逼近無控旋轉(zhuǎn)目標航天器的混合勢函數(shù)安全制導

劉將輝，李海陽，陸林，趙劍

國防科技大學 空天科學學院，長沙 410073

航天器在空間中由于燃料耗盡或某部件發(fā)生故障時，將處于無控旋轉(zhuǎn)狀態(tài)[1-3]。為了使造價昂貴的航天器繼續(xù)在軌運行，必須對航天器進行在軌修復、燃料加注或部件更換等[4-7]。面向無控旋轉(zhuǎn)目標航天器的安全逼近是實施上述任務的基礎(chǔ)。

相關(guān)學者在逼近無控旋轉(zhuǎn)航天器方面做了大量的研究并取得了許多重要成果。Ma等[8]提出了前饋最優(yōu)控制方法，將時間/燃料消耗作為優(yōu)化變量，重點放在搜尋最佳逼近路徑以及優(yōu)化追蹤航天器的推力分布。Xin和Pan[9]采用Thetas-D非線性最優(yōu)控制方法，通過攝動過程求出Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程的近似解，設(shè)計了該問題的閉環(huán)反饋控制器。Martins-Filho和Jr[10]基于Clohessy-Wiltshire(C-W)方程建立了追蹤航天器與無控旋轉(zhuǎn)目標航天器的相對運動模型，分別采用線性二次調(diào)節(jié)器(LQR)和比例微分(PD)控制器進行控制，并對兩種控制器的魯棒性和跟蹤能力進行了對比分析。Boyarko等[11]研究了圓軌道下逼近無控旋轉(zhuǎn)目標航天器的最小能量和最小時間的軌跡優(yōu)化問題，采用Pontryagin最小準則對最優(yōu)控制問題進行分析并通過高斯偽譜法進行數(shù)值求解。Stoneman和Lampariello[12]提出了一種基于非線性優(yōu)化的運動規(guī)劃方法，通過在線全局搜索的并行優(yōu)化法為追蹤航天器逼近無控旋轉(zhuǎn)目標衛(wèi)星提供參考軌跡?？紤]到控制輸入飽和以及速度約束條件，Li等[13]提出模型預測控制策略以逼近無控旋轉(zhuǎn)目標航天器。Zagaris和Romano[14]研究了逼近旋轉(zhuǎn)目標航天器的可達性問題。李鵬等[15]提出追蹤航天器沿旋轉(zhuǎn)目標航天器最大慣量軸同步逼近的控制策略。姜博嚴等[16]采用滑模自適應控制方法，著重考慮了逼近旋轉(zhuǎn)目標航天器的姿軌強耦合控制問題。作者團隊[17]提出增廣比例導引律方法，引入了跟隨旋轉(zhuǎn)目標航天器運動的逼近點概念。孫沖等[18]提出利用外包絡法來優(yōu)化追蹤航天器路徑。文獻[8-18]在逼近無附件剛性航天器方面控制性能較好，當面對逼近具有太陽能電池帆板和天線等柔性航天器的問題時，則可能會導致追蹤航天器與目標航天器太陽能電池帆板和天線等附件相撞，顯然無法滿足逼近過程的安全性要求。

為了保證航天器逼近過程的安全性，Breger和How[19]提出了一種主動安全方法，將交會對接過程中的安全性作為約束，在保證安全性的同時不額外消耗燃料。Park等[20]開發(fā)了一種模型預測控制器，能有效躲避碎片的撞擊并有助于降低燃料的消耗。Chen等[21]利用人工勢場法對4個柔性航天器進行在軌自主裝配，所提控制策略使得服務航天器在到達期望位置的同時也避免了碰撞問題的發(fā)生。Dong等[22]引入了勢函數(shù)法對追蹤航天器的路徑進行約束，提出了實時自適應控制律，在之后又提出了一種基于雙四元數(shù)的特殊人工勢場法來約束追蹤航天器的軌跡[23]，張大偉等[24]利用基于橢圓蔓葉線的人工勢函數(shù)制導，Zhu等[25]提出了模型預測控制法，F(xiàn)eng等[26]設(shè)計了一種基人工勢函數(shù)的新型滑模控制策略，Cao等[27]設(shè)計了次優(yōu)人工勢函數(shù)滑?？刂?。Nicoletta等[28]將人工勢場理論與滑模技術(shù)相結(jié)合設(shè)計了避障制導算法。作者團隊[29]提出了追蹤航天器沿旋轉(zhuǎn)目標航天器某一體軸逼近的控制策略，設(shè)計了安全逼近軌跡。文獻[19-29]很好地解決了安全逼近問題，但上述方法對追蹤航天器的初始位置有要求，即追蹤航天器的初始位置必須位于目標航天器本體坐標系的某一范圍，否則追蹤航天器仍然會與目標航天器的附件發(fā)生碰撞。

逼近無控旋轉(zhuǎn)目標航天器方面的研究在取得大量成果的同時，也存在許多局限性，主要在以下兩個方面：第一，航天器間的相對運動方程大多都是基于Clohessy-Wiltshire(C-W)方程的圓軌道描述，航天器間的相對位置和相對速度測量需要地面高精度的遙測和濾波，實時性較差并且位置誤差較大。第二，為了滿足安全逼近要求，對追蹤航天器的初始位置有嚴格的限定。

基于上述考慮，本文以視線坐標系建立兩航天器的相對運動方程，對任意偏心率的軌道均適用，追蹤航天器與目標航天器的相對位置和相對速度的測量主要依賴于追蹤航天器本身的傳感器，實時性較好并且位置誤差較小。其次，本文推導的方法對追蹤航天器的起始位置沒有要求，追蹤航天器可以從任意位置對目標航天器進行逼近。最后，本文所提的方法不僅能安全逼近而且能躲避逼近過程中的飛行障礙物，安全性更高。

1 基礎(chǔ)模型

1.1 相對運動方程

圖1 相對運動坐標系統(tǒng)

(1)

(2)

(3)

e1=r-rd=x1-rd

(4a)

e2=qε-qεd=x2-qεd

(4b)

e3=qβ-qβd=x3-qβd

(4c)

(4d)

(4e)

(4f)

ep=xp-xpd

(5)

(6)

對式(5)和式(6)分別求導，可得

(7)

(8)

其中:

(9)

P2(x)=

(10)

1.2 姿態(tài)運動方程

為了方便分析，本文采用四元數(shù)描述航天器的姿態(tài)，四元數(shù)描述下的姿態(tài)運動學方程為

(11)

(12)

(13)

(14)

2 混合勢函數(shù)與系統(tǒng)穩(wěn)定性證明

混合勢函數(shù)制導的原理為：定義能反映追蹤航天器在全局運動趨勢的混合勢函數(shù)，該混合勢函數(shù)由吸引勢函數(shù)、安全勢函數(shù)、障礙物勢函數(shù)組成。用吸引勢函數(shù)表示參考位置，參考位置對追蹤航天器施加引力，混合勢函數(shù)在參考位置具有全局最小值。用安全勢函數(shù)表示安全區(qū)和安全走廊，安全區(qū)和安全走廊對追蹤航天器施加斥力。用障礙物勢函數(shù)表示障礙物，障礙物對追蹤航天器施加斥力。安全區(qū)、安全走廊和障礙物構(gòu)成了追蹤航天器的路徑限制區(qū)域?；旌蟿莺瘮?shù)在路徑限制區(qū)域具有全局較大的值。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論分析混合勢函數(shù)，找出合適的控制律使混合勢函數(shù)的導數(shù)為負，從而使混合勢函數(shù)保持單調(diào)遞減。使得追蹤航天器在到達參考位置的同時，也能有效地避開路徑限制區(qū)域(安全區(qū)、安全走廊和障礙物)，以達到預期的制導目的。

2.1 吸引勢函數(shù)

用吸引勢函數(shù)表示參考位置，將吸引勢函數(shù)設(shè)計為

(15)

式中：Qp和Qv為正定對稱矩陣。由式(15)可知，當ep=0且ev=0時，Ωd=0，否則Ωd>0，參考位置(ep=0且ev=0)為該吸引勢函數(shù)的最小值。

2.2 安全勢函數(shù)

圖2 安全區(qū)和安全走廊

圖3 安全區(qū)和安全走廊剖面

由圖2和圖3可知，可通過追蹤航天器視線與目標航天器對接軸的夾角α與安全角θs的關(guān)系來劃分安全區(qū)和安全走廊。當α>θs時，此時安全區(qū)起作用。當α≤θs時，此時安全走廊起作用。根據(jù)上述分析，可得

(16)

用Gaussian函數(shù)表示安全區(qū)和安全走廊，將安全勢函數(shù)Ωs0設(shè)計為

(17)

(18)

對式(17)求導可得

(19)

(20)

下面求解式(19)中的其他各項偏導數(shù)，

(21)

(22)

(23)

聯(lián)立式(13)和式(18)可得

(24)

式中：

(25)

式中：

2.3 障礙物勢函數(shù)

在逼近任務中，有時候需要伴飛航天器對無控旋轉(zhuǎn)目標航天器進行全面的觀察偵測。追蹤航天器在逼近過程中應避免與伴飛航天器發(fā)生碰撞，此時伴飛航天器表現(xiàn)為障礙物。將障礙物看作是具有一定半徑的球體，障礙物勢函數(shù)Ωo0的設(shè)計為

(26)

(27)

(4)壓濾機。凈化雜質(zhì)的液固分離主要選用XAZGFN150/1250- U自動暗流隔膜壓濾機。壓濾機機座、壓緊板、止推板材質(zhì)為高強度Q345鋼，前后機架、壓緊板(包括地腳)玻璃鋼防腐(≥3 mm厚)；主梁材質(zhì)選用高強度橋梁鋼外包2 mm厚 316L不銹鋼；濾板材質(zhì)為TPE彈性體無堿玻纖聚丙烯；濾布采用滌綸短纖747工業(yè)濾布；拉板機構(gòu)鏈條、鏈盒、鏈輪材質(zhì)均為316L不銹鋼；渣斗、翻板為鋼襯PE結(jié)構(gòu)。

對式(26)求導可得

(28)

式中：

(29)

(30)

(31)

(32)

式中：

(33)

式中：

2.4 系統(tǒng)混合勢函數(shù)

系統(tǒng)混合勢函數(shù)Ω0為吸引勢函數(shù)Ωd、安全走廊勢函數(shù)Ωs0和障礙物勢函數(shù)Ωo0之和，Ω0的表達式為

Ω0=Ωd+Ωs0+Ωo0=

(34)

由式(34)可知，Ω0的最小值不再精確位于參考位置狀態(tài)。為了避免上述情況發(fā)生，將式(17)的安全勢函數(shù)Ωs0和式(26)的障礙物勢函數(shù)Ωo0重新定義，補充二次型系數(shù)，可得

(35)

(36)

Ω=Ωd+Ωs+Ωo=

(37)

2.5 系統(tǒng)穩(wěn)定性證明

取Lyapunov函數(shù)V為系統(tǒng)混合勢函數(shù)Ω，即

(38)

由式(38)可知，V≥0。對式(38)求導可得

(39)

將式(7)和式(8)代入式(39)可得

(40)

(41)

(42)

整理式(41)可得

at+as+ao

(43)

式中：

(44)

(45)

(46)

其中：at為目標參考位置對追蹤航天器的引力加速度；as為安全區(qū)和安全走廊對追蹤航天器的斥力加速度；ao為障礙物對追蹤航天器的斥力加速度。將式(41)代入式(40)可得

(47)

證明完畢，因此所設(shè)計的系統(tǒng)具有穩(wěn)定性。

(48)

由于追蹤航天器的推力有限，因此其控制加速度有限，各方向的實際控制加速度為

(49)

式中：amax為追蹤航天器單個方向所能提供的最大加速度;a為由式(48)所求得的加速度大小。

3 仿真分析

本文以追蹤航天器相對無控旋轉(zhuǎn)目標航天器超近距離段的交會對接任務進行數(shù)值仿真。為了形象分析吸引勢函數(shù)、安全勢函數(shù)和障礙物勢函數(shù)的作用，本文設(shè)置了兩組仿真場景，即

1) 考慮吸引勢函數(shù)和安全勢函數(shù)的作用。

2) 同時考慮吸引勢函數(shù)、安全勢函數(shù)和障礙物勢函數(shù)的作用。

假設(shè)目標航天器在空間中處于無外力矩的自由旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，且目標航天器不存在機動。其初始軌道根數(shù)如表1所示。

表1 目標航天器軌道根數(shù)

目標航天器的轉(zhuǎn)動慣量Jt為

初始時刻目標航天器的姿態(tài)四元數(shù)qt(t0)和角速度ωt(t0)分別為

安全區(qū)的安全距離rs和安全走廊的安全角度θs分別為

追蹤航天器的質(zhì)量mc和各方向所能提供的最大推力Fmax分別為

吸引勢函數(shù)的各參數(shù)分別為

安全勢函數(shù)的各參數(shù)分別為

假設(shè)障礙物為半徑3 m的球體，障礙物勢函數(shù)的各參數(shù)分別為

需要說明的是，上述仿真參數(shù)的選擇采用了嘗試法，而沒有進行最優(yōu)化處理。仿真時間為200 s，仿真步長為0.05 s。

場景1考慮吸引勢函數(shù)和安全勢函數(shù)的作用，將式(44)中的Qo設(shè)為Qo=diag(0,0,0)，仿真結(jié)果如圖4～圖9所示。

圖4 目標航天器的姿態(tài)與角速度

圖4為無控旋轉(zhuǎn)目標航天器的姿態(tài)和角速度變化曲線，由圖4可以得出，不同時刻目標航天器的姿態(tài)和角速度各不相同。

圖5為追蹤航天器與目標航天器對接口的相對位置和相對速度變化曲線，經(jīng)過110 s，追蹤航天器到達了對接口位置，此時追蹤航天器與對接口的相對速度為0 m/s，此后追蹤航天器與對接口的相對位置和相對速度保持不變。

圖6為位置角和參考位置角的變化曲線。經(jīng)過69 s，方位角與參考方位角相同，并在之后兩者保持同步。經(jīng)過67 s，高低角與參考高低角相同，并在之后兩者保持同步。

圖5 追蹤航天器與對接口的相對位置與相對速度(場景1)

圖6 位置角與參考位置角(場景1)

圖7為目標航天器體坐標系中追蹤航天器與目標航天器對接口的相對運動變化曲線。圖8為安全剖面圖，由圖7和圖8可知，追蹤航天器先逼近到目標航天器對接軸位置，之后沿著對接軸緩慢逼近追蹤航天器，期間沒有與安全區(qū)和安全走廊發(fā)生碰撞。

圖7 目標航天器體坐標系中追蹤航天器相對目標航天器運動(場景1)

圖8 安全剖面(場景1)

圖9為追蹤航天器的控制加速度變化曲線，該控制加速度為追蹤航天器視線坐標系描述的。由圖9可以得知，為了跟上目標航天器對接口的位置，追蹤航天器視線方向(x方向)始終需要提供控制加速度，該加速度在-0.2～0.2 m/s2之間來回切換。視線方向的加速度出現(xiàn)了嚴重的過飽和現(xiàn)象，說明發(fā)動機實際所能提供的控制加速度小于目標引力加速度，這主要是Qp和Ql取值較大決定的。如果Qp和Ql的取值較小，則目標引力加速度對位置誤差和速度誤差不敏感，導致追蹤航天器的控制精度變差，甚至達不到預定的目標位置。初始時刻y方向和z方向控制加速度變化劇烈，經(jīng)過72 s，y方向和z方向的控制加速度保持在一個極小的值，小于0.002 m/s2。本文中x方向開閉次數(shù)最高頻率為20 Hz，而實際航天器冷氣推力系統(tǒng)的開閉時間能夠達到20 ms(頻率50 Hz)，所以本文仿真結(jié)果(頻率20 Hz)是可以實現(xiàn)的。

圖9 控制加速度(場景1)

場景1說明，當考慮吸引勢函數(shù)和安全勢函數(shù)的作用時，混合勢函數(shù)制導可以實現(xiàn)追蹤航天器沿著安全路徑對無控旋轉(zhuǎn)目標的逼近，逼近過程中能夠避免與目標航天器的附件發(fā)生碰撞，保證了安全性要求。

場景2在場景1中追蹤航天器逼近目標航天器的運動路徑上添加一個障礙物。同時考慮吸引勢函數(shù)、安全勢函數(shù)和障礙物勢函數(shù)的作用，仿真結(jié)果如圖10～圖14所示。

圖10 追蹤航天器與對接口的相對位置與相對速度(場景2)

圖11 位置角與參考位置角(場景2)

圖12 目標航天器體坐標系下追蹤航天器相對目標航天器對接口運動(場景2)

圖13 安全剖面(場景2)

圖14 控制加速度(場景2)

圖10表明追蹤航天器到達了目標航天器對接口的位置，與對接口的相對位置為0 m，相對速度為0 m/s。圖11表明追蹤航天器的位置角跟上了參考位置角。圖12和圖13表明，在考慮避障勢函數(shù)作用時，追蹤航天器能有效避開障礙物，最終安全逼近無控旋轉(zhuǎn)目標。圖14表明，經(jīng)過一段時間，追蹤航天器y方向和z方向的控制加速度趨向于0 m/s2，x方向的控制加速度在-0.2～0.2 m/s2之間來回變化。

場景2說明，當考慮障礙物勢函數(shù)作用時，混合勢函數(shù)制導可以使追蹤航天器有效避開障礙物，實現(xiàn)追蹤航天器沿著安全路徑對無控旋轉(zhuǎn)目標的逼近，保證了安全逼近和避障的制導要求。

表2給出了兩種場景下的燃料消耗，由表2可知，場景2的燃耗比場景1的燃耗高，說明當追蹤航天器需要躲避障礙物時，其所需燃料顯著增加。

表2 不同場景所需燃料

4 結(jié) 論

研究了追蹤航天器利用混合勢函數(shù)對無控旋轉(zhuǎn)目標航天器的安全逼近和躲避障礙物的制導問題。建立了追蹤航天器相對于無控旋轉(zhuǎn)目標航天器的相對運動方程。設(shè)計了吸引勢函數(shù)、安全勢函數(shù)和障礙物勢函數(shù)。根據(jù)Lyapunov理論對混合勢函數(shù)的穩(wěn)定性進行了分析，并推導了追蹤航天器的控制加速度。最后進行了數(shù)值仿真，仿真結(jié)果表明：

1) 當考慮吸引勢函數(shù)和安全勢函數(shù)的作用時，混合勢函數(shù)制導可以實現(xiàn)追蹤航天器沿著安全路徑對無控旋轉(zhuǎn)目標的逼近，逼近過程中能夠避免與目標航天器的附件發(fā)生碰撞，保證了安全性要求。

2) 當同時考慮吸引勢函數(shù)、安全勢函數(shù)和障礙物勢函數(shù)的作用時，混合勢函數(shù)制導可以使追蹤航天器有效避開障礙物，實現(xiàn)追蹤航天器沿著安全路徑對無控旋轉(zhuǎn)目標的逼近，保證了安全逼近和避障的制導要求。

3) 當追蹤航天器需要躲避障礙物時，其燃料消耗也更多。