

生：直線a 是直線b 的垂線，直線b 是直線a 的垂線，它們互相垂直。

（3）改變方向。

師：現在老師把這組互相垂直的直線旋轉方向，再轉動，現在你認為它們還是互相垂直嗎？為什么？

生：只要這兩條直線相交成直角，它們就是互相垂直。

（4）符號表征。

師：數學上，互相垂直的兩條直線還可以用這樣的符號表征——直線a 與直線b 互相垂直，記作a⊥b，讀作a 垂直于b。

3.判斷中深化垂直本質的理解。

師：這是同學們一開始畫的“垂直”（一條豎線）。你猜一猜，他當時可能是怎么想的？

生：垂下來的一條直線就是垂直。

師：老師也畫了這樣的一些垂直，請你快速判斷。

師：你有什么新發現？

生：要判定兩條直線是不是互相垂直，至少看到一個直角就可以了。

四、拓寬經驗，溝通聯系

師：學到這兒，現在你認為在同一平面內兩條直線的位置關系有幾種呢？請你靜靜地想一想：想好了嗎？我們來快速判斷。

（課件依次呈現“平行——相交——相交——相交（垂直）——相交”）

師：現在讓我們一起來整理一下，我們發現，在同一平面的兩條直線只有兩種情況：一種是不相交，我們也可以稱它為互相平行。另一種是相交，如果相交成直角，它們就互相垂直；如果相交成鈍角、銳角，我們就稱它們普通相交。

五、應用經驗，解釋現象（略）

【評析】

一、改造“平行”經驗，先體驗、再實踐、后概念

1.先體驗。

課伊始，確定本課的學習范圍——在同一平面內。學生根據自己經驗嘗試畫出心目中的“平行”，教師借助學生的“作品”進行“改造”，進而完善對概念本質屬性的理解。“改造”中突出以下幾點：（1）平行線之間的格數保持不變，突顯平行線之間的距離處處相等的本質；（2）改造成“一條線長，另一條線短”的視覺效應，突破平行線的本質實則為“直線”，與畫的長短無關；（3）改變平行線的方向，借助旋轉變化，

突顯“只要兩條直線不相交”的本質。一次次的經驗改造，一次次的思維沖突，打破非本質因素對概念建構的影響，進而把學生的思維聚焦于本質屬性上。

2.再實踐。

出示一組“判斷素材”，學生借助直觀經驗，借助討論辨析找到“平行”，豐富學生對概念本質的理解。

3.后概念。

借助先體驗與再實踐，學生頭腦中已經有了豐富的平行表象，平行的概念呼之欲出，教師只需要順勢利導，呈現概念。

二、改造“垂直”經驗，打破思維定勢

1.借助判斷，突破難點。

一方面，以“垂下來的線”為素材展開辨析，讓學生知道數學中的垂直是兩條直線的位置關系；另一方面，學生辨別一般的“垂直”幾乎沒有問題，但對于“丁字型”或“直角型”往往會出現問題。借助直觀演示與爭論，學生把思維聚焦于“兩條直線”，進而很好地說明了問題，突破了難點。

2.溝通聯系，形成體系。

以“快速判斷”兩條直線的位置關系為載體，一方面讓學生理解垂直是一種特殊的相交；另一方面形成兩條直線位置關系的框架結構，幫助學生在思維上形成體系。