數學建模概念的發展研究

季瑛男

摘 要：數學建模在高中數學教學中占很大地位，是數學與生活聯系的紐帶。本文簡單闡述數學建模的國內外發展，并進一步討論與模型思想的區別，從教學方面具體談如何更好地開展數學建模活動。

關鍵詞：數學建模; 發展歷程; 模型思想; 教學方法

中圖分類號：G642? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? 文章編號：1006-3315（2019）8-171-002

一、“數學建模”的發展歷程

1.國外數學建模的發展

在20世紀70年代，劍橋大學的教授們將他的項目分解為學生可以解決的問題，使其成為最原始的數學建模模型。英國為學生打開了數學建模的大門，這導致許多國家紛紛效仿。1975年美國幼兒園至中學12年級學校數學教學概況和分析的以下報告建議將數學建模納入中學課程。在五年后的“行動法”中，更加堅定地指出“解決問題”是一個教學目標，同時，數學建模也越來越接近中學。

1983年，國際數學建模與應用數學大會首次舉行。1985年，美國數學與應用聯合會舉辦了美國大學生數學建模競賽。本次比賽是后續。與此同時，1988年，第六屆國際數學教育大會在匈牙利布達佩斯舉行“技術在數學教學中的作用”為主題的討論。這是一場全球比賽，每個比賽都有中學生參加。在1989年的“未來數學教育報告”將數學建模納入中學，被列為最迫切需要的數學教育改革項目。

日本的數學學者們認為，數學教育的出發點和落腳點都應當放在解決實際問題上，提高解決問題的能力包含在“中小學課程改革教學大綱”中，由教育部公布并于年內實施的“中小學數學學習指南”將數學與現實生活聯系起來，將數學作為數學的重要目標，并通過綜合課程學習來反映數學應用。在日本數學教育協會期刊上，經常出版中學數學建模（特別是初中）的教學計劃和教學實例;日本的“精學基礎”課程，其內容是：（1）數學和人類活動;（2）用數學理論觀察有關社會生活;（3）我們周圍的統計數據主要是培養學生的數學興趣，并運用數學來分析自然意識和社會現象[1]。

在英國國家統一課程中，中小學的數學課程分為五個主要領域：使用和應用數學，數字，代數，形狀和空間，數據處理。第一個“使用和應用數學”包含數學建模的內容。

自1990年以來，荷蘭每年舉辦一次數學競賽，相當于中國高中生的參與。入學流程允許學生查看教科書，并使用計算機和計數器;初步測試問題是一個實用且相關的問題。

加拿大哥倫比亞大學教育部對中學數學的教育目的進行了明確的規定，要培養學生掌握物理學和其他相關領域中的數學知識，掌握其中的理論原理，并能夠運用所學習的數學理論知識解決生活中的實際問題，將生活中的問題轉化為數學模型，并運用數學思維來解決問題。

總的來說，目前國外許多國家對于高中數學建模有著很多的研究成果，不僅涵蓋理論研究領域，在解決實踐問題領域都有很多的研究，這些研究很大程度上為我國的相關研究提供了參考和基礎。

2.國內數學建模發展

數學建模的優勢逐漸被更多人所見，并且能夠提高學生的數學應用能力，解決生活中的實際問題。

在方正集團的贊助下，“北京數學會”分別于1993年和1994年兩次舉辦“方正杯中學生數學應用知識競賽”。1993年12月25日在北京師范大學舉行的座談會上，大家參加了數學應用問題知識競賽。大多數成員肯定了中學生數學知識應用競賽對所有中學生的重要性。通過這種方式，學生可以發展創造性的邏輯思維，這是一種生動和新鮮的方式。1997年3月“北京高中數學知識應用大賽”經北京市教育委員會正式批準，1997年12月和1998年3月，第一屆應用數學知識競賽首次成功舉辦。這項活動得到了許多省市的響應和參與，并得到了許多高等院校的大力支持。

近十年來，在數學教學中，隨著越來越多的研究開始涉及數學建模領域，許多專家學者從不同角度認識到數學建模對學生學習數學的重要性。在“數學課程標準2011”中，“模型思想”是十大核心概念之一。

2014年，教育部發布了“關于全面深化課程改革，落實立德樹人基本任務的意見”，提出了中國學生的核心素養。2018年，教育部頒布的“高中數學課程標準（2017年版）”將數學的核心素養定義為：“學生應具備的數學思維素質和關鍵能力，以滿足終身發展和社會發展的需要”，并澄清數學抽象，邏輯推理，數學建模，數學運算，直覺想象和數據分析作為數學的核心素養[3]，到目前為止，數學建模已經正式加入到高中生的學習生活中。

我分析了近年來國內關于高中數學建模的論文，基本上來自于建模的比較研究，從五個方面討論了教學研究，建模評估，數學建模能力培養和數學模型研究。

關于數學建模的內涵，姜啟源在他的書中指出：現實世界中的一個物體，基于物體的固有規律，出于特定目的，做一個假設，然后應用適當的數學工具來獲得一個稱為數學模型的數學結構。建立數學模型的過程稱為數學建模。李明振教授認為：數學建模是簡化實際問題的過程，最終歸結為數學問題并解決它。他強調在解決這個問題的過程中，首先，要求解決實際問題的錯綜復雜的關系，并且還使用數學中的獨特符號，公式，圖表和數據來表達這種關系。然后使用信息技術處理復雜數據，最終得到可由人們分析，控制或控制的定量結果。

關于數學建模的教學研究，國內專家有不同的看法。李波在《中外數學建模競賽比較分析》中介紹了1.調查報告式;2.論文研讀式;3.“導學探索，自主解決”式等幾種比較行之有效的模式。黃芳芳認為：1.從實際中引入概念和定理，引起學生們學習數學的興趣，在學生們潛意識中滲透數學建模的思維意識。2.通過教材來講授傳統的基本數學模型，逐步使學生了解并掌握常用的基礎類數學模型，比如函數模型、系列模型、幾何模型，基本建立起學生們建模的知識結構。3.針對教材中的練習題開展實踐訓練，引導學生們形成自主調查、搜集數據、整理數據，建立模型，進而體驗將實際問題抽象為數學問題的整個過程。提高學生使用計算機解決實際問題的能力[1]。

數學建模素養作為人類認識數學的一個提高，它不僅是數學考核過程中的一個重要素養，也是數學與生活聯系的紐帶。

二、數學建模與模型思想的異同

在“義務教育數學課程標準（2011年版）”中，明確提出了模型思想。2014年，“數學建模”被正式添加到高中數學的核心素養中[4]。“模型思想”與“數學建模”之間的聯系是建立相互補充的數學模型，但存在許多差異。

我認為“數學建模”是“模型思想”的上位概念。小學生和初中生對數學還是停留在具體問題和事物的表面上，沒有抽象思維，所以在義務教育階段中提出“模型思想”這一觀點，該模型的想法是讓學生體驗和理解數學與外部世界之間的聯系。對于高中生經過了義務教育，通過在義務教育階段這種模型思想的鍛煉，逐步形成了一種“數學思維”，不僅要注意事物的發展，要讓學生更好地理解學習數學的意義，以提高學生的數學學習興趣，提高學生思維發展水平，就此提出了“數學建模”這個素養，并且開展“數學建模”活動的前提就是學生已經接受并理解了“數學模型”這種思想。

三、建議

史寧忠教授曾經提到我們數學學習的最終目標是有三個課程：會用數學的眼光觀察世界;會用數學的思維思考世界;會用數學的語言表達世界[5]。那么，這里的數學語言是指數學核心素養中的“數學建模”。從“模型思想”轉化為“數學建模”這一過程中，我們能夠得出這樣一個結論：國家越來越重視教育質量。使數學貼近生活，其中的一個橋梁就是利用數學建模。

當教師開展數學建模活動時，作為教師自己，首先應當明確“數學建模”的意義所在，要理解“數學建模”的初衷和目的。其次，教師應該了解學生數學不好的原因。許多學生學不好數學的原因是他們不知道數學在生活中到底有哪些用處，因此對數學學習沒有興趣，導致所謂的“數學差異”情況的產生。那么，教師在進行數學教育時，就要對每一個數學問題進行反思，找到它對應的生活原型，然后在通過生活中的這個問題，讓學生體會數學。

例如在人教B版必修五第二章中，我們要學習“數列”這個問題，其實在我們生活中就有很廣泛的應用，教師首先讓大家收集資料，去探討生活中的哪些問題可以用到等差數列。

然后，老師給出了一個相關的研究課題，例如從“教育儲蓄”開始。

（1）根據教育儲蓄的方法，每月節省50元3年（或6年）和3年（或在6年內同時提取本金和利息需要多少錢？

（2）按照同一方法，如果每月有一元，則存放3年（或6年），屆滿3年。

（或6年）撤回本金和利息需要多少錢？

（3）按上述方法，每月更換存款50元，連續3年保存，每3年一次。提取本金和利息超過“零存款和取款”的同等水平需要多少錢？

（4）如果你想在3年內提取教育儲蓄和本金1萬元，你每月應該節省多少錢？

（5）如果你想在3年內提取一次教育儲蓄本金和利息，共計一百萬元，你每月應該存多少錢？

（6）同上，原計劃是每月節省100元，為期6年，但到第四年結束時，學生需要提前提取所有本金和利息，因此一次支付本金和利息需要多少錢？

（7）如上所述，原計劃是每月存一美元，然后保存6年，但是到b（0[b]）年，由于特殊情況，學生需要提前取消所有本金和利息？

對于這樣一系列的問題的提出，學生肯定會好奇與自己息息相關的“教育儲蓄”怎么會與“等差數列”有關系呢？接下來，老師就要對班級成員進行小組分組，讓每位成員都去收集與“教育儲蓄”有關的資料，然后坐在一起交流自己的資料。準備工作做完以后，小組成員就應該著手去做以上練習題。

我們可以發現（1）（3）（4）（6）問題中存取方式不同，但是所有這些都可以直接解決等差數列的前n個項，并且可以求解公式。因為不同的模型促進了不同變量的模型。通過最后得出的結果，我們可以輕松地算出不同的存取方式，我們的支取本金和利率都是多少。

這其實是一個很簡單的讓數學與生活聯系起來的例題。通過建立這種模式，學生可以找到與學生相關的主題，學生將更多地接受自己的相關問題，這將加深學生對建模學習的興趣。主動學習數學，使學生能夠在積極接受和參與這種教學模式的氛圍中進行構建，這不僅滿足了學生想要解決相關問題的實際解決方案成果，它還提高了學生的數學思維，識字能力和實際解決問題的能力。因此，這告訴我們教師在進行數學建模教學活動時必須緊緊抓住“數學建模是生活與數學之間的紐帶”這一思想，認真研讀高中教材的每一章節，對每一章甚至細化到每一節中，發現與生活有關的數學知識，經過深思熟慮向學生提出，并且對學生進行分組，讓班級全體成員都參與到數學的討論中，對團體凝聚力的培養也有很大幫助.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部全日制義務教育數學課程標準，北京：北京師范大學出版社，2011：180

[2]姜啟元數學模型（第三版）北京：高等教育出版社，2004：78

[3]史寧中.高中數學課程標準修訂中的關鍵問題[J]數學教育學報，2018，27（1）：8-10

[4]史寧中.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M]北京：北京師范大學出版社，2011：106

[5]白建國.高中數學建模教學研究[D]內蒙古：內蒙古師范大學，2007：10