波紋輥軋機輥系垂直非線性參激振動特性分析

和東平， 王 濤， 解加全， 任忠凱， 劉元銘

(太原理工大學 機械與運載工程學院，太原 030024)

軋機振動研究已有半個多世紀的歷史，隨著軋機朝著大型化、高速化、連續化、智能化的快速發展以及大量新技術的采用使軋機振動出現了許多新問題，常常表現為“幽靈”式多態耦合振動，主要包含軋輥的垂直振動、水平振動、軸向竄動、帶鋼的橫向和縱向振動、主傳動系統的扭轉振動和軸向振動等，直接影響軋制過程穩定性和軋件質量，成為國內外眾多學者和專家的研究熱點[1-5]。

傳統的復合板軋制生產工藝是軋機的上下工作輥都分別采用平輥與兩種金屬接觸進行軋制生產，從而實現兩種金屬的橫向與縱向延伸，但是在實際的生產中，由于上下兩種金屬的延伸率不一樣，很容易造成金屬大曲率翹曲，不能連續化生產(如圖1所示)。復合板波紋輥軋制技術是一項變革性技術(如圖2所示)，可以促進異種材料更好的實現冶金結合，提高結合強度，實現連續化生產。通過波紋輥軋制銅鋁復合板的實驗表明：銅鋁復合板界面處的晶粒得到明顯細化；鋁側晶粒細化程度明顯高于銅側；相同等效壓下率下，波紋軋后拉伸過程中界面結合良好，界面處存在韌窩[6]。但是，波紋輥的輥形曲線為余弦函數曲線，在復合板的軋制過程中，軋制界面的非線性阻尼以及上下波紋輥之間的非線性剛度都可能導致參激振動的發生，造成輥縫的波動，從而影響復合板的生產質量和降低零部件的在線服役時間。

圖1 平輥軋制翹曲現象Fig.1 Warping phenomenon of flat roll

圖2 波紋輥軋制示意圖Fig.2 Rolling diagram of corrugated roll

近些年來，國內外的科研人員針對軋機輥系振動的問題都做了許多有益的探索。Younes 等[7]將軋件等效為具有線性剛度的彈性零件，基于線性振動理論建立了軋機機座的線性垂振模型。Panjkovi等[8]認為負載鋼材的規格和軋輥表面長期工作形成的表面氧化都是引起輥縫摩擦因數變化的原因，進而提出軋機輥縫的摩擦環境的變化是造成軋機系統顫振的一個原因。Kapil等[9]考慮移動板帶振動導致的軋輥與軋件間的非線性參激特性，建立了一個單自由度的軋機非線性參激振動模型，并得到軋機振動的不穩定區域及幅頻振動特性。侯東曉等[10]考慮冷軋機軋輥在垂直方向上振動位移動態變化影響，建立了一種動態軋制力模型。孫韻韻等[11]采用多尺度法求解了考慮界面粗糙形貌影響的軋機系統主共振幅頻特性方程，分析了軋制界面粗糙形貌、激勵載荷、非線性剛度率和阻尼對軋機輥系系統動力學響應特性的影響，為抑制軋機振動提供了有效的理論參考。彭榮榮等[12]建立了動態軋制力下的四輥冷連軋機非線性振動動力學模型，運用多尺度法求解得到了系統的超諧波共振和亞諧波共振。閆曉強等[13]通過對熱連軋機的研究，發現軋機存在扭垂耦合振動、機電耦合振動和液機耦合振動現象，確定軋機振動的性質為機電液多態耦合振動。郜志英等[14]基于Slab分析法建立了軋制過程模型，并且將動態軋制力作為反饋激勵源，作用于相應的軋機結構模型，從而構建了軋制過程與系統結構相耦合的顫振動力學模型。到目前為止，國內外對軋機振動的研究已取得了一定的成績，但是影響軋機振動的因素較多，涉及到振動理論、軋制理論、故障診斷理論等幾大領域的交叉融合。波紋輥軋機是一個多變量、強耦合、非線性、多約束、時變性的系統，波紋輥軋機的振動問題影響著產品的質量和零部件的在線使用壽命，但是，目前還沒有學者針對波紋輥軋機輥系的振動特性展開相關研究。

基于上述原因，本文考慮了波紋輥軋機波紋界面間的非線性阻尼和非線性剛度，建立了波紋輥軋機兩自由度垂直非線性參激振動模型。利用奇異值理論討論了波紋輥軋機輥系自治下的穩定性，運用多尺度法求解了波紋輥軋機輥系在波紋界面激勵下的主共振和次共振的解析近似解和幅頻特性方程。分析了非線性剛度、非線性阻尼、系統阻尼、軋制力的幅值等參數對振動的影響。通過數值仿真驗證了分析結果的正確性，為抑制波紋輥軋機的輥系振動提供了一定的理論指導。

1 波紋輥軋機輥系垂向振動測試分析

以實驗室波紋輥軋機作為實驗對象，采用現代振動測試技術，建立了波紋輥軋機輥系振動檢測系統。對復合板的軋制過程進行綜合測試與對比，深入了解波紋輥軋機輥系的振動特性與平輥軋制復合板輥系振動特性的區別。板材前進的方向定義為X方向，平行于軋輥的方向定義為Y方向，垂直于XY方面的方向定義為Z方向。小型波紋輥軋機主要參數如下：

電機功率： 3 kW

波紋輥直徑(波腰)： 95 mm

平軋輥直徑： 95 mm

三向加速度傳感器型號： HD-YD-230

16通道數據采集儀： INV3060A

分析軟件： DASP2010

試驗工況：轉速為0.18 m/s，壓下量50%

在平輥軋制銅鋁復合板和波紋輥軋制銅鋁復合板過程中，針對操作側的上工作輥軸承座三個方向的加速度信號進行頻譜對比分析。檢測結果如圖3～圖8所示。

圖3 平輥軋制X方向時域頻譜圖Fig.3 X-direction time-domain spectrogram of flat rolling

圖4 平輥軋制Y方向時域頻譜圖Fig.4 Y-direction time-domain spectrogram of flat rolling

圖5 平輥軋制Z方向時域頻譜圖Fig.5 Z-direction time-domain spectrogram of flat rolling

圖6 波紋輥軋制X方向時域頻譜圖Fig.6 X-direction time-domain spectrogram of corrugated rolling

圖7 波紋輥軋制Y方向時域頻譜圖Fig.7 Y-direction time-domain spectrogram of corrugated rolling

圖8 波紋輥軋制Z方向時域頻譜圖Fig.8 Z-direction time-domain spectrogram of corrugated rolling

通過分析平輥軋制銅鋁復合板和波紋輥軋制銅鋁復合板操作側上工作輥軸承座三向加速度信號的時域頻譜圖可以得到：當轉速為0.18 m/s、壓下量50%時，平輥軋制過程中操作側的上工作輥軸承座的優勢頻率為25 Hz、216 Hz、155 Hz、263 Hz、325 Hz，波紋輥軋制過程中操作側的上工作輥軸承座的優勢頻率為25 Hz、216 Hz、325 Hz。相同工況、相同檢測位置、相同方向，波紋輥軋制過程中振動明顯比平輥軋制復合板過程劇烈。推斷振源發生在軋制變形區，由于輥形曲線造成的非線性阻尼和非線性剛度等多參數耦合的非線性參激共振所導致。因此需要從理論上對波紋輥軋機輥系的振動特性進行更加深入的研究，以便為抑制波紋輥軋機的輥系振動提供理論指導。

2 波紋輥軋機輥系非線性參激振動模型

本文研究對象為電動壓下波紋輥軋機，沒有壓下缸和彎輥缸，所以忽略壓下缸和彎輥缸的非線性彈性力和非線性摩擦力對參激振動的影響，只考慮波紋輥軋制界面的非線性阻尼以及波紋輥之間的非線性剛度，波紋輥軋機可以簡化為兩自由度垂直非線性參數振動模型，如圖9所示。

圖9 波紋輥系參激振動數學模型Fig.9 Parametrically excited vibration mathematical model of corrugated roll

(1)

在波紋輥軋制復合板的過程中，上下波紋輥系具有基本對稱性。因此令m1=m2，y1=-y2，則式(1)可以簡化為

(2)

將式(2)無量綱化，

則兩自由度非線性振動微分方程可以簡化為

(3)

假設ε為小參數，將式(3)的非線性項冠以為小參數ε，則有

(4)

3 波紋輥軋機輥系穩定性分析

波紋輥輥系的穩定性對復合板的生產質量有著重要的影響。基于奇異值理論，對波紋輥輥系在自治狀態下的穩定性進行分析[15]。

(5)

得到波紋輥軋機自治系統的雅克比矩陣為

(6)

由式(5)可知，

當γ>0時，自治系統的奇點為(0,0)。

當γ>0時，將奇點代入式(6)得到

(7)

式(7)的特征方程為

(8)

解得

(9)

當ω0>0，2ω0<α<2.3ω0時，奇點為穩定節點，系統漸進穩定；

當ω0>0，α=2ω0時，奇點為穩定邊界節點，系統漸進穩定；

當ω0>0，α<2ω0時，奇點為穩定節點，系統漸進穩定；

當ω0>0，α>2.3ω0和α<-2ω0時，奇點為不穩定節點，系統不穩定；

當ω0>0，α=-2ω0時，奇點為不穩定節點，系統不穩定；

當ω0>0，α>-2ω0時，奇點為不穩定節點，系統不穩定；

(10)

式(10)的特征方程為

(11)

解得

(12)

4 波紋輥軋機參激振動求解

波紋輥軋機是一個非線性振動系統，在軋制的過程中可能導致多種共振現象，如：內共振、主參數共振、倍共振。下面主要討論波紋輥的軋制力的激振頻率ω接近固有頻率ω0時的主參數共振、超諧波共振、亞諧波共振進行分析[16-17]。

Y(t,ε)=Y0(T0,T1)+εY1(T0,T1)+…

(13)

將不同尺度的時間變量視為獨立變量，則X(t,ε)成為m個獨立時間變量的函數，對時間的微分可利用復合函數微分公式按ε的冪次展開，

(14)

(15)

其中Dn(n=0,1,2,…,m)為偏微分算子，定義

4.1 主共振響應求解

假設ζ為頻率調制參數。討論波紋輥軋制力的激振頻率ω接近波紋輥軋機固有頻率ω0時[18]，令

(16)

將式(13)～式(15)代入式(4)，展開后令兩邊的同次冪系數相等，得到各階近似方程：

(17)

(18)

設零次近似方程(17)的解為

y=B(T1)ejω0T0+Δ

(19)

式中：Δ代表前一項的共軛復數。

將式(19)代入式(18)，得到

(20)

為了避免出現久期項，必須使函數B滿足：

(21)

將B表示成復數形式，令

(22)

將式(22)代入式(21)，分離實部與虛部，得到

(23)

(24)

令φ=ζt-φ，化簡式(23)和式(24)可得主共振一階近似解：

Y=kcos(ω0t+φ)+O(ε)

(25)

(26)

改變波紋輥軋機的非線性剛度系數γ、非線性阻尼系數β、系統阻尼系數α、軋制力的幅值F，可以得到不同的主共振幅頻特性曲線(擾動頻率ζ與k振幅之間的關系)。

圖10 不同參數對主共振幅頻特性曲線的影響Fig.10 The amplitude-frequency characteristic curve of principal resonance with different parameters

如圖10(a)所示，隨著非線性剛度系數γ的增大，曲線右移而且彎曲程度增大。當擾動頻率從負值到正值變化的時候，幅值出現跳躍，引起系統的振蕩。如圖10(b)所示，隨著非線性阻尼系數β的增大，振幅減小且共振域減小。如圖10(c)所示，隨著系統阻尼系數α的增大，振幅減小且共振域減小。非線性阻尼系數β和系統阻尼系數α的變化不影響頻響曲線的彎曲程度。如圖10(d)所示，隨著軋制力的幅值F的增大，系統的振幅和共振區域明顯增大。因此，在波紋輥設計的過程中，可以通過減小波峰與波谷之間的距離、減少波紋的數量來對輥形曲線進行優化設計從而避免和減小軋制力幅值對主共振的影響。

4.2 次共振響應求解

當波紋輥軋制力的激振頻率ω接近波紋輥軋機固有頻率ω0的整數倍或者分數倍時，出現的共振現象，分別稱為超諧波共振或者亞諧波共振，統稱為次共振。

將式(4)中的εFcosωt以Fcosωt代替，只討論一次近似解，將式(15)代入式(4)得到：

(27)

(28)

設零次近似方程(27)的解為

y=B(T1)ejω0T0+CejωT0+Δ

(29)

式中：Δ代表前一項的共軛復數。

(30)

將式(29)代入式(28)得到：

(31)

式中：Δ代表前一項的共軛復數。

4.2.1 超諧波共振響應求解

3ω=ω0+εζ

(32)

將式(32)代入式(31)，令ejω0T0的系數為零以消除久期項，得：

(33)

將B表示成復數形式，令

(34)

將式(34)代入式(33)，分離實部與虛部，得到

(35)

(36)

令φ=ζt-φ，化簡式(35)和式(36)可得超諧波共振一階近似解：

(37)

(38)

改變波紋輥軋機的非線性剛度系數γ、非線性阻尼系數β、系統阻尼系數α、軋制力的幅值F，可以得到不同的超諧波共振幅頻特性曲線(擾動頻率ζ與振幅k之間的關系)。

圖11 不同參數對超諧波共振幅頻特性曲線的影響Fig.11 The amplitude-frequency characteristic curve of super-harmonic vibration with different parameters

如圖11(a)所示，隨著非線性剛度系數γ的增大，骨干曲線右移而且彎曲程度增大,振幅和共振區域增大。當擾動頻率從負值到正值變化的時候，幅值出現跳躍，引起系統的振蕩。如圖11(b)所示，隨著非線性阻尼系數β的增大，振幅減小且共振域減小。如圖11(c)所示，隨著系統阻尼系數α的增大，振幅減小且共振域減小。非線性阻尼系數β和系統阻尼系數α的變化對振幅和共振區域的影響小。如圖11(d)所示，隨著軋制力的幅值F的增大，骨干曲線右移，系統的振幅和共振區域明顯增大。因此，在波紋輥設計的過程中，可以通過減小波峰與波谷之間的距離、減少波紋的數量來對輥形曲線進行優化設計從而避免和減小軋制力幅值對超諧波的影響。

4.2.2 亞諧波共振響應求解

當ω≈3ω0時，系統發生亞諧波共振響應，設ω與3ω0的差別為ε的同階小量，令

ω=3ω0+εζ

(39)

將式(39)代入式(31)，令ejω0T0的系數為零以消除久期項，得：

(40)

將B表示成復數形式，令

(41)

將式(41)代入式(40)，分離實部與虛部，得到

(42)

(43)

令φ=ζt-3φ，得到

(44)

(45)

化簡式(44)和式(45)可得超諧波共振一階近似解：

(46)

(47)

改變波紋輥軋機的非線性剛度系數γ、非線性阻尼系數β、系統阻尼系數α、軋制力的幅值F，可以得到不同的亞諧波共振幅頻特性曲線(擾動頻率ζ與振幅k之間的關系)。

圖12 不同參數對亞諧波共振幅頻特性曲線的影響Fig.12 The amplitude-frequency characteristic curve of sub-harmonic vibration with different parameters

如圖12(a)所示，隨著非線性剛度系數γ的增大，曲線右移而且彎曲程度增大。當擾動頻率從負值到正值變化的時候，幅值出現跳躍，引起系統的振蕩。如圖12(b)所示隨著非線性阻尼系數β的增大，振幅減小且共振域減小。如圖12(c)所示隨著系統阻尼系數α的增大，振幅減小且共振域減小。非線性阻尼系數β和系統阻尼系數α的變化對振幅和共振區域的影響小。如圖12(d)所示隨著軋制力的幅值F的增大，系統的振幅和共振區域明顯增大。因此，在波紋輥設計的過程中，可以通過減小波峰與波谷之間的距離、減少波紋的數量來對輥形曲線進行優化設計從而避免和減小軋制力幅值對亞諧波的影響。

5 結 論

(1)本文考慮了波紋輥軋機波紋界面間的非線性阻尼和非線性剛度，建立了波紋輥軋機兩自由度垂直非線性參激振動模型。

(2)利用奇異值理論討了波紋輥軋機輥系自治下的穩定性，運用多尺度法求解了波紋輥軋機輥系在波紋界面激勵下的主共振和次共振的解析近似解和幅頻特性方程。

(3)通過數值仿真分析了非線性剛度系數、非線性阻尼系數、系統阻尼系數、軋制力的幅值等參數對波紋輥軋機輥系垂直非線性參激振動的影響，驗證了分析結果的正確性，為抑制波紋輥軋機的輥系振動和升級改造提供了一定的理論指導。

(4)在波紋輥的設計過程中，可以通過減小波峰與波谷之間的距離、減少波紋的數量來對輥形曲線進行優化設計從而減小參激振動對軋制過程的影響。