基于結構抗震復合控制的哈密頓H∞控制器設計

(天津職業技術師范大學 電子工程學院,天津 300222)

常見的結構抗震控制方案有被動控制、半主動控制、主動控制和復合控制4種。Kelly[1]于1987年提出了由隔震裝置和力矩器構成的復合控制方案，該方案的控制效果優于被動控制，且力矩器的作用力僅作用于建筑物的第1層，比主動控制方案更為簡單，因此該方案一經提出就成為了研究熱點。常用的建筑物模型有單自由度(SDOF)和多自由度(MDOF)兩種。文獻[2]針對建筑物采用單自由度(SDOF)模型的系統，設計了一種基于反步法的自適應控制器，該控制器不需要模型參數的準確值。文獻[3]采用和文獻[2]相同的模型，設計了自適應反步控制器，該控制器利用更新率來估計地震擾動的上限，其控制效果優于文獻[2]，且需要的先驗信息少于文獻[2]。文獻[4]分別在絕對坐標系下和相對坐標系下針對建筑物采用SDOF模型的系統設計自適應反步控制器，并通過數字仿真比較了兩種控制器的效果。文獻[5]設計了基于自適應反步法的數字控制器，并給出了誤差限。文獻[6]設計了自適應預測控制器，該控制器采用了delta modulator，避免了預測控制器的過零問題，其控制效果優于開環控制。文獻[7]提出了一種自適應動態面控制器設計方法，并利用Lyapunov方法證明了穩定性。

上述自適應反步控制器通常很難用于建筑物采用MDOF模型的系統，其原因是MDOF模型的狀態矩陣不滿足三角矩陣特性。文獻[8]針對建筑物采用多自由度(MDOF)模型的系統，設計了兩種控制器，一種是基于Lyapunov方法設計的全狀態反饋控制器，另外一種是滑模變結構控制器，該控制器只需要有限個傳感器的輸出信號作為反饋信號。文獻[9]針對建筑物采用MDOF模型的系統，設計了兩種不同的BangBang控制器，第1種控制器只需要用第1層的速度反饋信號，第2種控制器只需要加速度信號。文獻[10]針對傳感器存在延遲的情況，設計了相應的控制器。在上述控制器的設計過程中都沒有考慮執行器的輸出飽和問題，而執行器的輸出飽和是制約復合控制方案在工程實際中應用的重要原因之一[11]。有鑒于此，本文針對隔震裝置采用Bouc-Wen模型、建筑物采用MDOF模型、執行器具有飽和特性的系統設計了哈密爾頓H∞控制器。

1 帶隔震裝置的建筑物哈密頓模型

哈密頓系統是一類保守系統，能夠描述包含力學和電磁系統在內的大部分保守物理系統的動態行為[12]，基于哈密頓模型的控制器廣泛應用于電力系統[13]、食物鏈[14]、機器人控制[15]等領域。

帶隔震裝置的建筑物模型如圖1所示[16]，諸如力矩器等執行器產生的外力作用于第1層。設mi是第i層質量，ci和ki是第i層與第i-1層之間的阻尼和剛度，qi是第i層位移，pi是第i層動量，定義如下：

(1)

圖1 帶隔震裝置的建筑物模型

就頂層n而言，其運動方程如下：

(2)

中間層m，m=2,…,n-1的運動方程如下：

(3)

位于隔震裝置之上的第1層運動方程如下：

(4)

其中，

Φ(q1,t)=αk1(q1-xg)+(1-α)k1Dz(t)

(5)

(6)

是用于描述隔震裝置的Bouc-Wen模型，該模型可以較好地描述大多數隔震裝置的滯回特性。其中，z(t)為更新變量，sat(F)為諸如力矩器等執行器產生的、帶有飽和特性的外力作用，其滿足如下關系：

(7)

把式(5)和式(6)代入式(4)得

(8)

定義質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣如下：

定義哈密頓函數如下：

(9)

則H(q,p)對q和p的偏導數是

(10)

由于地震波是能量有限的，所以

是有界的。

定義

sat(u)=sign(u)min(1,|u|)

則式(9)可以改寫為如下帶執行器飽和的端口受限哈密頓模型(Port-Controlled Hamiltonian，PCH)：

(11)

式中,J=-JT，R=RT≥0

2 哈密頓H∞輸出飽和控制器的設計

哈密頓H∞輸出飽和控制器設計時需解決以下兩個問題。

問題1：確定δ的最大值δmax，使得對任意的w∈Wδ，零初態的狀態變量都是有界的。

問題2：在確定δmax后確定干擾抑制水平常數γ*，使得對任意的γ>γ*都能使系統具有L2干擾抑制特性。

文獻[17]在定義控制率

(12)

基礎上，針對式(11)的哈密頓系統提出了以下定理來解決上述問題1和問題2。

定理1：如果系統(11)存在一個N使得以下優化問題：

infNβ

s.t.

定理2：選擇δ>δmax，如果系統(9)是ZEG，且存在一個N使得以下優化問題有解:

infNβ

s.t.

有解γ*和N*，則對任意的γ>γ*，系統(11)具有L2干擾抑制特性。

以業界常用三層樓模型[18]為例設計哈密頓H∞輸出飽和控制器如下。

該三層樓模型參數為

3 仿真實驗

采用El-Centro地震對上述控制器進行數值仿真。El-Centro地震的加速度、速度和位移如圖1所示，1～3層各層的加速度、速度和位移分別如圖2～圖4所示，圖中細實線表示被動控制下的響應，粗實線表示使用基于哈密頓模型的H∞控制器后的響應。從仿真結果可以看出，該控制器可以有效減少地震對建筑物的影響。

圖2為第一層El-Centro地震的加速度、速度和位移仿真結果，圖中細實線表示被動控制下的響應，粗實線表示使用基于哈密頓模型的H∞控制器后的響應。從仿真計算得出，第1層最大加速度減少52.1%，最大速度減少89.9%，最大位移減少77.3%。

圖3為第二層El-Centro地震的加速度、速度和位移仿真結果，圖中細實線表示被動控制下的響應，粗實線表示使用基于哈密頓模型的H∞控制器后的響應。從仿真計算得出，第2層最大加速度減少96.6%，最大速度減少89.8%，最大位移減少77.1%。

圖4為第3層El-Centro地震的加速度、速度和位移仿真結果，圖中細實線表示被動控制下的響應，粗實線表示使用基于哈密頓模型的H∞控制器后的響應。從仿真計算得出，第3層最大加速度減少65.6%，最大速度減少89.9%，最大位移減少77.2%。

圖1 El-Centro地震波形

圖2 第1層的響應

圖3 第2層的響應

圖4 第3層的響應

4 結束語

結構抗震復合控制方案中的力矩器等執行器都具有飽和特性，針對該執行器飽和問題設計了哈密爾頓H∞控制器。首先分析了多自由度建筑物和用Bouc-Wen模型描述的隔震裝置的動力學特性，將Bouc-Wen模型的滯回特性引起的擾動和地震擾動之和視為有界擾動，據此得到了哈密爾頓模型，然后確定能使系統穩定的最大橢球體保證從原點出發的系統軌跡都在此橢球內，并使用LMI方法計算了干擾抑制水平下限。仿真實驗表明，該控制器可以有效地減少地震對建筑物的影響，加速度、速度、位移等響應都明顯小于被動控制方案。