畢達哥拉斯群決策方法及其在綠色供應商選取中的應用

施明華, 肖慶憲

(1.皖西學院 金融與數學學院,安徽 六安 237012; 2.上海理工大學 管理學院,上海 200093; 3.上海系統科學研究院,上海 200093)

0 引言

上世紀60年代，自動控制專家Zadeh定義了模糊集的系統化范式和計算法則，從而打開模糊集在決策分析領域的應用空間，使其成為表征不確定和模糊信息的一種主要工具。在日益復雜的決策環境下，人們對事物的認知結果往往呈現出肯定、否定和猶豫三個方面，而模糊集僅能通過隸屬度刻畫肯定信息。鑒于此，Atanassov對模糊集進行拓展，提出了直覺模糊集(IFS)，用隸屬度、非隸屬度和猶豫度三個度量指標更細膩的度量信息。由于IFS在表征模糊和不確定信息時表現出靈活、高精度等特點，IFS被廣泛的應用于供應鏈管理、電子商務推薦系統、數據挖掘、智慧醫療等諸多領域[1～3]。在IFS基礎上，不確定性和模糊邏輯專家Yager提出一種新的模糊集，即畢達哥拉斯模糊集(PFS)[4]，其理論框架完全不同于直覺模糊集。首先，二者的求補運算不同，IFS基于C(a)=1-a，而PFS基于C(a)=(1-a2)1/2。其次，IFS落腳點是滿意度和非滿意度值，而PFS采用類似極坐標系的方法，即基于滿意度強度值和滿意度方向偏離值來構建。構造方式的差異，使得二者的運算方式完全不同，并且PFS比IFS使用范圍更廣。因為前者限制條件較弱，要求隸屬度和非隸屬度的平方和不超過1，而后者限制條件較強，要求隸屬度和非隸屬度之和不超過1。目前，PFS已經引起諸多學者興趣，并取得一些研究成果[5～7]，但在管理決策領域的研究還處于起步階段，相關理論有待進一步的完善和深入研究。

證據理論是一種非常實用的處理和表達不確定信息的技術手段，最早由Dempster在1967年提出，Shafer進一步給出其嚴格和規范化的定義。因此，證據理論又常被稱為Dempster-Shafer理論，簡稱為D-S理論。證據理論將命題轉化為集合的形式，利用信任度函數和似然度函數刻畫命題的可靠性，并通過證據合成規則進行證據融合，從而進行決策。鑒于此，證據理論被視為一種依據證據做決策的理論，廣泛的用于求解模糊決策問題。姚爽等人將證據理論和層次分析法相結合提出一種求解專家權重未知的模糊多屬性群決策方法[8]。針對具有動態參考點以及混合型屬性值的模糊多屬性決策問題，靳留乾等人提出一種基于前景理論和證據理論的決策方法[9]。Dong Yuanxiang等人將證據理論和模糊軟集相結合，提出一種新的模糊集合，即D-S模糊軟集理論，并研究了D-S模糊軟集環境下的多屬性群決策問題[10]。針對權重未知且屬性值為三角直覺模糊數的多屬性決策問題，Li Xihua等人基于前景理論和證據理論提出一種新的決策方法[11]。但至今未見將證據理論應用于求解畢達哥拉斯模糊環境下的管理決策問題研究。

集結算子作為一種主要的信息融合工具，得到學者的廣泛重視，產生了豐碩的研究成果。從關聯性角度出發，集結算子可大致劃分為兩大類，一類認為集結變量間相互獨立，代表性的有加權平均算子，幾何平均算子，混合平均算子[3]。但在實際決策中，由于經濟社會的復雜性，涉及的變量大都相互關聯。鑒于此，很多學者提出通過利用變量間的交叉運算挖掘其關聯信息，從而設計出另外一類基于交互運算的關聯變量集結算子，代表性的有Heronian平均(HM)算子和Bonferroni平均(BM)算子[1,3]。但這些算子的交互運算是固定的，例如HM和BM算子均采用兩兩運算，當變量個數較多的時，挖掘關聯信息的能力較弱。為此，Qin Jindong等人首次將MSM算子引入模糊信息的集結[12]，其顯著性的優勢是可以根據決策情況自主設定交互運算變量的個數。目前，MSM算子已經被應用于猶豫模糊[13]、直覺不確定模糊語言[14]、單變量中智[15]、不確定模糊語言[16]等環境下的決策問題求解。然而，這些文獻中涉及的加權MSM算子存在一個較大的缺陷，即不滿足退化性和冪等性。為此，本文將對加權MSM算子進行重新設計，提出一種新的可退化并具有冪等性的混合加權MSM算子。

鑒于上述分析，針對屬性值為畢達哥拉斯模糊數且專家權重未知的多屬性群決策問題，本文構建了一種基于證據理論和加權MSM算子的群決策方法。該方法先利用決策矩陣間的距離，獲取專家權重，在一定程度上解決了后期證據融合時的沖突問題。然后，再采用兩種方法串行實施信息融合：第一階段，針對存在關聯關系的屬性變量，用加權MSM算子進行集結，分別獲得專家對各個候選對象的綜合評價；第二階段，針對各專家獨立提供的綜合評價信息，利用證據合成方法進行合成，獲得各個候選對象的置信區間。最后，利用置信區間構建可能度矩陣進行優選決策。

1 證據理論

識別框架指的是某個命題的全部可能結果所組成的有限且完備的集合，通過識別框架的構建可將抽象的命題運算轉化為集合運算。D-S理論的信任度函數、似然度函數和證據組合函數等重要概念均建立在識別框架基礎之上。

定義2[11]設F為D-S識別框架，F={F1,F2,…,Fn}為一組相互獨立的結論所構成的集合，A和B為F子集。則A的信任度(Belief measure, Bel)函數和似然度(Plausibility measure, Pl)函數為

Bel(A)表示證據A一定發生的可信度；Pl(A)則表示證據A可能發生的可信度。顯然，對于F的任意子集A都有Pl(A)≥Bel(A)，故A的支撐度區間可表示為[Bel(A),Pl(A)]，也稱為A的信任區間。為了將多個證據信息進行融合，以便實施優選決策，Dempster提出了如下的正交和法則。

定理1[11]設m1,m2,…,mn是同一識別框架下的Mass函數，所對應的證據分別為A1,A2,…,Ap，則有

m(A)=m1(A1)⊕m2(A2)⊕…mn(An)

2 混合加權畢達哥拉斯MSM算子

2.1 畢達哥拉斯模糊集

定義3[6]設X是一給定論域，則X上的一個畢達哥拉斯模糊集A為A={|x∈X},其中r(x)表示為給予x的承諾強度，d(x)則表示承諾的偏向值，并且r(x)∈[0,1]，d(x)∈[0,1]。

Zhang和Xu進一步提出畢達哥拉斯模糊數概念，即稱二元數組α=P(μα,υα)為畢達哥拉斯模糊數，μα和υα滿足約束條件(μα)2+(υα)2≤1，并給出如下的運算法則和二元關系，從而打開畢達哥拉斯模糊集的應用空間。

定義4[17]設αi=P(μαi,υαi)(i=1,2)，α=P(μα,υα)是三個畢達哥拉斯模糊數，則有：

定義5[17]設α=P(μα,υα)為畢達哥拉斯模糊數，則α的得分函數為sα=(μα)2-(υα)2。對任意的兩個畢達哥拉斯模糊數α1和α2，有如下的排序方案：

·若sα1>sα2，則α1>α2;

·若sα1=sα2，則α1=α2;

·若sα1

2.2 混合加權邁克勞林對稱平均算子

HWMSM(k)(a1,a2,…,an)

目前文獻中常用的通過交互運算挖掘變量關聯性的加權算子為：加權Heronian平均(WHM)算子[3]、加權Bonferroni平均(WBM)算子[3]和加權MSM算子，如表1所示改進后的HWMSM算子性質最為優良，并具有退化性、冪等性、有界性和單調性這些優良性質，下面我們將其推廣到畢達哥拉斯模糊環境中并進行討論。

表1 常用關聯性算子比較

2.3 PFHWMSM算子

PFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn)

NWPFMSM(k)(a1,a2,…,an)

OWPFMSM(k)(a1,a2,…,an)

PFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn)

據此可得

下證，由PFHWMSM算子得到的集結值也是畢達哥拉斯模糊數。顯然有

綜上定理得證。

定理3設αi=P(μαi,υαi)，βi=P(μβi,υβi)(i=1,2,…,n)為畢達哥拉斯模糊數，若μαi≤μβi,υαi≥υβi(i=1,2,…,n)，則PFHWMSMPFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn)≤PFHWMSM(k)(β1,β2,…,βn)。

證明設PFHWMSM(α1,α2,…,αn)=ξ1=P(μξ1,υξ1)，PFHWMSM(k)(β1,β2,…,βn)=ξ2=P(μξ2,υξ2)，則有

即μξ1≤μξ2，類似可得υξ1≥υξ2，因此sξ1=(μ1)2-(υ1)2≤(μ2)2-(υ2)2=sξ2，由定義5可知PFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn)≤PFHWMSM(k)(β1,β2,…,βn)。

定理4設αi=P(μαi,υαi)為一列畢達哥拉斯模糊數，若αi=α=P(μα,υα)(i=1,2,…,n)，則PFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn)=α。

證明PFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn)

證明由定理3和4可得PFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn)≤PFHWMSM(k)(α+,α+,…,α+)≤α+以及α-=PFHWMSM(α-,α-,…,α-)≤PFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn),因此，可得α-≤PFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn)≤α+。

隨著參數k的變化，可得PFHWMSM算子的一些特例。

Case1若k=1,則PFHWMSM退化為畢達哥拉斯模糊混合加權(PFHWA)平均算子:

PFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn)

=PFHWA(α1,α2,…,αn)

即將Liao等人定義的HWA算子[18]推廣至畢達哥拉斯模糊環境。

PFHWMSM(2)(α1,α2,…,αn)

=PFGWHM1,1(α1,α2,…,αn)

即將Liu等人定義的GWHM算子[19]推廣至畢達哥拉斯模糊環境。

Case3若k=n，則PFHWMSM退化為畢達哥拉斯模糊幾何(PFG)平均算子:

PFHWMSM(n)(α1,α2,…,αn)

=PFG(α1,α2,…,αn)

即將經典的幾何平均算子[2]推廣至畢達哥拉斯模糊環境。

3 畢達哥拉斯模糊多屬性群決策方法

i=1,2,…,n;k=1,2,…,l

步驟4針對每個專家關于方案的規范化綜合評價信息，利用證據合成方法進行集結。

Mi(A)=m1i(A1)⊕m2i(A2)⊕…⊕mli(Al)

其中A,A1,A2,…,Al∈{accept，reject，(accept, reject)}。

步驟5給出候選方案Yi關于綜合證據Mi的信任區間Ii，即Ii=[Bel(xi),Pl(xi)]，并依據信任區間給出候選方案間的可能度矩陣P=(pij)n×n，其中pij表示候選方案Yi優于Yj的可能度，計算公式為

步驟6計算可能度矩陣P=(pij)n×n的排序向量{P1,P2,…,Pn}，其中

依據Pi的大小對候選方案進行優選決策，Pi值越大則表示方案越好。

4 實例分析

例1出行便捷、節約能源等優勢使得電動自行車在我國得到極大的推廣和應用，國家統計局公布數據顯示，2016年我國電動自行車累計產量超過3000萬。但電池一直是制約電動自行車發展的主要瓶頸，層次不齊的質量導致電池較高的淘汰率。廢舊電池不妥善處理會溢出含鉛重金屬和酸性物質，從而對環境造成極大危害。因此，為電動自行車制造商尋求綠色電池供應商尤為重要。某品牌電動自行車公司有五個可供選擇的電池貨源，為選擇出最佳綠色供應商，該公司結合自身情況制定了五個評價指標：產品質量(g1)、使用環境友好型的材料與生產技術(g2)、創新能力(g3)、服務水平(g4)、產品價格(g5)，其權重向量為w=(0.2,0.4,0.1,0.1,0.2)，同時公司用權重λ=(0.3,0.25,0.2,0.15,0.1)來體現其對電池貨源突出屬性的偏好。為達到公平合理的決策結果，公司決定聘請三名業內專家Di(i=1,2,3)對五家供應商進行評價，專家所提供的決策矩陣如下：

表2 畢達哥拉斯決策矩陣H(1)

表3 畢達哥拉斯決策矩陣H(2)

表4 畢達哥拉斯決策矩陣H(3)

下面用本文的決策方法，為該公司選出最佳綠色供應商。

步驟2利用評價矩陣間的距離，得出決策專家的模糊測度，進而確定其權重系數，具體計算結果如表5所示。

表5 權重系數求解結果

表6 綜合評價信息

步驟3計算屬性的得分值并進行排序，然后利用PFHWMSM算子對專家Dk關于各個方案Yi的屬性評價信息集結，得到專家Dk關于Yi的綜合評價信息，具體如表6所示。

步驟4將方案的綜合評價信息規范化，并利用證據合成方法合成，得到每個備選方案的綜合證據信息，計算結果如表7所示。

表7 證據合成結果

步驟5由備選方案的綜合證據信息，可知各方案的信任區間分別為I1=[0.076,0.090]，I2=[0.187,0.246]，I1=[0.117,0.161]，I1=[0.098,0.133]，I1=[0.145,0.181]。據此，可得候選方案間的可能度矩陣P=(pij)5×5。

步驟6由可能度矩陣的排序向量{0.075,0.275,0.175,0.135,0.215}，可得候選方案的排序為x2>x5>x3>x4>x1,因此最佳綠色供應商應為x2。

5 方法比較與討論

畢達哥拉斯模糊集的理論研究尚處于起步階段，用于多屬性群決策的方法不多見，這里我們選取文獻[20]的方法和本文方法進行比對。文獻[20]利用專家提供的決策矩陣和理想矩陣間的相似度分配專家相應的權重，再利用畢達哥拉斯加權平均(PFWA)算子進行集成。盡管兩種方法都基于決策矩陣挖掘權重信息，但兩者有一定的區別，文獻[20]以全體決策矩陣的算術平均矩陣作為參照點，從而獲取專家權重，這難免會造成決策信息的丟失或者扭曲，而本文完全基于原始數據直接進行挖掘，更加真實客觀。在決策信息融合的方面二者也有區別，文獻[20]在屬性信息融合和專家信息融合兩個階段均采用PFWA算子，而本文方法則表現的更為細膩，在兩個階段分別利用PFHWMSM算子和證據合成方法進行融合。

表8 文獻[20]計算結果

表8可見，兩種方法給出的排序結果完全一致，均認為x2為最佳商業合作伙伴，這說明了本文方法的可行性。進一步分析可能度排序向量和得分值排序向量，可見文獻[20]明顯放大了候選方案間的差異。這主要基于以下原因：首先，本文所使用的PFHWMSM算子考慮了變量間的聯系，事實上管理決策實際問題研究中所涉及的變量都或多或少存在關聯性，但PFWA算子認為屬性變量間相互獨立；其次，本文利用證據理論來集成專家間的信息更符合人類的思維方式，能比集結算子更有效的處理不確定模糊信息[9,21,22]；最后，文獻[20]的信息集結方法沒有反映出候選方案針對不同的因素有所側重的特點，例如有的電池側重于使用綠色生產材料但價格偏高，有的則側重于電池使用年限但服務水平略遜一些，忽略這些信息以至于產品間的差異被放大。

6 結論

針對屬性值為畢達哥拉斯模糊數并且專家權重未知的多屬性群決策問題，本文提出一種基于證據理論和混合加權畢達哥拉斯MSM算子的群決策方法。新方法以多數人的意見為出發點，挖掘原始數據信息，設計出一種確定專家權重的方法；然后，再采用混合加權MSM算子對候選變量屬性信息進行集成，所采用的新算子一方面比傳統的加權MSM算子性質優良，滿足退化性、冪等性等性質，并且是常見的混合加權平均算子、GWHM算子、幾何平均算子的廣義形式，另一方面比Bonferroni平均等算子在捕獲變量k間的關聯性方面更靈活，通過參變量k的設置自由選取交叉運算變量的個數；最后，將專家的綜合評價信息看成證據，進行D-S證據集結，得到綜合證據信息，并進行優選決策。但該方法也有不足之處，對于屬性權重未知，以及屬性值為區間值的情形沒有加以討論，下一步的研究重點將是討論屬性權重未知、屬性值為區間畢達哥拉斯模糊數的群決策問題。