基于Choquet積分的直覺模糊聯(lián)盟合作博弈的Shapley值

南江霞， 關(guān) 晶， 王盼盼

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣西高校數(shù)據(jù)分析與計算重點實驗室，廣西 桂林 541004 )

0 引言

1974年，Aubin[1]首次提出了模糊聯(lián)盟的概念，即參與人在參加合作時，參加程度可以用[0,1]間中的一個實數(shù)表示。因其更能反映現(xiàn)實問題和更符合人們的心理，使得模糊聯(lián)盟合作博弈的理論及應(yīng)用引起了學(xué)者們的關(guān)注。進而研究者們對模糊聯(lián)盟合作博弈進行了深入的研究[2～8]。但模糊集的單一隸屬度僅能表示參與人“參加”、“不參加”聯(lián)盟兩種程度，而無法表示參與人因環(huán)境和條件的不確定性及信息的不完全性，同時也涉及到經(jīng)濟、政治、心理行為和意識形態(tài)等復(fù)雜因素的影響是否參加聯(lián)盟時存在一定的猶豫程度。為此，Atanassov[9,10]提出的直覺模糊集可以有效地描述合作博弈中參與人的肯定、否定和猶豫三種狀態(tài)信息。因此，直覺模糊集能更好地表示合作博弈中的不確定信息。目前關(guān)于直覺模糊集合作博弈相關(guān)研究的文獻較為匱乏。僅有Mielcová[11]研究了直覺模糊集作為特征函數(shù)的n人可轉(zhuǎn)移效用直覺模糊博弈期望核心。高作峰、郭菊花[12]探討了特征函數(shù)是直覺模糊集的合作博弈的核心、核仁和τ值。 韓婷和李登峰[13]探究了直覺模糊聯(lián)盟合作博弈的Shapley值求解方法，文獻[13]利用區(qū)間Choquet積分得到直覺模糊聯(lián)盟合作博弈的特征函數(shù)為區(qū)間數(shù)，再利用COWA算子將區(qū)間特征函數(shù)集結(jié)為實數(shù)，從而將直覺模糊聯(lián)盟合作博弈Shapley值的計算轉(zhuǎn)化為經(jīng)典合作博弈Shapley值。從邏輯上講，合作博弈的特征函數(shù)為區(qū)間數(shù)，其Shapley值也應(yīng)為區(qū)間數(shù)，然而文獻[13]得到的直覺模糊聯(lián)盟合作博弈的Shapley值是實數(shù)。為此，本文進一步研究直覺模糊聯(lián)盟合作博弈的Shapley值，拓展文獻[14]模糊聯(lián)盟合作博弈的Shapley值的計算方法，我們得到的直覺模糊聯(lián)盟合作博弈的Shapley值為一個區(qū)間數(shù)，并避免了區(qū)間數(shù)的減法，進一步證明了本文提出的直覺模糊聯(lián)盟合作博弈Shapley值滿足經(jīng)典合作博弈Shapley值的公理性。最后通過數(shù)值實例說明本文提出的直覺模糊合作博弈Shapley值的合理性、有效性和優(yōu)越性。

1 預(yù)備知識

1.1 直覺模糊集與直覺模糊聯(lián)盟

Atanassov首次提出直覺模糊集的定義如下：

直覺模糊聯(lián)盟就是參與人集合上的直覺模糊集子集，它描述了參與人對聯(lián)盟的參加程度、不參加程度和猶豫程度。直覺模糊聯(lián)盟是模糊聯(lián)盟的拓展，模糊聯(lián)盟是直覺模糊聯(lián)盟特殊情況。

1.2 區(qū)間Choquet積分

1.3 經(jīng)典合作博弈Shapley值

經(jīng)典合作博弈可以表示為一個序?qū)?N,v>，其中N={1,2,…,n}為參與人集合，P(N)是N的冪集，v為n人合作博弈的特征函數(shù)，即v:P(N)→R，其中R為全體實數(shù)集，v(φ)=0。

定義5在合作博弈中，存在唯一的函數(shù)φi(v):P(N)→R

(1)

滿足

公理2(對稱性)若參與人i,j∈N對任意聯(lián)盟S∈P(N{i,j})，都有v(S∪{i})=v(S∪{j})，則φi(v)=φj(v)。

公理3(可加性)對任意兩個合作博弈和，如果存在一個合作博弈，對任意聯(lián)盟S∈P(N)，總有(v1+v2)(S)=v1(S)+v2(S)，則φi(v1+v2)=φi(v1)+φi(v2)。

公理4(啞元性)若對所有包含參與人i的聯(lián)盟S，都有v(S)=v(S{i})，則φi(v)=0。因此，稱φi(v)為Shapley值。

2 具有區(qū)間Choquet積分的直覺模糊聯(lián)盟合作博弈的特征函數(shù)及性質(zhì)

(2)

其中

可以證明式(2)得出的直覺模糊聯(lián)盟合作博弈的區(qū)間特征函數(shù)滿足經(jīng)典合作博弈特征函數(shù)的一些性質(zhì)。

由性質(zhì)1證明，性質(zhì)2易證。

同理可得

3 具有Choquet積分的直覺模糊聯(lián)盟Shapley值及性質(zhì)

由式(2)可知，具有Choquet積分形式的直覺模糊聯(lián)盟合作博弈的特征函數(shù)為區(qū)間數(shù)，為了避免區(qū)間數(shù)的減法，我們拓展了文獻[14]具有模糊Choquet積分的模糊聯(lián)盟合作博弈的Shapley值的計算方法，給出具有區(qū)間Choquet積分的直覺模糊聯(lián)盟合作博弈的Shapley值定義。

(3)

證明公理1(有效性),由經(jīng)典Shapley值有效性可得

進而有

由經(jīng)典Shapley值可加性及式(2)可得

因此有

由經(jīng)典Shapley值啞元性及式(2)可得

=0

4 數(shù)值實例分析

假設(shè)有甲，乙，丙三個藥商(分別代表1，2，3參與人)如果完全參與到一個種藥的研發(fā)時，聯(lián)盟的收益值如下(單位：萬元)

v({1})=100,v({2})=200,v({3})=200,v({1,2})=600

v({1,3})=600,v({2,3})=800,v({1,2,3})=1200

表1 清晰聯(lián)盟下的收益分配

表2 直覺模糊聯(lián)盟下收益分配

表3 模糊聯(lián)盟合作博弈的收益分配

由表2和表3可得，模糊聯(lián)盟下的收益分配值是直覺模糊聯(lián)盟下收益分配值的左端點值。因此，直覺模糊聯(lián)盟Shapley值是模糊聯(lián)盟Shapley值的推廣。

5 結(jié)論

本文是將模糊聯(lián)盟合作博弈拓展到直覺模糊聯(lián)盟合作博弈，給出了帶有區(qū)間Choquet積分的直覺模糊聯(lián)盟合作博弈的Shapley值的求解公式，并證明其滿足經(jīng)典Shapley值的公理性，即有效性公理、對稱性公理、可加性公理和啞元性公理。本文先求出清晰聯(lián)盟合作博弈的Shapley值，再求出帶有區(qū)間Choquet積分的直覺模糊聯(lián)盟合作博弈Shapley值，其優(yōu)點是避免了先用Choquet積分集結(jié)特征函數(shù)再求Shapley值的過程中遇到區(qū)間數(shù)的減法，進而簡化了計算量。