一類隨機適應序列部分和的局部極限定理的一個注記

薛秀梅,楊衛國

(江蘇大學理學院,江蘇鎮江 212013)

一類隨機適應序列部分和的局部極限定理的一個注記

薛秀梅,楊衛國

(江蘇大學理學院,江蘇鎮江 212013)

研究了一類隨機適應序列的強極限定理,推廣了最近發表的幾個結果,并進一步推廣了Borel-Cantelli引理.

隨機適應序列;局部極限定理;鞅

1 引言

設{Xn,Fn,n≥0}為概率空間(?,F,P)上的隨機序列,即{Fn,n≥1}為F中的增σ代數序列(Fn↑),且Xn是Fn可測的.如果P(ABc)=0,則稱A?B a.e..如果P(A?B)=0,則稱A=B a.e..顯然A=B a.e.的充要條件是A?B a.e.且B?A a.e..規定當n≤0, Fn=(?,Φ).

關于一類隨機適應序列部分和的極限定理目前已有經典結果.文獻[1]研究了任意有界隨機適應序列部分和的極限定理,文獻[2]研究了任意離散隨機變量序列的一類局部極限定理,本文主要研究一類隨機適應序列部分和的一類新的局部極限定理并得出一些新結果.

2 主要結果

文獻[3]證明了以下定理:

引理1[3]設{Xn,Fn,n≥0}是任意可積隨機適應序列,{an,n≥0}為正的隨機變量序列.設α＞0,

本文利用了引理1得到以下結果:

定理1設{Xn,Fn,n≥0}是可積隨機適應序列,且Fn,n≤0如前定義,{an,n≥0}為正的隨機變量序列.設α＞0,

由(4)式和(5)式知(2)式成立,由(1)式及(2)式知(3)式成立.

推論1設{Xn,Fn,n≥0}是有界隨機適應序列,即存在K＞0,使|Xn|≤K,?n≥0. 設{an,n≥1}為正的隨機變量序列,Fn,n≤0如前定義,設

所以?1?D1(α)a.e.,?2?D2(α)a.e..由定理1即得本推論.

為了證明定理2,引入如下的引理:

引理2[1]設{ξn,n≥1}是Fn可測的非負隨機變量,設存在一個有限正數K,使得ξn≤K,?n≥1,設

由定理4有

由(10),(12)式知(11)式成立.

[1]Liu Wen,Yan Jiaan,Yang Weiguo.A limit theorem for partial sums of random variables and its applications[J].Statistics and Probability Letters,2003,62:79-86.

[2]Liu Wen.Some limit properties of the multivariate function sequences of discrete random variables[J]. Statistics and Probability Letters,2003,61:41-50.

[3]楊衛國,葉中行,包振華.關于任意隨機適應序列部分和的一類局部極限定理[J].系統科學與數學, 2006,26(2):187-192.

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[5]汪嘉岡.現代概率論基礎[M].上海:復旦大學出版社,1998.

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[7]劉文.一個對離散信源普遍成立的強極限定理[J].數學物理學報,1996,16(4):440-443.

A limit theorem for partial sums of stochastic adapted sequences and its applications

Xue Xiumei,Yang Weiguo
(Faculty of Science,Jiangsu University,Zhenjiang212013,China)

In this paper we establish a new limit theorem for partial sums of arbitrary stochastic adapted sequences which extend some new published results.As corollaries,we generalize the Borel-Cantelli lemma.

stochastic adapted sequence,local convergence theorem,martingale

O211.4

A

1008-5513(2013)02-0172-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.02.010

2012-12-12.

國家自然科學基金(11071104).

薛秀梅(1987-),碩士生,研究方向:概率極限理論.

2010 MSC:60B12