溝渠·線段圖·數感
——以圖為媒，培養學生數感

石 榮

冬日的田野一片寂寥，偶有紫色的草籽點綴其中，一條用以灌溉的溝渠穿越而來，直至中部的河堰。兒時和小伙伴們在這里嬉戲打鬧，經過溝渠之時，他們都能一躍而過，個小的我卻只能尋個稍窄的地方慢慢探身跨過去。那時的我不明白，小伙伴們怎能毫不猶豫地就跳過去了，而我會知道自己跳不過去，好像有一股神秘的力量在操縱著這件事。現在想來，這股神秘的力量應該就是潛伏在人身上的一種數學素養——數感。數感平時是看不見摸不著的，而在主人需要的時候它就會及時出現。如果溝渠的寬度用線段一來表示，雙腿跨過的距離用線段二來表示，那么只要線段一的長度不超過線段二的長度，就能安全跨過溝渠。二者的長短不需要拿尺子測量，孩子們自身就有這個能力估計兩者之間的長短關系。這使我想起三年級上學期（人教版三上）在教學歸總問題時課堂上畫線段圖的情景。

例題：媽媽的錢買6 元一個的碗，正好可以買6個。用這些錢買9 元一個的碗，可以買幾個？

讀題后，為了讓學生更透徹地理解題意，我讓他們在作業本上畫線段圖。在巡視的過程中，我發現對于“6 元一個的碗正好可以買6 個”這個條件，學生都能正確地用線段圖表示出來，而怎么表示“9 元一個的碗”卻是有些圖不達意。因而在示范畫圖時，畫好6 個6 元一個的碗后，我問學生：9 元大概要畫多長呢？大多數學生是很茫然的，其中一名學生卻是高高地舉起了手，他說：先畫和6 元的線段一樣長的線段，9 元比6 元多3 元，3 元是6 元的一半，所以還要再多畫6 元的一半。他的表述清楚，我欣喜地發現這個學生的數感是強烈的，而且他能借助所學過的數學知識來表述他所理解的數學信息。同時，我意識到線段圖形象直觀，是培養學生數感的一個很好的媒介。于是，在教學中我以線段圖為切入口，有意識地讓學生更多地畫線段圖，以達到提高學生數感的目的（以人教版三上數學教材為例）。

一、利用線段圖理解概念，在概念教學中培養數感

數學概念不僅是數學基礎知識的重要組成部分，而且是學習其他數學知識的基礎。學生掌握基礎知識的過程，實際上就是掌握概念并運用概念進行判斷、推理的過程。數學中的法則都是建立在一系列概念的基礎上的。事實證明，如果學生有了正確、清晰、完整的數學概念，就有助于掌握基礎知識，提高解題技能。因而數感的培養應滲透于概念教學。“倍”是三上教材中一個很重要的概念，與乘法、除法、分數、比等概念在本質上有著內在的聯系，在教材的編排體系中起著承前啟后的作用。在教學《倍的認識》這一課時，設計了以下環節：

圖1

圖2

圖3

圖4

圖1 是實物圖，在初步接觸倍的概念后，教師貼一個藍臉，學生貼出它的三倍；教師貼兩個藍臉，學生還是貼出它們的三倍。學生在這個練習中進一步理解倍的意義，同時初步體會“比較量數量增加，比較量中的每一份都增加相同的數量，那么比較量和標準量之間的倍數關系是不變的”。在此基礎上，實物圖變化為圖2 的橢圓形圖，接著抽象成圖3，進而變化成更為抽象的圖4——線段圖。在這個過程中學生體會“圖形變而倍數關系不變”，思維經歷由形象到抽象的變化。利用線段圖進行比較量和標準量的計算，在用數字計算的基礎上用字母來表示：如果標準量用x 來表示，那么比較量就用3x 表示，滲透符號思想。在多次的數量計算中感受數的變化，比較數的大小，感悟數量之間的倍比關系，以達到培養數感的目的。

二、利用線段圖比較大小，在比較中增強數感

在具體的情境中把握數的相對大小關系，不僅是理解數的需要，同時也會加深學生對數的實際意義的理解，使數感得到發展。分數是人教版三年級上冊教材的又一重要數學概念，與學生已有的整數概念是完全不同的。不足一個的物體的數量怎么表示在學生的經驗中是缺失的，特別是對這些數的大小的概念更是模糊不清，學生很容易根據以往的經驗判定小于。教師在教學分數的大小比較時，往往會借助各種圖形來輔助。而筆者最喜歡用線段圖，因為線段圖能清楚地表示數量的大小、表達數量之間的關系，是解決數學問題最重要的輔助手段之一，并且線段圖簡單易畫，可以節省時間，提高效率。

圖5

兩條同樣長的線段（單位“1”），一條平均分成2份，一條平均分成3 份，其中的1 份哪個長？當然是平均分的份數越少，1 份就越長，如圖5。用線段圖表示，它們的大小關系會一目了然。

圖6

這道題對于剛剛接觸分數的三年級的學生來說，理解起來是有一定難度的。那么線段圖在這里絕對有四兩撥千斤的作用。筆者先引導學生畫出一條線段表示小紅錢數的，接著畫出同樣長的線段表示小明錢數的（因為同一本書的價錢是同樣多的）。再通過理解和的意義補充畫出小紅的總錢數和小明的總錢數，如圖6，誰的錢多一看一比就出來了。

在教學中要求學生多畫線段圖，養成畫圖的良好的解題習慣，借助線段圖通過觀察比較增強學生對數、數量的敏感度，培養對數的感覺，豐富對數的感悟，以達到培養學生數感的目的。

三、利用線段圖厘清數量關系，在清晰數量關系中提升數感

線段圖能使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，是優化解題過程的重要途徑之一。用線段圖把問題中的各個數量及其相互關系表示出來，數形結合使問題的內容具體化、形象化，能幫助學生理解題意，搞清數量之間的關系，尋找出解題的方法。

如，小猴和媽媽上山摘桃，小猴摘了4 個，媽媽拿一個桃子給小猴后，剛好是小猴的3 倍，猴媽媽一共摘了多少個桃？

剛剛學習了倍的知識的學生，對于題中的數量關系一時是弄不清楚的。于是我指導學生畫了下面的線段圖：

圖7

在反復讀題理解題意的基礎上一步一步引導學生畫圖，搞清楚每一個信息用圖怎么表示，特別是“3倍”的含義：誰是誰的3 倍，標準量是什么。通過圖讓學生理解了猴媽媽拿了一個桃給小猴，桃的數量減少了一個，而小猴增加了一個桃，桃的數量變成了5個，“3 倍”指的是“猴媽媽拿走了一個桃后桃子的數量是小猴增加了一個桃后桃子的數量的3 倍，也就是5 個桃的3 倍，標準量是5 個桃。厘清了這個數量關系，此題就迎刃而解了。

小學生的思維特點是以具體形象為主，通過長期的訓練讓學生養成畫圖的習慣，有利于學生的思維從形象思維向抽象思維過渡。要讓學生在常態的長期的畫圖訓練中經歷運用符號和圖示描述現實問題的過程，以此建立符號感，發展抽象思維，以達到提升數感的目的。

總之，以線段圖為媒，數形結合，以形助數，是學習數學的重要方法，是解決問題的重要策略，也是培養和提升學生數感的強有力的手段。