具有重構特性的原型濾波器的設計

(中國人民解放軍航天工程大學, 北京 101416)

0 引言

隨著現代戰爭中電磁環境日趨復雜，敵對雙方爭奪電磁空間控制權的斗爭日趨激烈。作為電子戰重要組成部分的偵察接收機面臨著更加復雜、密集和動態變化的電磁信號環境[1]。

多速率濾波器組是偵察接收機的關鍵組成部分。其基本思想是將接收機接收到的寬帶信號通過分析濾波器組分割成一系列子帶信號，通過頻譜檢測技術判斷存在信號的子帶位置，然后通過對應的綜合濾波器組重構相應的子帶，完成信號的提取[2]。因而濾波器組的重構特性對偵察接收機提取信號具有重要的影響。濾波器組的設計可以歸結為對應的原型低通濾波器的設計[3]。常用的原型濾波器的設計方法是基于格型結構的設計方法[4]，但當信道數較多時，格型設計無法保證較大的阻帶衰減。文獻[5]提出了一種單參數優化設計法，在一定的區間內不斷地搜索、優化原型濾波器的截止頻率，計算效率低且所設計的原型濾波器的阻帶衰減并不理想。文獻[6-7]用不同的窗函數設計原型濾波器，但是這些方法的每一次迭代都需要重新設計濾波器，多次迭代后才能得到最優解，大大增加了運算量。

針對以上問題，本文提出了一種利用窗函數截取具有功率互補特性的平方根升余弦函數來獲取濾波器系數的方法設計原型濾波器。在降低設計復雜度的同時提升了濾波器組的重構性能。

1 濾波器組完全重構的條件

本節將以M通道DFT濾波器組為分析對象，推導濾波器組完全重構的充分條件。

M通道DFT濾波器組如圖1所示，Hm(z)和Gm(z),0≤m≤M-1分別為分析濾波器和綜合濾波器有限脈沖響應的Z變換。

圖1 M通道DFT濾波器組

DFT濾波器組中的分析和綜合濾波器組都是由具有線性相位的原型濾波器H(z)在頻率軸上移位而來，且原型函數h(n)是對稱的，則有

(1)

(2)

0≤m≤M-1定義子帶間的干擾誤差矩陣為A(z)：

(3)

可以看出，子帶間濾波器組的混疊是影響重構信號誤差的重要因素。濾波器組完全重建的條件是：

(4)

將式(1)代入可得

(5)

因此，濾波器組完全重建的條件表示為[8]

(6)

2 原型濾波器的設計

根據第1節的分析，濾波器組的重構特性由原型低通濾波器的特性決定。在設計原型低通濾波器時主要考慮下列因素。

1)h(n)必須滿足線性相位的條件，即h(n)=h(L-1-n),L為濾波器長度。

2)H(ejw)的阻帶衰減足夠大，從而使得除了和相鄰通道外，與其他通道的帶間干擾能夠被衰減到最小。

定義目標函數φ

φ=max{||H(ejw)|2+|H(ej(w-2πk/K))|2-1|}

(7)

為了滿足功率互補條件，可以通過各種方法對式(7)進行優化，進而設計原型低通濾波器，但這些設計方法較為復雜，運算量大。窗函數是一種簡單高效的濾波器設計方法，本文通過窗函數對具有功率互補特性的平方根升余弦函數進行截取來獲取濾波器系數，降低了設計的復雜度。

FIR原型濾波器的沖激響應由理想濾波器hideal(n)和窗函數w(n)表示:

h(n)=hideal(n)×w(n)

(8)

升余弦函數具有功率互補特性，因此可以利用升余弦函數來設計理想濾波器。定義H2(ejw)為升余弦函數，即

(9)

式中，wc表示低通濾波器的截止頻率，r表示滾降因子。H2(ejw)在通帶|w|≤(1-r)wc內為1，在阻帶|w|≥(1+r)wc內為0。

假設濾波器的截止頻率wc=π/M，取r=1,代入式(8)可得

(10)

把w=w-2πk/M代入式(10)中，有

(11)

一般劃分信道數為偶數，因此對于偶數M，有

(12)

由式(12)和式(6)對比可知，升余弦函數具有功率互補特性。對式(12)開根號可得到平方根升余弦函數的表達式為

(13)

式中，wc=π/M，將其代入式(13)中可得對應的傳輸函數：

(14)

當t=0時，式(14)無效，h(0)定義為

(15)

類似地,在t=±M/4r點處上式同樣無意義，h(±M/4r)定義為

(16)

理論上式(14)中的原型低通濾波器是無限長的，滿足功率互補特性，但實際應用中窗函數截取的濾波器長度是有限長的，功率互補特性不能完全滿足，因此必然產生幅度失真,但可以通過選取合適的r和增加濾波器長度來降低誤差。圖2給出了平方根升余弦函數的時域波形和頻譜圖。

(a) 平方根升余弦函數時域波形

(b) 平方根升余弦函數頻譜圖圖2 平方根升余弦函數示意圖

根據上述分析，現將原型濾波器的設計流程表示如下。

1) 選取合適的窗函數。

2) 設定濾波器的通道數M、抽取倍數R和阻帶截止頻率ws。

3) 根據ws=(1+r)fs/2M確定余弦滾降因子r。

4) 設置初始濾波器長度L，根據式(14)產生理想濾波器hideal(n)的沖激響應。

5) 根據式(8)產生原型濾波器h(n)的沖激響應。

6) 設定目標函數的值，不斷增加濾波器長度來計算目標函數，當所得結果小于設定值時，停止運算獲取濾波器長度L，根據式(8)設計出原型濾波器h(n)。

3 仿真分析

利用本文算法設計256通道的WOLA結構濾波器組。系統采樣率為1 280 MHz，抽取倍數R=176，可得原型濾波器截止頻率ws=fs/2R=3.64 MHz。根據ws=(1+r)fs/2M可得滾降因子r=0.45。窗函數選擇凱撒窗(β=9)，濾波器初始長度設定為4 096，步進為32，目標函數的值設定為5×10-4dB。經過迭代運算進行優化的濾波器的階數為11 264。圖3給出了優化后的原型濾波器的波形圖。

(a) 頻譜圖

(b) 時域波形圖3 原型低通濾波器波形圖

圖4 窗函數對原型濾波器的影響

由圖可以看出，所設計的原型低通濾波器的-3 dB帶寬為5 MHz，阻帶衰減大于110 dB，具有良好的阻帶衰減特性。圖4表示不同窗函數對于原型低通濾波器設計的影響，可以看出，矩形窗設計的原型濾波器的阻帶衰減最小，只有-60 dB左右，凱撒窗的阻帶衰減最大，能夠達到-110 dB,因此選用凱撒窗設計原型濾波器能夠有效地抑制子帶間的混疊和鏡像干擾。圖5(a)給出了子帶濾波器組的頻域分布情況，可以看出相鄰的子帶濾波器均在截止頻率(2.5 MHz)處重疊，幅度為-3 dB。圖5(b)給出了相鄰子帶功率譜相加后的結構，由仿真結果可以看出功率譜相加后的重構誤差在5×10-4dB內，滿足功率互補特性，因此所設計的原型低通濾波器具有良好的重構特性。利用傳統單參數優化法設計相同參數和階數的濾波器，與本節方法所設計的濾波器進行對比分析。圖6給出了兩種方法設計相同濾波器組的重構誤差比較，可以看出，用本文算法設計的原型濾波器明顯優于傳統的單參數優化法。

(a) 子帶濾波器頻域分布

(b) 子帶功率相加后的幅度譜 圖5 原型低通濾波器功率互補特性

圖6 重構誤差比較

4 結束語

本文從濾波器組完全重構的條件出發，提出了利用窗函數截取具有功率互補特性的平方根升余弦函數來獲取濾波器系數，進而設計出原型低通濾波器的方法。與傳統單參數優化法相比，每一次迭代不需要重新設計濾波器，設計復雜度降低，同時原型濾波器的過渡帶具有余弦滾降特性，濾波器組可以獲得更好的重構性能。通過理論分析和仿真驗證表明，本文的算法設計的原型濾波器在重構誤差上優于傳統的單參數優化法，具有良好的重構特性。