二維三軸編織復合材料預壓單胞模型建立及其彈性規律數值預測

張芳芳， 段永川

(1. 燕山大學 機械工程學院， 河北 秦皇島 066004；2. 燕山大學 先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室， 河北 秦皇島 066004)

二維三軸編織復合材料由3個方向的纖維束在平面內相互編織而成，這樣在不同角度下可兼顧材料的橫向力學行為，有效克服傳統層合板力學性能差的缺點。由于編織復合材料中纖維束相互交織，因此，編織纖維束的截面形狀在不同位置會發生畸變，構造實際的纖維束幾何模型已十分困難，如果再對纖維束幾何模型離散網格構造有限元模型更加困難。

目前多數學者都是基于一定的模型簡化來構造編織復合材料的幾何和有限元網格模型。Tsai等[1]采用彈簧單元建立了簡化的單胞網格模型，并對彈性力學參數進行了預測。Miravete等[2]通過沿編織方向增加4條邊界線，建立了簡化的“米”字形單胞模型，雖降低了構造模型的難度，但也降低了復合材料彈性、損傷等力學性能的預測精度。Benzley等[3]通過模擬對比得出，六面體單元具有更多的自由度和抗畸變能力，在力學性能預測時能得到更高的精度[4-5]。Kim等[6]采用一種體素單元法建立了復合材料模型，該方法在表征復合材料兩相材料的交界面時精度降低，但這種方法隨著分辨率的提高，可消除這個問題。Gao等[7]假設紗線橫截面為矩形，建立出二維三軸編織預制件的動態幾何模型。嚴雪等[8]基于傳統有限元建模方法建立了考慮纖維束彎曲扭轉和空間交錯特征的有限元模型，并預測了其彈性性能規律。Kier等[9]假設纖維束橫截面為橢圓形，編織纖維束路徑為正弦曲線，利用CAD軟件生動再現了二維三軸編織復合材料的幾何模型。張芳芳等[10-11]基于直線的纖維束路徑建立了三維編織復合材料模型，并對其進行了損傷分析，然而當纖維束路徑波動較大時預測誤差會逐漸增大。

目前學者大都利用簡化模型對材料的微觀形態進行表征，但復合材料纖維束在固化時會受到一定的擠壓變形，空間形態改變會對材料的彈性及損傷等性能造成影響。基于此，本文提出基于力學原理考慮空間擠壓的模型快速建立方法。利用變形后纖維束空間分布及形態再形成體素單胞模型，基于該模型預測了二維三軸編織復合材料的彈性規律。

1 細觀幾何模型

1.1 編織結構

二維三軸編織復合材料的編織結構如圖1所示。復合材料由3個方向的纖維束組成，其中與y軸平行的為直纖維束，另外2個方向為編織纖維束，他們沿著軸向纖維束相互交織，在z軸方向上看，軸向纖維束位于2個編織纖維束中間，在厚度方向上軸向纖維束位于材料中間。圖中白色框為一個周期單元，稱為一個單胞，其寬度為W，高度為L，編織角指軸向纖維束與編織向纖維束所夾的銳角(見圖1 中α)，單胞內編織向纖維束長Lb。在圖中所示坐標系下，y軸與復合材料軸向纖維束的軸線平行，x軸與復合材料軸向纖維束的軸向垂直。z軸與復合材料的厚度方向平行。

圖1 二維三軸編織復合材料的結構示意圖

將纖維束中心線定義為空間函數，選用三次樣條曲線描述纖維束路徑，其中第i段樣條曲線pi(t)的參數方程一般形式為

pi(t)=Ai+Bit+Cit2+Dit3

(1)

式中：t為該樣條曲線的參數， 0≤t≤1,i=0,1,…,n-2，Ai、Bi、Ci、Di分別為第i段樣條曲線的冪次項系數向量。該方程是在單胞內定義，在單胞兩端面上要滿足幾何連續性，在樣條曲線的起始點處應滿足的連續條件為

p″0(0)=p″n-2(1)

(2)

為驗證樣條曲線建立的正確性，在空間取了5個坐標點，每個坐標點的坐標分別為(0,0,0)，(0.5,0.7,0.4)，(1,0.6,0.0)，(1.5,0.7,-0.4)和(2,1.2,0)。在邊界約束條件下生成的周期樣條曲線如圖2所示。可以看出，樣條線光滑連續，可以滿足實際要求。

圖2 周期性空間樣條曲線

參考文獻[12]中的纖維束橫截面拓撲形狀，將纖維束的橫截面假設為透鏡形，如圖3所示。透鏡形纖維束橫截面由半徑分別為r1和r2的2個圓相交而得，2個圓各自偏離圖中坐標系橫軸的距離是o1和o2。參數r1、r2、o1和o2可根據透鏡的寬度w、高度h和偏移距離d計算得到。

圖3 透鏡形纖維束截面

透鏡形橫截面的參數方程為：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

1.2 編織結構參數

根據圖1所示幾何關系，單胞內編織向纖維長Lb為

(8)

式中：L為單胞高度，mm；α為編織角，(°)。

定義軸向纖維束橫截面面積為Aa及圓弧段所對圓心角為αa，其計算公式分別為：

(9)

(10)

式中：ra為圓弧段的半徑，mm；w、h分別為透鏡形截面的寬度和高度，mm。同理，可計算出編織向纖維束橫截面面積Ab和圓心角αb。從圖1可以看出，在一個矩形單胞模型中含有2根軸向纖維束和4根編織向纖維束，則編織向纖維束和軸向纖維束的體積分別為：

Va=2AaLa

(11)

Vb=4AbLb

(12)

(13)

式中：Va、Vb分別為單胞中軸線纖維束和編織向纖維束的體積，mm3；Aa、Ab分別為軸線纖維束和編織向纖維束的橫截面面積，mm2；La、Lb分別為單胞中軸線纖維束和編織向纖維束的長度，mm；Vf為單胞中的纖維體積含量，%；L、W、H分別為單胞模型的長度、寬度和高度，mm；φ為紗線填充因子，本文認為編織向纖維束與軸向纖維束的紗線填充因子相同。

2 體素法建立有限元模型

2.1 單元材料主方向計算

纖維束在空間的走向可以用其中心線在空間的走向進行描述，由于纖維束路徑的波動導致纖維束各個部位有著不同的材料主方向。應用有限元方法對實體模型進行離散后，為準確地描述各單元的材料主方向，需要計算單元形心處的材料主方向，如圖4所示。令第i段曲線中某單元的形心點為P，過該點做垂直于纖維束中心線的平面，計算出該平面與纖維束中心線的交點，交點處的參數坐標為tp，該交點沿纖維束走向的切線向量P′i(tp)計算方程為：

P′i(tp)·(P-Pi(tp))=0

(14)

圖4 纖維方向求解

依據右手法則，確定單元材料坐標系與總體坐標系的變換方向和角度。本文采用ANSYS軟件對有限元模型進行建立和計算，在該軟件內采用LOCAL命令為每個單元建立局部坐標系，該坐標系采用2個相對轉動角度θxy和θxz定義，如圖5所示。假設一個單元的纖維方向為L(x,y,z)，L(x,y,z)與圖中坐標系的z軸構成一個平面，其法線方向為D(x,y,z)。

圖5 材料主方向轉角定義

圖5中x、y和z軸與全局笛卡爾坐標系的三軸平行，其中θ為y軸與向量D所形成的銳角，β為向量L與z軸所成銳角，2個相對轉角θxy和θxz的計算公式為：

(15)

(16)

2.2 擠壓力學模型的建立

為考慮纖維束間的擠壓扭曲影響，首先建立二維三軸編織預制件模型如圖6(a)所示。因預制件未與基質黏接固化，無法構造固化后預制件的周期單胞，對預制件進行預壓時，采用材料的真實邊界進行約束，一個中心單胞利用其領域內8個單胞進行自然邊界的約束。在預制件有限元模型中纖維上下表面分別加入接觸單元，在上下2層分別利用平面進行一定的預壓縮，將預制件模型厚度壓縮至目標單胞模型厚度，從而得到纖維束呈擠壓接觸狀態下的幾何形態。開發周期單胞提取程序，該程序基于FORTRAN語言編寫，具有與ANSYS軟件兼容的進出接口，首先將變形后的單元節點信息導出，給出切取單胞的邊界盒坐標，在邊界面上程序可自動細分單元，完成周期單胞單元提取。為便于后期處理，提取前對不同方位的纖維束進行集合劃分，單元切割程序可保持單元的集合和單元坐標系的繼承能力，多個單元可能由一個父單元切割再分而來，這幾個單元就要保持與父單元同樣的集合和單元坐標系方位。切割出的增強相單胞網格模型，如圖6(b)所示。切割出的增強相單胞模型單元坐標系方位顯示如圖6(c)所示。

圖6 二維三軸編織預制件網格提取

2.3 體素網格模型的建立

應用上述切割算法已經獲取了變形后纖維束單胞模型，本文利用體素模型法建立變形后的單胞模型，在該模型區域內填充正方體素單元。根據已提取的預制件單胞單元來對所填充的正方體素單元進行集合創建與單元坐標系的繼承。利用預制件單胞單元在每根纖維束表面生成表面單元，然后判斷體素單元與表面單元的相對位置，當體素單元的形心坐標在表面單元的包絡區域內時，將該體素單元納入該集合內，其他纖維束計算方法相似，最后生成的體素模型如圖7所示。

圖7 采用體素法建立的復合材料單胞網格模型

該模型采用全正方六面體網格建立，邊界非常容易滿足邊界節點一一對應的關系。

3 周期性邊界條件

復合材料內部細觀結構周期重復，在外載荷作用下其應力應變場同樣滿足周期重復性，為降低計算量，選取一個代表單元進行力學行為預測，在單胞2個對應的邊界面建立周期對應的耦合約束方程[13]，約束表達式如下:

(i,j,k=x,y,z)

(17)

圖8 編織角和纖維體積含量對二維三軸編織復合材料橫向和軸向模量的影響

4 結果分析

以文獻[12]中所提供的實驗數據進行對比驗證，模型中所采用的材料組分力學性能參數如表1所示。為驗證體素模型的收斂性，不同編織角和纖維體積含量下分別建立了3組不同網格密度的體素模型，進行軸向模量的預測，并與實驗結果進行對比，結果如表2所示。隨著體素模型網格密度的增加，預測出的軸向彈性模量變化不大，認為得到收斂解。二維三軸編織復合材料的力學行為主要受編織角和纖維體積含量影響，在不同編織角和不同纖維體積含量下材料宏觀力學行為的變化規律如圖8所示。

表1 組分材料性能參數

從圖8(a)可見，隨著纖維體積含量的升高，二維三軸編織復合材料橫向，即坐標系的x軸方向的彈性模量Ex有所升高，在材料內部主要靠纖維束承載，當預壓縮提高纖維含量時材料的彈性性能有所升高。

表2 數值預測結果與實驗對比

從圖8(b)可以看出，隨著纖維體積含量的升高，材料軸向即坐標系的y軸方向的彈性模量Ey有所升高，其升高原因與橫向模量相似。隨著編織角的增大，材料的橫向彈性模量Ex不斷升高，當編織角升高時，軸向纖維束以外的兩軸方向不斷變化，編織角越大，纖維束軸向的性能向單胞橫向貢獻越多。而材料的軸向彈性模量Ey與橫向彈性模量Ex變化規律正好相反。

從圖8(c)可發現，當提高纖維體積含量時，材料的縱向彈性性能Ez有所升高，但對材料模量的提高程度較橫向和軸向小，隨著編織角的增加，3個軸的纖維束交織重疊區域減小，這樣造成了在厚度方向上彈性模量逐漸降低，但是降低的幅度很小。

從圖8(d)可以看出，當預壓縮提高纖維含量時,材料的剪切模量Gxy逐漸增大，隨著編織角的增加，剪切模量Gxy逐漸增大而后逐漸減小，當編織角在40°左右時，剪切模量Gxy達到最大值。從圖8(e)可以看出，剪切模量Gxz隨著纖維體積含量和編織角的增加均呈現出逐漸增大的趨勢。從圖8(f)可以看出，剪切模量Gyz對纖維體積含量和編織角變化的敏感程度均較低。

從圖8(g)可以看出，隨著編織角的增加，泊松比μxy呈線性增加，然而改變纖維體積含量對泊松比μxy影響甚微。從圖8(h)發現：當提高纖維體積含量時,泊松比μxz逐漸減小，編織角較小時，編織角變化對泊松比影響顯著；隨著編織角的增加，泊松比近似呈線性降低，當編織角大于40°后，編織角變化對泊松比的影響程度逐漸降低。從圖8(i)可以看出：泊松比μyz隨著編織角的增加呈現先減小后增大的變化趨勢，并且在編織角較小時，纖維體積含量的變化對泊松比影響很大；當編織角小于40°，預壓縮提高纖維含量時,泊松比μyz有較大幅度的增加；當編織角大于40°時，纖維體積含量變化對泊松比的影響程度逐漸降低；當編織角達到50°時，纖維體積含量變化對泊松比的影響程度幾乎為零。

5 結 論

1) 采用空間周期三次樣條曲線表述二維三軸編織復合材料中纖維束路徑周期波動現象，并求解出任意一點處的單元材料主方向。

2) 考慮擠壓變形建立了預制件有限元模型，預壓縮后利用單元切割程序生成了預制件單胞模型。基于預制件單胞網格，利用體素法生成了考慮纖維束間相互擠壓影響的二維三軸編織復合材料的參數化單胞模型。

3) 基于參數化的體素單胞模型，預測了二維三軸編織復合材料的彈性性能規律。該方法為二維三軸編織復合材料工藝參數優化編織復合材料設計的軟件化程序化奠定了較好的基礎。