互補集合自適應最稀疏窄帶分解及其應用

陳君航， 彭延峰， 李學軍， 韓清凱， 李鴻光

(1.湖南科技大學 湖南省機械設備健康維護重點實驗室，湖南 湘潭 411201；2.湖南科技大學 先進礦山裝備教育部工程研究中心，湖南 湘潭 411201；3.大連理工大學 機械工程學院,遼寧 大連 116024；4.上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240)

在機械故障診斷領域中，振動信號分析與處理方法一直都是研究的熱點。近年來，經(jīng)驗模態(tài)分解方法[1-2]和稀疏分解方法[3-5]等自適應信號分析方法得到了廣泛地應用，但是稀疏分解方法需要事先根據(jù)信號的特征選擇原子構(gòu)成過完備原子庫，缺乏自適應性，且分解得到的分量缺乏物理意義。而EMD方法存在端點效應和模態(tài)混淆等缺點。盡管Wu等[6]提出的總體平均經(jīng)驗模態(tài)分解方法(Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD)方法對模態(tài)混淆有很好的抑制作用，但也存在如添加白噪聲殘留較大，分解不完備等問題。針對這些問題，Yeh等[7]提出了一種補充的總體平均經(jīng)驗模態(tài)分解方法CEEMD。CEEMD方法主要是通過向待分析信號中添加兩個相反的白噪聲信號，并分別進行EMD分解。CEEMD在保證分解效果與EEMD相當?shù)那闆r下，減小了由白噪聲引起的重構(gòu)誤差，但計算量都較大，且分解依賴添加白噪聲幅值和集成次數(shù)。如果參數(shù)選擇不合適，則不能抑制模態(tài)混淆且導致偽分量，無法保證分解得到分量滿足IMF分量條件[8-9]。

在EMD的基礎上，Peng等[10]提出了一種將信號所有數(shù)據(jù)點的優(yōu)化轉(zhuǎn)化為對濾波器參數(shù)的優(yōu)化過程，從而可以選擇合適的優(yōu)化算法對濾波器參數(shù)進行優(yōu)化的ASNBD方法。該方法將信號分解問題轉(zhuǎn)化為非線性約束優(yōu)化問題，優(yōu)化目標為得到非線性信號的最優(yōu)化表示，約束條件是所有內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)( Intrinsic Mode Functions，IMF)[11-12]都處于過完備字典庫Dic中。ASNBD無需處理極值點，所以在抑制端點效應和模態(tài)混淆等方面優(yōu)于EMD。但ASNBD仍存在一些不足，在面對噪聲頻率較低時，對于噪聲的分解能力沒有達到很好的水平。由此，基于EMD下的優(yōu)化CEEMD方法，采用互補集合(Complementary Ensemble，CE)方法來優(yōu)化ASNBD，得到CE-ASNBD，新的CE-ASNBD在精度上比原有的ASNBD方法得到進一步提高。

論文首先闡述了CEEMD,ASNBD和CE-ASNBD方法的基本理論，然后使用仿真信號將基于ASNBD方法、CEEMD方法和基于CE的ASNBD(CE-ASNBD)方法進行了對比，結(jié)果表明該方法能有效抑制模態(tài)混淆，表現(xiàn)出了更好的抗噪聲性能，并具有更好的準確性和正交性。最后，論文將基于CE的ASNBD方法應用于滾動軸承的故障診斷，結(jié)果表明該方法能有效應用于滾動軸承機械故障診斷。

1 基于CE的ASNBD優(yōu)化方法

1.1 ASNBD

1.1.1 內(nèi)稟窄帶分量

信號S(t)一般能夠表示為A(t)cos(ωt+φ(t))的形式。如果A(t)是帶限的，它的最大頻率遠小于ω，且φ(t)是“緩變”相位函數(shù)，則信號S(t)稱為窄帶信號。窄帶信號的概念可以推廣到局部窄帶信號。如果對于S(t)的任一時間點，都存在一個鄰域區(qū)間，使得S(t)在該區(qū)間中近似于窄帶信號，則信號S(t)稱為局部窄帶信號。

若使用信號分解方法得到的分量滿足局部窄帶信號的條件，稱其為內(nèi)稟窄帶分量[13]。

1.1.2 奇異局部線性算子

從L2(R)到L2(R)的線性算子T稱為局部線性算子，若t∈R，t存在的領域Bt，使得

T(s)(t)=T(s|Bt)(t),(?s∈L2(R) )

(1)

式中:s|Bt表示s在Bt上的限制。若T奇異，稱T為奇異局部算子。論文中奇異局部算子如下

(2)

式中：極小化T(s)2意味著s處于算子T的局部窄帶空間[13]。

1.1.3 ASNBD方法的步驟

ASNBD方法首先建立過完備字典庫Dic為:

Dic={A(t)cos(ωt+φ(t))}

(3)

式中:A(t)的最大頻率遠小于ω；φ(t)是緩變函數(shù)。

在建立了過完備字典庫Dic以后，為了尋找到最佳的內(nèi)稟稀疏結(jié)構(gòu)，將信號分解問題轉(zhuǎn)換成如下無約束優(yōu)化問題P2，從而得到信號的最稀疏解。信號的迭代過程如下：

1)令r1(t)=f(t)；

2)解決如下優(yōu)化問題P2：

(4)

定義INBCi(t)滿足式(4)所示過完備字典庫Dic的條件，即INBCi(t)為局部窄帶信號。D是微分算子，用于規(guī)范INBCi(t)。

3)令ri+1=ri(t)-INBCi(t)；

4)若‖ri+1‖2<ε則迭代終止，否則返回到第二步。

1.2 CE-ASNBD

1.2.1 CE

互補集合(Complementary Ensemble,CE)方法來源于CEEMD算法，該方法以正負成對的形式向原始信號中加入輔助白噪聲，過程如下：

首先設置輔助白噪聲的強度，通過matlab來使用標準差函數(shù)std(s)計算原信號s的標準差，使原信號除以標準差函數(shù)得到新的函數(shù)S，再通過引入隨機函數(shù)randn

temp=randn(1,1)*NstdX1=S+tempX2=S-temp

(5)

再令s1=X1*sstd;s2=X2*sstd，即可得到一組添加了相反的輔助白噪聲的信號，通過控制Nstd的大小可以設置輔助白噪聲的強度。

然后將固定強度的白噪聲加入原信號中，然后進行EMD分解,得到一個IMF分量，然后繼續(xù)加N組不同白噪聲分別進行相應次數(shù)的分解，對獲得的分量進行總體平均，得

(6)

式中：IMF是一階分量；N表示加入不同白噪聲次數(shù)；Ei表示EMD分解產(chǎn)生的第i個分量；ε表示加入噪聲的比例；ωi表示加入白噪聲[14]。這個方法使用在EMD中解決模態(tài)混疊問題，很好地消除重構(gòu)信號的殘余輔助噪聲，而且噪聲實現(xiàn)次數(shù)可以較低，提高了計算效率。

1.2.2 CE-ASNBD

ASNBD方法在處理信號上有很多優(yōu)勢，但其也存在一些缺點，在面對一些低頻率的噪聲中，分解的效果比較差。由此本文受EEMD優(yōu)化后的CEEMD方法啟發(fā)，通過互補集合(Complementary Ensemble,CE)方法來優(yōu)化ASNBD，使其精度更精確。算法的迭代過程如下：

1)在原始信號中加入N組固定強度成對白噪聲ntN，符號相反，得到一系列信號：

R1(t)=r1,1(t)，r1,2(t)，r1,2(t)，r2,2(t),……r1,N(t)，r2,N(t)r1,1(t)=f(t)+nt1r1,2(t)=f(t)-nt1……r1,N(t)=f(t)+ntNr1,N(t)=f(t)-ntN

2)解決如下優(yōu)化問題P2：

(7)

定義INBCi(t)滿足式(4)所示過完備字典庫Dic的條件，即INBCi(t)為局部窄帶信號。D是微分算子，用于規(guī)范INBCi(t)。將上述一些列信號代入其中得到2N個INBC分量，兩兩為一組，分別是INBC1,INBC2……INBC2N-1,INBC2N，對獲得的INBC分量進行整體平均，得

(8)

其中INBC1,1是一階INBC分量，N表示加入不同噪聲的次數(shù)。接著，計算減去第一階INBC分量的殘差，令

Ri+1=Ri(t)-INBCi(t)

(9)

4)若‖Ri+1‖2<ε則迭代終止，否則返回到第二步。若f(t)為N×1向量，則上述優(yōu)化問題P2需要同時對N個參數(shù)進行優(yōu)化，計算量極為巨大。為減小計算量，論文使用基于濾波器參數(shù)優(yōu)化的迭代過程解決優(yōu)化問題P2。

2)建立濾波器Χ(k|λ)如下

(10)

式中：λ=[ω,ωc,ωb]

3)解決如下非線性無約束優(yōu)化問題P3:

(11)

4)得到最優(yōu)參數(shù)λ0后，令

(12)

CE-ASNBD方法同CEEMD方法一樣，通過利用加入的白噪聲均值為零的特性，以正負成對的形式向原始信號中加入輔助白噪聲，并使用多次循環(huán)計算平均使信號中的噪聲相互抵消。CE-ASNBD相比于原有的ASNBD方法，即使是在面對一些低頻率的噪聲中，對信號的精確度上也有準確的提升。CE-ASNBD方法的流程圖如圖1所示。

2 仿真對比分析

為了說明CE-ASNBD方法的優(yōu)越性，使用ASNBD和EMD與其進行對比分析。首先，不失一般性質(zhì)的，對以下仿真信號x(t)進行考慮：

(13)

式中：混合信號y(t)由信號x1(t)，信號x2(t)和白噪聲n(t)組成，混合信號中噪聲為間歇噪聲，有兩段白噪聲信號，每段信號噪聲時間為0.1 s，信噪比為12 dB。混合信號y(t)及其分量的時域波形如圖2所示。圖2中(a)為y(t)時域波形，(b)為x1(t)時域波形，圖(c)為

圖1 CE-ASNBD方法流程圖示Fig.1 Flow chart of CE-ASNBD method

圖2 混合信號y(t)及其分量的時域波形Fig.2 Time domain waveform of mixed signal y(t) and its components

x2(t)時域波形，圖(d)為間歇白噪聲信號n(t)時域波形。分別采用CE-ASNBD方法、CEEMD方法和ASNBD方法對y(t)進行分解。三種方法的分解結(jié)果分別如圖3、圖4和圖5所示。

從圖3、圖4和圖5可以看出CE-ASNBD分解出來的分量幅值較為平穩(wěn)，和真實值較為接近，殘余量和噪聲信號的誤差較小。ASNBD方法得到的INBC1由于噪聲信號的干擾還是產(chǎn)生了模態(tài)混淆，CEEMD方法得到的分量出現(xiàn)了嚴重模態(tài)混淆，未能得到準確有效分量。

圖3 原始信號y(t)的CE-ASNBD分解結(jié)果Fig.3 CE-ASNBD decomposition results of original signal y(t)

圖4 原始信號y(t)的CEEMD分解結(jié)果Fig.4 CEMD decomposition results of original signal y(t)

圖5 原始信號y(t)的ASNBD分解結(jié)果Fig.5 ASNBD decomposition results of original signal y(t)

為更深入地比較分解結(jié)果，論文考慮相關性系數(shù)r、能量誤差E及正交性指標IOjk[15]。三種方法得到的分量與實際分量的上述參數(shù)如表1所示，其中ri和Ei為分解得到的第i個實際分量與其相對應的分解得到的分量之間的比較結(jié)果，IOjk為分解得到的第i個分量和第j個分量之間的正交性指標。分析結(jié)果表明CE-ASNBD方法擁有更好的相關性和正交性，且能量誤差更小。上述分析結(jié)果表明，CE-ASNBD方法對含噪聲干擾引起的模態(tài)混淆有很好的抑制作用，分解得到的信號更準確，且由于擁有更好的正交性，因此能量泄露更小。CE-ASNBD方法、ASNBD方法和CEEMD方法的計算時間分別為30 s、16 s及10 s。CE-ASNBD方法的計算時長要高于其它兩種方法，所以它的效率有待提高。

表1 CE-ASNBD、CEEMD和ASNBD的參數(shù)對比Tab.1 Parametric comparison ofCE-ASNBD, CEEMD and ASNBD

3 實驗信號分析

為驗證論文提出方法的實用性，論文將CE-ASNBD方法應用于軸承故障診斷。包絡分析法能將與故障有關的信號從高頻調(diào)制信號中解調(diào)出來，從而避免了與其它低頻干擾信號的混淆，從而廣泛地應用于軸承的特征提取[16-18]。論文對振動信號進行包絡分析以提取軸承的故障特征。數(shù)據(jù)分為三類：可診斷(Y)、潛在可診斷的(P)和不可診斷的(N)。通過成功診斷被歸類為不可診斷的數(shù)據(jù)集，可以證明算法的有效性[19]。

實驗數(shù)據(jù)來源于美國西儲大學軸承資料，試驗臺如圖6所示，(實驗平臺包括一個2馬力的電機(左側(cè))(1 hp=746 W)，一個轉(zhuǎn)矩傳感器(中間)，一個功率計(右側(cè))和電子控制設備(沒有顯示)，被測試軸承支承電機軸。使用電火花加工技術在軸承上布置了單點故障，故障直徑分別為0.018、0.036、0.053、0.071、0.102 cm。其中前三種故障直徑的軸承使用的是SKF軸承，后兩種故障直徑的軸承使用的是與之等效的NTN軸承。這個數(shù)據(jù)集的相關參數(shù)如表2所示。

圖6 滾動軸承試驗臺圖Fig.6 Rolling bearing test bench

表2 軸承數(shù)據(jù)信息表Tab.2 Bearing data information table

通過計算，可以獲得數(shù)據(jù)集的故障頻率。FE202的BPFO(球通頻率，外圈)是105.87 Hz。BSF(球自旋頻率)和FTF(保持架損傷頻率)分別為59.69 Hz和11.42 Hz，分別用這三種方法分析記錄FE202。原始信號和包絡譜如圖7和圖8所示，從圖可以很容易地推斷出，只有四倍的旋轉(zhuǎn)頻率是清楚的，也就是4fr諧波清晰可見，而其他的頻率信息是丟失的。原始信號被CE-ASNBD、ASNBD和CEEMD分解，分解結(jié)果和前四個組件的包絡光譜在圖7～圖14中顯示。fr諧波采用密集的點畫線表示，而BPFO諧波采用稀疏點畫線表示。

圖7 截取的FE202信號圖Fig.7 Intercepted FE202 Signal Diagram

圖8 截取的FE202信號包絡圖Fig.8 Envelope diagram of intercepted FE202 signal

在CE-ASNBD分解后，在圖9和圖10中可以看到，諧波(fr，2fr，3fr，4fr)和BPFO諧波(BPFO，2BPFO，4BPFO)清晰可見，滾動軸承的外圈故障可以很容易且直觀地感知。

而在ASNBD分解過程下，如圖11和圖12，雖然也能較為清晰的看見諧波(fr，2fr，3fr，4fr)和BPFO諧波(BPFO，2BPFO，3BPFO)，但在其后幾個BPFO諧波頻率中出現(xiàn)了缺失，以精確度來說，是不如改進后的CE-ASNBD方法。

圖10 FE202信號的CE-ASNBD的分解結(jié)果包絡圖Fig.10 Envelope diagram of the decomposition result of CE-ASNBD of FE202 signal

圖11 FE202信號的ASNBD的分解結(jié)果Fig.11 ASNBD decomposition of FE202 signal

在采用CEEMD方法進行分解，如圖13和圖14，產(chǎn)生了大量的IMF分量。除了需要進行確認和辨別以外，包絡圖顯示的旋轉(zhuǎn)頻率fr(fr，2fr，3fr，4fr)比較清晰，但BPFO諧波分量近乎完全缺失。

圖12 FE202信號的ASNBD的分解結(jié)果包絡圖Fig.12 Envelope diagram of decomposition result of ASNBD of FE202 signal

圖13 FE202信號的CEEMD的分解結(jié)果Fig.13 Decomposition result of CEEMD of FE202 signal

圖14 FE202信號的CEEMD的分解結(jié)果包絡圖Fig.14 Envelope diagram of the decomposition result of CEEMD of FE202 signal

上述分析結(jié)果表明，CE-ASNBD的性能優(yōu)于ASNBD和CEEMD，用于非平穩(wěn)信號。

4 結(jié) 論

ASNBD方法是一種新的自適應分解方法，可以用于非平穩(wěn)、非線性信號的處理。為得到信號的最稀疏解，論文使用CE方法解決ASNBD方法中的優(yōu)化問題。相對CEEMD方法和原本的ASNBD方法，CE-ASNBD方法具有以下優(yōu)點：

(1)相對CEEMD方法，由于無須處理極值點，ASNBD方法分解出來的分量能有效抑制模態(tài)混淆，具有更好的準確性。

(2)相對原有的ASNBD方法，CE-ASNBD能更準確地得到全局優(yōu)化值且具有較好的魯棒性，因此CE-ASNBD方法分解得到的分量更接近真實值，且具有更好的抗噪聲性能。

(3)仿真分析結(jié)果表明，相對ASNBD方法和CEEMD方法，CE-ASNBD方法分解出來的分量有更好的準確性和正交性，能更好的抑制模態(tài)混淆。

論文最后將CE-ASNBD方法應用于滾動軸承故障振動信號的故障診斷，對其做包絡譜分析后提取了信號的故障特征頻率成分，有效實現(xiàn)了滾動軸承的故障診斷，證明了該方法用于機械故障診斷的有效性。

值得一提的是，ASNBD方法剛被提出，在算法的多分辨率特性、計算效率、收斂性、優(yōu)化算法的改進和奇異局部算子的選取等方面還需要進一步的研究。隨著這些問題的深入研究，ASNBD方法擁有廣闊的應用前景。