基于U模型的Buck變換器控制器設計

(江南大學 物聯網工程學院，江蘇 無錫 214122)

隨著能源需求的急劇增加，功率變換器作為一類典型的開關非線性系統，已在軍事設備、工業自動化設備等領域得到廣泛應用。因此，針對功率變換器的動力學特性分析、建模以及控制器設計研究，具有一定的理論價值和實際工程意義。常規的功率變換器控制器設計方法有兩種：一種方法是線性化使用線性控制策略，如PID控制、極點配置控制[1]等，但變換器的參數變化會給線性控制器的設計帶來極大困難；另一種方法是使用非線性控制策略,例如滑模控制[2]、模糊PID控制[3]、神經網絡[4]、單周控制[5]以及模糊滑模控制[6]等，但非線性控制策略需要一個良好反映被控對象特性的模型，且計算復雜導致難以設計控制器。

本文提出一種新的功率變換器控制方法。通過使用NARMAX(Nonlinear Autoregressive Moving Average with Exogenous Inputs)模型(因為它是一種廣泛使用的離散模型形式，并且具有一種簡單的形式)完成功率變換器的辨識，但是這種模型不容易設計控制器，而U模型是一類光滑非線性對象時變參數的多項式函數，U模型在線性控制系統的設計方法與非線性動態系統之間搭建了一座橋梁，可以方便地用線性控制系統設計方法對非線性控制系統進行設計[7-8]。U模型覆蓋了幾乎所有現存的光滑非線性離散時間模型作為子集且易于設計控制器。所以，將NARMAX模型轉化為U模型并基于U模型進行控制器設計，可在不損失非線性模型的任何特性下，簡化了控制器的計算復雜性。目前U模型已得到充分的應用，文獻[9]將U模型應用于電勵磁同步電機并基于U模型設計了自抗擾控制器，文獻[10]將U模型應用于直流電機并基于U模型設計了內模控制器。

本文通過辨識技術得到了Buck變換器的ARX(Autoregressive Exogenous)模型和NARMAX模型，并對這兩個模型進行了有效性驗證；然后，引入了U模型，將NARMAX模型轉換為U模型并基于U模型設計了Buck變換器的極點配置控制器；最后，通過Simulink仿真分析與傳統的PID控制器比較，驗證了所提出方法的有效性。

1 模型辨識及有效性驗證

首先利用ARX模型進行建模，然后通過交叉相關函數尋找NARMAX模型的缺失項。系統模型為

y(k)+a1y(k-1)+…+anay(k-na)=b1u(k-1)+…+
bnbu(k-nb)+ζ(k)

(1)

式中，u(k)和y(k)分別為系統輸入和系統輸出的采樣觀測值。首先選擇ARX模型進行建模是因為ARX模型可以使用最小二乘(LS)算法直接估計。使p=1+max(na+nb)，其中na、nb分別為系統輸出和系統輸入的最大滯后，則式(1)可以寫成如下形式:

y=[y(p),y(p+1),…,y(N)]T
θ=[a1,a2,…,ana,b1,b2,…,bnb]T
ζ(k)=[ζ(p),ζ(p+1),…,ζ(N)]T
x(k)=[-y(k-1),…,-y(k-na),u(k-1),…,u(k-nb)]

(2)

(3)

對于N個輸入輸出集，ARX模型可以用矩陣形式表示為

y=Xθ+ζ

(4)

進行矩陣變換后，最小二乘估計由式(5)給出:

(5)

如果殘差序列ζ(k)是零均值白噪聲，則式(5)中的估計是無偏的，那么預測模型與實際系統的接近程度可以用極小化誤差平方和準則函數衡量。

(6)

在本仿真中，設置na和nb為2，使用最小二乘法計算參數，ζ(k)為殘余誤差。

y(k)=1.9843y(k-1)-0.9862y(k-2)+

0.0361u(k-1)+0.0734u(k-2)+ζ(k)

(7)

使用1000組數據對模型進行仿真后(900組數據用作辨識，100組數據用作有效性驗證)，結果如圖1所示。

圖1 ARX模型

(8)

(9)

在相關性測試結果中，橫坐標為時間延遲，縱坐標為相關性程度。圖2為式(8)對ARX模型的4個測試。

圖2 ARX模型的相關性測試

從圖2中可以清楚地看到這些測試是不合格的，各相關度均超出置信區間。這意味著殘余項可能包含u(k-i)、u2(k-i)、u(k-i)y(k-i)。通過以上的分析，選擇使用NARMAX模型，其定義為：

y(k)=F[y(k-1),…,y(k-ny),u(k-d),u(k-d-1),
…,u(k-d-nu),e(k-1),…e(k-ne)]+ξ(k)

(10)

式中，u(k)，y(k)和e(k)分別為系統輸入、系統輸出和噪聲；ny，nu，ne分別為系統輸出、系統輸入以及噪聲的最大滯后；d為時間延遲通常設置為1；F[·]為某個非線性函數。該模型實質上是對過去輸入、過去輸出以及噪聲項的擴展。經過仔細分析，可以看出相比于ARX模型，NARMAX模型與非線性項相結合，極大地提高了識別復雜模型的能力。

使用的NARMAX模型結構如下：

y(k)=a1y(k-1)+a2y(k-2)+b1u(k-1)+

b2u(k-2)+cu(k-3)+du2(k-1)+

fu(k-1)y(k-1)

(11)

對比表明，該模型是基于ARX模型加上cu(k-3)+du2(k-1)+fu(k-1)y(k-2)。容易看到，盡管項cu(k-3)、du2(k-1)和fu(k-1)y(k-2)是非線性的，但是相較于整個NARMAX模型，如果把它看作一個整體項，則從參數辨識的角度來看，模型是線性的。所以，仍然能使用最小二乘法解決，其原理與上述相同。

仍然使用900組數據進行辨識，使用100組數據進行模型的有效性驗證，結果如圖3所示。

圖3 NARMAX模型

y(k)=1.9721y(k-1)-0.9746y(k-2)+

0.0186u(k-1)+0.0747u(k-2)+

0.0373u(k-3)-0.0186u2(k-1)+

0.0238u(k-1)y(k-2)

(12)

從圖3可以看出，選擇的NARMAX模型輸出能有效地跟蹤真實輸出。該模型中，J=0.0532，與ARX模型相同，NARMAX模型相關性分析如圖4所示。

顯然從圖4中可以看出，NARMAX模型的相關性測試是合格的，即NARMAX模型可以很好地看作一個黑箱機理模型，并表達輸出和輸入的關系。因此在第2節中，將使用該模型轉換為U模型來觀察其控制效果。

圖4 NARMAX模型的相關性測試

2 基于U模型的Buck變換器控制器設計

面向控制的U模型可以通過擴展非線性函數f(·)關于u(k-1)的多項式獲得，通過將非線性函數f(·)展開成關于u(k-1)的多項式，可以得到如下所示的面向控制的U模型。

(13)

式中，M為模型輸入u(k-1)的階；參數αj(k-1)為過去輸入u(k-1)，…，u(k-n)和過去輸出y(k-1)，…，y(k-n)以及過去誤差e(k-1)，…，e(k-n)的函數。通過安排，面向控制的模型可以看作輸入u(k-1)和相關的時變參數αj(k-1)的純冪級數。方程(13)的表達式定義為U模型。換句話說，這是一個偽輸入多項式閉合非線性模型。

根據上文對U模型的描述，Buck變換器的NARMAX模型可以變換成如下U模型：

(14)

基于U模型的極點配置設計使用了負反饋原理，控制器的輸入信號由期望輸出與實際輸出過去時刻相關值比較得到，以此將極點配置到指定的位置。控制器輸出由求解數學方程得到，并且通過對帶有u(k-1)的多項式的模型結構進行有效性分析就完成了控制系統的設計，這大大簡化了控制器的設計過程。當得到面向控制的模型時，使用一個標準參考形成以下公式來設計極點配置控制器，考慮方程(13)的U模型，極點配置控制器可以描述為

RU(k)=Tw(k)-Sy(k)

(15)

式中，w(k)為參考的輸出信號；R、S、T為前移算子q的多項式，如下所示：

(16)

式中，q為前向算子；n、m、l分別為多項式R、T、S的階。設計的控制器必須滿足以下因果關系條件：l

方程的控制律表示一個傳遞函數為-S/R的負反饋和一個傳遞函數為T/R的前饋。所以其含有2個自由度。閉環控制系統的結構圖如圖5所示。實際輸出y(k)可以與參考輸出w(k)相聯系：

(17)

圖5 廣義閉環非線性控制系統

多項式Ac為由設計者提前指定的閉環特征方程。為了消除作用在控制輸出上的穩態偏移，在控制輸出時使穩態誤差等于零，指定多項式T為：

T=Ac(1)

(18)

極點配置設置的核心是指定期望的閉環特征多項式Ac。只要Ac確定，多項式T就確定，然后通過丟圖番方程求解多項式R和S，3個多項式確定后，信號U(k)就可以通過方程(15)獲得。

以U(k)作為根求解器，可以使用文獻[9]中的牛頓拉夫遜算法找到控制器輸出u(k-1)。遞推計算描述如下：

(19)

式中，下標h為迭代指數，即第h+1次迭代從第h次迭代獲得，h≥ 0。

本文中閉環特征方程指定為

Ac=q2-1.5q+0.609

(20)

得到閉環極點為0.75±0.216i，對應的無阻尼自然頻率為0.96 rad/s，阻尼比為0.78。為了獲得零穩態誤差，指定

T=Ac(1)=1-1.5+0.609=0.109

(21)

對于多項式R和S，指定為

R=q2+r1q+r2,S=s0q+s1

(22)

將式(20)和式(22)代入丟圖番方程R+S=Ac，多項式R和S中的系數可以表示為

r2+s1=0.609,r1+s0=-1.5

(23)

為了保證序列U(k)的計算收斂性，令r1=-0.9,r2=0.009。這樣的安排對應U(k)的特征方程為(q-0.89)(q-0.01)=0。則S的系數可以通過多項式方程(23)中的丟圖番方程確定為：s0=-0.6，s1=0.6。

將多項式R和S的系數帶入到控制器方程(15)中，得到

U(k+1)=0.9U(k)-0.009U(k-1)+0.109w(k-1)+

0.6y(k)-0.6y(k-1)

(24)

則控制器輸出u(k)可以用方程(19)求解得到。

3 仿真分析

首先在Simulink中搭建Buck變換器的模型，電路拓撲如圖6所示。主電路由MOSFET管S、濾波電感L、濾波電容C、續流二極管D和負載電阻R構成。

圖6 Buck變換器電路拓撲

首先，設計實驗并進行數據預處理。選取占空比d=0.3作為系統的穩定工作點，采取零均值化方法進行數據預處理，通過在系統的穩定工作點上疊加零均值的輸入信號M序列進行零均值化。辨識的輸出信號為輸出電壓的變化量(M序列疊加穩定工作點下的輸出電壓減去穩定工作點下的輸出電壓)，辨識的輸入信號為輸入電壓的變化量即M序列。值得注意的是，在整個工作過程中開關頻率1/T=50 kHz保證了Buck變換器工作在連續工作模式下，即濾波電感上的電流不會為零。

接著，使用最小二乘法建立Buck變換器的ARX模型并進行相關性分析找出NARMAX的缺失項，將NARMAX模型轉換成U模型進行極點配置控制器的設計。

最后，選擇一個周期方波作為參考信號進行仿真，圖7為參考信號為方波的系統反應，圖8為參考信號為方波的控制器輸出與三角波比較后得到的變換器輸入信號。同時，選擇PID控制方法作為對比，PID參數采用臨界比例度法確定，效果如圖7所示。

圖7 方波的系統響應

圖8 參考信號為方波的控制器輸出

根據仿真結果，基于U模型的極點配置控制器在調節時間上優于傳統PID控制法，且在超調量控制上具有顯著優勢。通過仿真實驗可以看出，基于U模型的極點配置控制器控制效果較好，同時可以將線性控制系統設計方法擴展到Buck變換器的控制器設計中。

4 結論

通過一系列的測試和比較，可以看到對于狀態空間平均模型，運用傳統的PID控制方案在反應速度和反應精度方面效果不足。通過數據建模得到NARMAX模型，從而得到U模型并基于U模型設計控制器是一個可行的方法。

此外，在許多研究中，將先進控制技術與多種控制方法相結合，以獲得更滿意的控制效果。例如，U模型已經和預測控制、自適應內模控制等理論研究領域的控制方法相結合。利用U模型可以直接利用線性控制系統設計方法設計非線性控制系統控制器是一個可行的方法。所以，隨著功率變換器控制技術的發展，基于模型辨識的控制方法，例如U模型控制，有更多的探索空間。