小波-EMD分解改進電離層總電子短期預報ARIMA模型

陳雨田,劉立龍,黎峻宇,田祥雨

(桂林理工大學 a.測繪地理信息學院；b.廣西空間信息與測繪重點實驗室,廣西 桂林 541006)

0 引 言

電離層是地球大氣受太陽輻射和宇宙射線影響而形成的一個電離區(qū)域。 在衛(wèi)星通訊、 導航和定位等應用領域, 由于電磁波穿過電離層時發(fā)生折射、 散射、 吸收等現(xiàn)象[1], 產生延遲造成誤差, 而誤差大小與傳播路徑上的總電子含量(total electron content,TEC)成正比[2]。 一些學者通過研究地震多發(fā)區(qū)上空的電離層電子濃度, 發(fā)現(xiàn)震前震區(qū)上空的電離層會產生異常擾動, 其TEC較平時發(fā)生明顯增加或減少[3-4]。 因此，對電離層總電子含量的高精度預報既是導航定位的迫切需要, 又是對地震等自然災難分析研究的重要手段。

目前, 常用的電離層總電子預報模型主要有經典電離層模型[5-6](Bent模型和Klobuchar模型等)和線性、 非線性預測模型[7-8](時間序列和神經網絡等)。 經典電離層模型在本領域經過較長時間的發(fā)展和改進具有易于操作、 計算簡單等優(yōu)點, 但其固有的缺陷并沒有得到很好的彌補, 模型預報精度較低, 一般情況下預報值精度僅約50%～60%, 且受地域影響較大[9-10]。 自回歸積分滑動平均模型(autoregressive integrated moving average model,ARIMA)是時間序列中預測精度較高、 實際應用廣泛的一種模型, 能夠對非平穩(wěn)、 非線性的時間序列進行有效預報[11-12], 但電離層TEC的時空分布差異較大, 單一ARIMA模型的預報精度較低。 國內一些學者通過利用小波分解或經驗模態(tài)分解(empirical mode decomposition, EMD)對電離層的TEC變化進行探索，并改進了ARIMA預報模型[13-14], 獲得了一些有益的結論, 然而改進模型的精度仍有提升的空間。 本文在過往研究的基礎上進一步探索, 將小波分解與EMD方法相結合, 共同納入ARIMA模型,構建WEARIMA預報模型, 并采用IGS提供的GIM數(shù)據(jù)驗證改進模型的預報精度。

1 基本原理與模型改進

1.1 小波分析基本原理

小波分析是一種對信號的局部化分析,通過小波分析可以將信號序列分解為一個低頻序列和多個高頻序列。低頻序列表現(xiàn)為高頻率分辨率和低時間分辨率,高頻序列表現(xiàn)為低頻率分辨率和高時間分辨率。在進行小波分析時,定義平方可積函數(shù)ψ(t)為基本小波函數(shù),滿足條件:

(1)

將基本小波函數(shù)ψ(t)伸縮和平移后即可得到一個小波序列:

(2)

式中:a和b分別為伸縮因子和平移因子,a、b∈R，a≠0， 則任意函數(shù)x(t)的連續(xù)小波變換及其逆變換可表示為

(3)

(4)

1.2 EMD方法簡介

經驗模態(tài)分解(EMD)是一種能夠有效處理非線性、非平穩(wěn)信號的新型信號處理方法。根據(jù)信號的特征,通過EMD分解可以將復雜信號序列x(t)從高頻到低頻進行多尺度分解, 從而得到頻率由高到低排列的若干個IMF分量和殘余函數(shù)R(n), 其實質是將信號序列由高頻至低頻進行平穩(wěn)化處理[15],即

(5)

EMD分解要求分解得到的每個IMF分量滿足兩個條件[16]:第一,在整個信號序列中極值點與零點數(shù)目相同或最多相差一個;第二,由極大值和極小值構成的上下包絡關于時間軸局部對稱。由此可以看出,對于幅度與頻率相對較為對稱的信號,EMD分解會取得較好的效果,而對時域波形發(fā)生畸變的信號分解效果則較差。

1.3 小波-EMD改進ARIMA模型(WEARIMA)

自回歸積分滑動平均模型(ARIMA)是對自回歸滑動平均模型(ARMA)的擴展。ARMA(p,q)模型的一般形式為

xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φpxt-p+εt+θ1εt-1+θ2εt-2+…+θqεt-q，

(6)

式中：εt為白噪聲序列, 并且與t時刻前的原始序列x(k)(k

ARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)考慮了季節(jié)因素影響模型[11], 具有建模簡單、 操作方便等特點,在對具有季節(jié)性的非平穩(wěn)時間序列的預報中具有廣泛的應用。 模型中的p、d、q分別為自回歸階數(shù)、 差分階數(shù)和移動平均數(shù); 而參數(shù)P為季節(jié)性自回歸階數(shù),D為常規(guī)差分階數(shù),Q為季節(jié)性移動平均數(shù)。

WEARIMA模型的建模流程如圖1所示,建模步驟如下:

① 提取IGS中心發(fā)布的30天電離層TEC格網數(shù)據(jù),將前25天作為樣本序列,利用db4正交小波對樣本序列進行一級分解(用以提高序列的平穩(wěn)性及相對于時間軸的對稱性),對分解出的參數(shù)選取合適的閾值進行分析,通過逆小波變換對分解結果重構,得到高頻序列d1和低頻序列a1;

② 將小波分解得到的低頻序列a1進行EMD分解,得到若干個IMF分量和單調殘余函數(shù)R(n)(EMD分解后的趨勢余量);

③ 將高頻序列d1和EMD分解后的各個分量分別代入ARIMA模型中,根據(jù)不同分量表現(xiàn)出的自相關與偏相關特性,確定各模型的參數(shù);

④ 對各分量的預報值進行求和,得到最終的預報結果。

圖1 小波-EMD改進ARIMA模型(WEARIMA)建模流程Fig.1 Modeling process of improved ARIMA model based on wavelet-EMD

2 實驗分析

2.1 實驗數(shù)據(jù)準備

由EMD分解后IMF分量的特性可知，當原始信號序列的幅度與頻率較為對稱時，分解效果較好,利用ARIMA模型預報的精度也較高。太陽輻射對大氣分子的作用是形成電離層的主要因素[17],在太陽活動的活躍期往往會伴隨磁暴等現(xiàn)象,造成電離層總電子含量(TEC)異常擾動,不利于EMD分解后的預報,且使得預報結果具有偶然性,故選取太陽活動較為平靜的2009年年積日122～151共30天的GIM電離層格網數(shù)據(jù)進行實驗,利用前25天的TEC觀測值作為樣本序列，預報后5天的TEC值。

圖2給出了預報期內表征地磁活動強度的Kp指數(shù)與表征全球環(huán)電流強度的Dst指數(shù)。Kp指數(shù)可以反映3 h的地磁活動強度,一般認為，Kp值小于5時不會發(fā)生不同等級的地磁風暴；每日Kp指數(shù)之和小于30表示地磁活動平靜。而Dst指數(shù)的時間分辨率為1 h,當Dst指數(shù)不低于-30 nT時不會發(fā)生任何等級的磁暴。預報期的地磁指數(shù)均滿足上述條件,故可排除磁暴與地磁活動對預報結果的影響。

2.1 實驗與精度分析

圖3是對年積日122～146的數(shù)據(jù)在格網點(45°N, 110°E)處的小波-EMD分解, 采用db4正交小波對原始序列進行一級分解, 得到低頻序列a1與高頻序列d1, 高頻序列d1的極值介于-2～2 TECu, 使用ARIMA模型直接進行預報。 低頻序列a1極值介于5～15 TECu, 利用EMD方法對其進一步分解得到5個IMF分量和1個趨勢余量R(6), 將得到的各分量分別使用ARIMA模型對后5天的TEC進行預報,結果如圖4所示。除IMF1與IMF2以外,其余各分量的預報值與真實值之間相差很小,其中IMF5與趨勢余量R(6)和真實值基本一致。

實驗中為了方便表示,將僅用小波分解改進的ARIMA模型記為WARIMA模型,小波-EMD改進的ARIMA模型記為WEARIMA模型,通過ARIMA、WARIMA和WEARIMA分別對上述格網點(45°N, 110°E)進行5天預報,得到各模型預報結果與IGS觀測值的對比情況,如圖5所示。可以看出,僅采用ARIMA模型得到的預報結果在每日TEC的極值附近與觀測值有較大偏差,而WARIMA與WEARIMA相對于原模型能夠有效削弱極值點附近預報值的誤差,在預報性能上有較大的提升,且WEARIMA模型的改進效果更好。對預報值殘差的絕對值進行統(tǒng)計分析,得到表1。

從后5天的總體預報來看，ARIMA模型在改進前僅有60%左右的殘差絕對值小于1 TECu,通過兩種方法改進后誤差絕對值小于1 TECu的可增大約10%;改進后誤差絕對值大于3 TECu的較原模型明顯減少,且WEARIMA模型的預報值在3天中沒有出現(xiàn)大于3 TECu的誤差。

圖2 預報期Dst與Kp指數(shù)(年積日122～151)Fig.2 Dst and Kp index during forecast period(DOY 122-151)

圖3 樣本序列小波-EMD分解圖(年積日122～146)Fig.3 Wavelet-EMD decomposition of sample sequence(DOY 122-146)

僅通過單個格網點數(shù)據(jù)與預報值殘差的絕對值比例并不能很好地體現(xiàn)出改進模型的優(yōu)勢,為進一步說明小波-EMD改進模型在電離層TEC預報上較原模型與WARIMA模型有更高的預報精度,本文將IGS中心發(fā)布的觀測值視為真實值,采用平均相對精度(P)和均方根誤差(RMSE)進一步評定3種模型預報結果的優(yōu)劣。P、RMSE指標為

(7)

(8)

式中:IPRE和IIGS分別為模型的預報值與IGS觀測值;m和n分別為當天觀測的起始歷元和結束歷元。

由于電離層TEC值受太陽直射影響較大,其周日變化幅度隨地理經度的變化較小，而隨緯度的升高呈現(xiàn)明顯的降低趨勢,表2給出了北半球低緯(15°N, 110°E)、 中緯(45°N, 110°E)和高緯(75°N, 110°E)3個緯度地區(qū)ARIMA、WARIMA和WEARIMA模型預報值的日平均相對精度。從緯度變化上看,3種模型預報精度隨緯度的升高而增加。 在同一格網點上, 除低緯度WEARIMA模型的相對精度低于WARIMA以外,其余緯度的平均相對精度均表現(xiàn)為WEARIMA模型高于WARIMA模型,高于ARIMA模型。各模型5 d預報值均方根誤差的計算結果見表3,均方根誤差隨緯度的升高而減小,在同一格網點上WEARIMA模型預報值的均方根誤差要明顯低于WARIMA和ARIMA模型,具有最為可靠的預報性能。

圖4 分解后各分量的5 d預報值(點線)與觀測值(實線)對比Fig.4 Comparison between the 5 d prediction value and the observed value of each component obtained after decomposition

圖5 各模型預報結果對比Fig.5 Comparison of prediction results of each model

圖6為中國及周邊地區(qū)上空TEC預報值的均方根誤差(RMSE)分布情況。 從空間上看,隨緯度的降低，RMSE呈現(xiàn)明顯的增大趨勢, 且在中國西南部地區(qū)達到最大值, 即表現(xiàn)為“駝峰”; 從時間上分析, 除第一天的預報結果在中國南部地區(qū)有較大誤差, 其余預報值隨時間推移誤差逐漸增大, 在最后一天達到極大值。 通過對比每天的RMSE值以及5天的RMSE平均值, 可以發(fā)現(xiàn)WEARIMA模型在該區(qū)域的預報精度相較于ARIMA模型有明顯提升, 在預報誤差較大的中國西南部地區(qū), WEARIMA模型能夠有效削弱RMSE峰值,提高預報精度。

表1 5 d預報值殘差絕對值(Δ)統(tǒng)計

Table 1 Absolute value of the residuals(Δ)of the predicted values over the next 5 days %

預報時間/dARIMA模型/WARIMA模型/WEARIMA模型Δ<1TECu1TECu≤Δ<2TECu2TECu≤Δ<3TECuΔ≥3TECu163.89/66.67/66.6719.44/13.89/19.448.33/11.11/5.568.33/8.33/8.33275.00/86.11/69.4419.44/8.33/19.440.00/0.00/11.115.56/5.56/0.00358.33/72.22/75.0027.78/13.89/13.895.56/8.33/8.338.33/5.56/2.78461.11/72.22/69.4422.22/13.89/16.6755.56/5.56/13.8911.11/8.33/0.00552.78/66.67/77.7819.44/16.67/16.6711.11/8.33/5.5616.67/8.33/0.00

表2 不同模型5 d預報值相對精度對比

Table 2 Comparison of relative accuracy of predicted values of different models over the next 5 days %

經緯度模 型預報天數(shù)/d12345平均相對精度ARIMA82.9791.0084.9485.8078.46846315°N,110°EWARIMA87.9693.4990.3789.6185.2189.33WEARIMA80.3083.5989.9379.4789.9984.66ARIMA91.3992.1590.7789.3689.2690.5945°N,110°EWARIMA88.8492.3391.8793.0094.0292.01WEARIMA95.0394.9193.3195.1195.4094.75ARIMA95.0394.1391.3393.5295.2193.8475°N,110°EWARIMA95.5594.8692.1393.0995.1994.16WEARIMA95.5793.8493.3094.6996.3194.74

表3 不同模型5 d預報值均方根誤差(RMSE)

圖6 RMSE空間分布情況對比Fig.6 Comparison of RMSE spatial distribution

3 結 論

采用小波與EMD分解相結合的方法改進ARIMA預報模型,根據(jù)IGS提供的GIM電離層格網數(shù)據(jù),分析改進模型在中國及周邊地區(qū)的預報精度,并與單一小波分解改進的模型及原模型進行對比分析,得到如下結論:

(1)對小波分解后的低頻序列進行EMD分解可得到若干個IMF分量與一個趨勢余量,對其分別預報得到的預報結果表現(xiàn)為隨頻率降低與真值的擬合度升高,并且較單一小波分解具有一定的提升,實驗表明該方法在提高電離層TEC預報精度上有一定作用。

(2)分析各模型預報值的相對精度與均方根誤差發(fā)現(xiàn),總體而言，3種模型的預報精度隨緯度的升高而增加,改進模型的預報精度較原模型有較大提高,3種模型預報精度表現(xiàn)為WEARIMA模型>WARIMA模型>ARIMA模型。

(3)對中國及周邊地區(qū)上空進行預報并分析區(qū)域均方根誤差分布情況,得到WEARIMA模型能有效削弱中國西南部地區(qū)預報值均方根誤差的峰值,與原模型相比精度有較大的提升。

本文基于小波-EMD分解改進ARIMA模型,為電離層總電子預報提供了新的思路。但是,電離層各項參數(shù)受太陽活動及其他因素的影響較大,如何顧及這些因素進行預報以及如何選取小波基、確定ARIMA模型階數(shù)等問題仍有待進一步研究。