橫向剪切及伸縮變形對層合板振動特性的影響分析

葉天貴， 靳國永， 劉志剛

(哈爾濱工程大學 動力與能源工程學院，哈爾濱 150001)

為了滿足不同工程需求，具有比剛度高，比強度大，可設計性強等特點的層合板應用十分廣泛。例如，層合板常應用于艦船桅桿、煙囪、整體上層建筑等[1]；波音787客機機體結構大量應用由碳素纖維經聚合物灌注而成的碳素層合板和由兩層纖薄硬質蒙皮附著在蜂巢核芯上制成的碳素夾芯結構，重量占比達50%以上。

在層合板的制造和使用過程中，除了涉及復合材料工藝和設計外，還涉及大量的建模計算分析問題。關于板結構的力學建模研究可以追溯到19世紀。19世紀中葉，Kirchhoff提出了經典薄板理論。20世紀初，Mindlin在經典薄板理論的基礎上進一步考慮了橫向剪切變形的影響，提出了中厚板理論。這兩大理論構成了板結構兩大支柱理論[2-5]。經典等效單層板理論和剪切變形板理論是傳統板理論在層合板上的直接推廣應用。這兩種理論先在厚度方向上把層合板等效成各向異性的單一薄層結構，然后用這一薄層的位移或者應力分量描述結構的整體力學行為。因此，當結構的厚度比較大或者各鋪層材料性質差異較為明顯時，層間位移連續但不滿足層間應力連續條件的上述兩種二維簡化理論產生的建模偏差急劇增大。為解決這一問題，舒小平[6]，Cho和Kim[7]，Murakami[8]，Di Sciuva[9]等提出了一系列鋸齒理論。然而，鋸齒理論位移形式往往十分復雜，而且位移函數往往沒有明確的物理含義，理解起來比較困難。同時，大部分鋸齒理論都是針對特定鋪層層合板推導得到的，不具有普適性[10]。

在一些對結構振動要求嚴格的高科技領域，如航空航天、國防裝備和微型機械系統，高性能層合板的大量應用經常要求對其振動行為作精細的計算和分析。此時，建模精度過低的二維簡化理論往往滿足不了要求，需使用更為精確的三維理論來建模分析。對于層合板振動而言，只有至少一對邊簡支、鋪層方式正交的層合矩形板才具有三維彈性解析解，而對于其它結構形式、邊界條件和鋪層方式只能借助數值或者近似解法。因此，建立一般邊界條件和鋪層方式下層合板振動問題三維求解方法具有重要的實際意義。

本文基于廣義譜方法和微分求積法提出了一種適用一般邊界條件和鋪層方式的層合板振動三維解法。在此基礎上，系統研究了不同邊界條件及鋪層方式下橫向剪切及伸縮變形對層合板振動特性的影響。本文旨在為層合板振動特性分析提供了一種新的計算方法。文中數據還可用于檢驗各種簡化理論的適用性。

1 理論建模

1.1 層合板結構模型

如圖1所示，取一長為a，寬為b，厚度為h的層合板。建立如圖所示的右手正交坐標系oxyζ，其中x和y為板底面的兩個坐標方向，ζ為板的厚度方向。該層合板由任意K層具有不同厚度和材料性質的復合材料或者各向同性材料層緊密復合而成。其中，ζk和ζk+1分別表示第k子層下表面和上表面的橫向坐標，hk為該層厚度，?k為該層材料坐標與幾何坐標之間的夾角。

圖1 層合板幾何模型及坐標系統Fig.1 Geometry dimensions and cartesian coordinate system of laminated plates

1.2 層合板三維運動學方程及本構方程

假設層合板振動時，第k子層空間上任意一點在x、y和ζ方向上的位移分別為uk，vk和wk，則該點的位移-應變方程為

(1)

式中：εkx，εky和εkζ為正應變分量；γkxy，γkxζ和γkyζ為切應變分量。

(2)

式中：Jk為計算面總數。

圖2 層合板厚度方向上計算面分布情況Fig.2 Distribution of key surface in the transverse direction of alaminated plate

(3)

(4)

式中： 權重系數akjr為

(5)

令

(6)

式中：σkx，σky和σkζ為正應力分量；τkxy，τkxζ和τkyζ為切應力分量。

因此，根據拉格朗日插值定理，第k鋪層的整體位移及應變沿厚度方向分布情況可寫為

(7)

(8)

根據胡克定律，鋪層k上任意點的應力分量可寫為

(9)

式中：Ck為材料剛度系數矩陣，Tk為轉換矩陣，具體表達式見文獻[11-13]。

1.3 層合板振動能量泛函

層合板鋪層k的應變能和動能方程可以寫為

(10)

式中：ρk為材料密度，符號(·)表示對時間求導。結合式(10)和Hamilton原理即可推導出層合板第k鋪層的3個振動控制微分方程。

對于由任意K層鋪層復合而成的層合板，其振動問題涉及3K個控制微分程、6K-6個層間連續方程以及若干邊界方程的聯合求解。對于一般邊界條件和鋪層方式層合板，找到同時滿足上述三類方程的解析解極其困難，通常需借助近似方法或數值解法進行求解。本文通過相鄰兩層共用層間計算面的方式來保證層間連續條件，同時采用Lagrange乘子和罰函數將邊界約束方程轉化為邊界能量泛函的形式來滿足一般邊界條件求解需求。一般邊界約束下子層的邊界泛函可以寫為

(11)

表1 不同邊界條件下邊界系數取值情況(x=xl邊為例)Tab.1 Boundary coefficients for the classical boundaries of laminated plates (at the end of x=xl)

1.4 層合板振動特征方程

一般約束條件下，子層k的振動能量泛函可寫為

Πktotal=Tk-Uks-Πkbc

(12)

(13)

將式(10)、式(11)連同計算面位移分量的展開式代入式(12)，然后令泛函Πktotal對所有展開系數的變分為零，即

(14)

從而得到子層的振動特征方程為

(Kk-ω2Mk)Gk=0

(15)

式中：Kk和Mk分別為剛度和質量矩陣；Gk為待求系數向量。

最后，通過層間連續性條件將所有子層矩陣列式組裝在一起即可得到層合板基于三維彈性理論的振動特征方程，組裝方式如圖2所示(質量矩陣和系數向量同理可得)。通過對整體矩陣方程進行特征值分解和數據后處理即可得到層合板固有頻率和振型。

圖3 層合板剛度矩陣組裝方式Fig.3 Assemblage of the globalstiffness matrix

1.5 等效單層板理論解

常用的等效單層板理論主要有經典等效單層板理論(CPT)和一階剪切變形等效單層板理論(FSDT)兩大類。層合板基于CPT理論的位移場可表示為

(16)

式中：u0，v0和w0代表層合板中面各坐標方向上的位移分量。CPT理論位移形式簡單，位移變量少，計算效率高，但忽略了橫向剪切變形以及轉動慣量的影響。

層合板基于FSDT理論的位移場可表示為

u(x,y,ζ,t)=u0(x,y,t)+ζφx(x,y,t),v(x,y,ζ,t)=v0(x,y,t)+ζφy(x,y,t),w(x,y,ζ,t)=w0(x,y,t)

(17)

式中：φx和φy分別為層合板橫法線關于y軸和x軸的轉角。FSDT舍棄了CPT理論中“結構變形后橫法線仍然垂直于中曲面”的假設，從而克服了CPT理論不考慮結構橫向剪切變形和轉動慣量的先天缺陷，計算精度相對CPT理論有較大提高。但該理論本質上也一種等效單層理論，未能考慮橫向伸縮變形的影響，且層間應力也不滿足層間連續條件。此外，FSDT理論需引入剪切修正因子。本文算例中剪切修正因子取5/6。作者在文獻[16]中借助改進傅里葉級數和Rayleigh-Ritz法建立了任意邊界條件下層合板的基于等效單層板理論的振動特性求解方法，并驗證了該方法的正確性，本文不再贅述。

2 層合板振動算例及分析

以不同邊界條件和鋪層方式下的層合板為研究對象，分析其振動特性，探究橫向剪切和伸縮變形對層合板振動特性的影響。除非另有說明，層合板各鋪層等厚且材料參數相同，為：E1=150 GPa，E2=E3=10 GPa，G12=G13=6 GPa，G23=5 GPa，ν12=ν13=ν23=0.25，ρ=1 450 kg/m3。為描述方便，以逆時針順序對層合板的各邊界條件進行標記。如，C-F-S-S表示板的x=x0，y=y0，x=x1和y=y1邊的邊界條件分別為固支，自由，簡支，簡支。

2.1 層合板自由振動特性

表2給出了[45°]復合厚板的前二十階頻率參數與有限元解(ANSYS, SOLID186單元，尺寸為0.05 m)的對比情況。復合板結構參數為：b=2 m，a/b=1，h/b=0.5。邊界條件為F-F-F-F。可以看出，本文方法具有良好的收斂性質，計算量為“15-15-4”和“15-15-7”的兩組解之間的誤差不超過0.93%。此外，本方法結果與三維有限元解吻合良好。為了方便起見，下文算例中位移表達式的截斷常數均取為M=N=15，并根據長寬比適當調整。

表2 四邊自由[45°]復合厚板的前二十階固有頻率Tab.2 Natural frequencies for F-F-F-F [45°] composite plates

表3 [0/90°]2和[0/90°]4層合板無量綱基頻Tab.3 The fundamental frequency parameters Ω of [0/90°]2和[0/90°]4 laminated plates

加時，其剛度與質量之比相應增加，根據ω2=k/m粗略估計，可知板的頻率參數也將相應增加。當層合板厚度接近面內最小尺寸時，結構的各階模態將發生變化，這一規律將不再適用。

表4 不同厚度比下[0/90°/0]層合方板前五階頻率參數ΩTab.4 Frequency parameters Ω for[0/90°/0]layered plates of various thickness ratios

2.2 橫向剪切及伸縮變形影響分析

以層合板三維彈性解為基準，系統對比不同邊界條件、幾何參數及鋪層方式下基于等效單層理論的計算結果的偏差情況來探究橫向剪切及伸縮變形對層合板振動特性的影響。偏差定義如下

偏差=(fCPT或FSDT-f3D)/f3D×100%

(18)

圖4給出了不同邊界條件下[0/90°/0]層合板基于CPT/FSDT兩種理論的計算結果相對于三維彈性解的偏差隨厚長比的變化情況。層合板的幾何參數為：a=b=1。首先，可以看出，未考慮橫向剪切變形的CPT理論的計算結果往往比考慮了橫向剪切變形的FSDT理論的計算結果及三維彈性解大。其次，基于FSDT理論的計算結果和三維彈性解相差不大，這是因為本文所給出的是層合板的低階模態頻率，而層合板低階模態以全局性的彎曲振動為主，因此橫向伸縮影響并不大。此外，隨著層合板厚度的增加，兩種簡化理論的偏差越來越大。這主要是由于經典理論忽略了剪切變形的影響，而在復合材料中，垂直于增強方向的楊氏模量一般不大，橫向剪切變形較為明顯。

圖4 不同邊界條件下[0/90°/0]層合板基于CPT/FSDT 理論的計算結果相對于三維彈性解的偏差隨厚長比的變化Fig.4 Deviation between frequencies obtained by the CPT/FSDT and the 3-D elasticity solution with respect to thickness ratio for [0/90°/0]laminated plates of various restraints

圖5給出了四邊固支[0/90°/0]層合方板基于FSDT理論的計算結果相對于三維彈性解的偏差情況。圖中分別考慮了E1/E2=20和40兩種情況。可以看出，E1與E2比值越大，層間材料性質差異越大，橫向伸縮變形影響越大，層合板振動位移沿厚度方向鋸齒分布現象越明顯，FSDT理論解的偏差也越大。

圖5 不同材料參數下四邊固支[0/90°/0]層合板基于 FSDT理論的計算結果相對于三維彈性解的偏差情況Fig.5 Deviation between frequencies obtained by the FSDT and the 3-D elasticity solution for [0/90°/0] laminated plates of different anisotropy

圖6給出了不同鋪層方式下四邊固支層合板基于CPT/FSDT兩種理論的計算結果相對于三維彈性解的偏差隨厚長比的變化情況。層合板的幾何及材料參數與圖4所用一致。可以看出，偏差曲線的變化趨勢和前例一致，但不同鋪層方式下，橫向剪切變形對層合板振動頻率的影響略有區別。總體來說，對基頻的影響隨厚度的增加而增加，而對于較高階模態頻率，由于結構內部彎曲、剪切和伸縮振動之間的耦合作用逐漸增強，偏差曲線略有波動。

圖6 不同鋪層方式下四邊固支層合板基于CPT/FSDT 理論的計算結果相對于三維彈性解的偏差隨厚長比的變化Fig.6 Deviation between frequencies obtained by the CPT/FSDT and the 3-D theory with respect to thickness ratio for C-C-C-C laminated plates

圖7給出了不同邊界條件下[0/90°/軟芯/0/90°]軟芯夾層方板基于FSDT理論的計算結果相對于三維彈性解的偏差的隨厚長比的變化情況。各子層材料參數[E1,E2,E3,ν12,ν13,ν23,G12,G13,G23,ρ]為：表層-[131 GPa, 10.34 GPa, 10.34 GPa, 0.22, 0.22, 0.49, 6.895 GPa, 6.205 GPa, 6.895 GPa, 1 627 kg/m3]，芯體-[6.89 MPa, 6.89 MPa, 6.89 MPa, 0, 0, 0, 3.45 MPa, 3.45 MPa, 3.45 MPa, 97 kg/m3]。表層和芯體的厚度為h0°∶h90°∶hcore∶h0°∶h90°=1∶1∶20∶1∶1。可以看出，基于FSDT理論的計算結果遠遠高于三維彈性解，而且隨著厚長比增加，這一差異越來越明顯。即使是厚長比為0.05的情況下，最大偏差達到了700%以上。這是由于軟芯和表層材料性質差異較大，層間鋸齒效應也越明顯，而FSDT假設的連續線性模型嚴重不符合實際情況，偏差較大。

圖7 不同邊界條件下[0/90°/軟芯/0/90°]夾層方板 基于FSDT理論解相對于三維彈性解的偏差隨厚長比的變化Fig.7 Deviation between frequencies obtained by the FSDT and the 3-Dtheorywith respect to thickness ratio for[0/90°/soft-core/0/90°]sandwich plates

圖8給出了S-S-S-S邊界條件下[0/90°/0]和[0/90°]層合方板基于FSDT理論的計算結果相對于三維彈性解的偏差情況。各子層材料參數與圖7算例表層材料參數一致。可以看出，于對稱鋪設層合板相比，橫向伸縮變形對非對稱鋪設層合板的影響更大。

圖8 不同邊界條件下[0/90°/軟芯/0/90°]夾層方板 基于FSDT理論解相對于三維彈性解的偏差隨厚長比的變化Fig.8 Deviation between frequencies obtained by the FSDT and the 3-Dtheorywith respect to thickness ratio for[0/90°/soft-core/0/90°]sandwich plates

圖9給出了表層與芯層厚度比變化時四邊固支[0/軟芯/0]夾層方板基于FSDT理論的計算結果相對于三維彈性解的偏差隨厚長比的變化情況。夾層板的各子層材料參數與圖7所用一致。可以看出，隨著軟芯層厚度占比的降低，FSDT與三維彈性理論之間的偏差降低。這是由于軟芯層厚度方向上楊氏模量較小，橫向伸縮變形較為顯著，而當其厚度減小時，彎曲振動逐漸主導層合板的低頻模態，橫向伸縮變形的影響逐漸降低，因此未考慮橫向伸縮變形影響的FSDT理論與三維彈性理論之間的差異也逐漸降低。

圖10給出了芯層材料參數變化時四邊固支[0/軟芯/0]三明治方板基于FSDT理論的計算結果相對于三維彈性理論計算結果的偏差隨厚長比的變化情況。除了芯層楊氏模量外，三明治板表層和芯層的其他材料參數與圖7所用一致，表層和芯層厚度比為hface∶hcore∶hface=1∶1∶1。可以看出，隨著軟芯材料參數與表層材料參數差異性減小，FSDT理論相對于三維彈性理論的偏差越來越小。這是由于軟芯層材料參數越接近于表層時，層間位移的鋸齒效應越不明顯，三明治板越接近各向同性均質結構，從而假設位移沿厚度方向線性分布的FSDT理論相對于三維彈性理論的偏差也逐漸減小。

圖4～10中還可以看出偏差曲線出現跳躍現象。這是因為隨著厚度增加，結構的振動從以彎曲變形為主的振動模態逐漸過渡到彎曲、伸縮、扭轉、剪切變形共同主導的振動模態，振動模態越來越復雜，橫向剪切及伸縮變形的影響也越來越復雜。當厚度大到一定程度，結構可能從以彎曲變形為主的模態切換到剪切變形為主的模態或者其他變形主導的振動模態。針對不同模態，橫向剪切及伸縮變形的影響不盡相同，因此圖中曲線出現跳躍。

圖9 四邊固支[0/軟芯/0]夾層方板基于FSDT理論的 計算結果相對于三維彈性解的偏差隨厚長比的變化Fig.9 Deviation between natural frequencies obtained by the FSDT and the 3-D theory with respect to thickness ratio for [0/soft-core/0]sandwich plates of C-C-C-C restraint

圖10 芯層材料參數變化時四邊固支[0/軟芯/0]夾層 方板基于FSDT理論的計算結果與三維彈性解的偏差情況Fig.10 Deviation between natural frequencies obtained by the FSDT and the 3-D theorywith respect to thickness ratio for[0/soft-core/0]sandwich plates of C-C-C-C restraint

3 結 論

本文基于廣義譜方法和微分求積法建立了一種適用一般邊界條件和鋪層方式的層合板振動三維解法，并驗證了方法的收斂性和計算精度。系統分析了不同邊界條件和鋪層方式下橫向剪切及伸縮變形對層合板振動特性的影響。研究結果表明：

(1) 橫向剪切變形對層合板固有頻率的影響非常顯著。總體來說，對基頻的影響隨厚度的增加而增加，而對于較高階模態頻率，由于結構內部彎曲、剪切和伸縮振動之間的耦合作用逐漸增強，難以定量或者定性估計。

(2) 橫向伸縮變形對各鋪層材料參數相同的層合板的固有頻率影響不大，而對于各鋪層材料性質差異明顯的層合板，其影響非常顯著，且隨厚度比增加而加劇，如在軟芯夾層方板計算中，忽略橫向伸縮變形的計算偏差達到了700%以上。

(3) 層合板各鋪層材料差異度越小，層間鋸齒效應越不明顯，基于連續位移假設的等效單層理論相對于三維彈性理論的偏差也越小。