圓形翅片管換熱器計(jì)算模型與算法收斂性研究

(上海交通大學(xué)制冷與低溫工程研究所 上海 200240)

翅片管換熱器在制冷空調(diào)領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛，常用作制冷設(shè)備中的核心換熱部件，具有傳熱效率高、結(jié)構(gòu)緊湊、價(jià)格低廉等優(yōu)點(diǎn)。傳統(tǒng)翅片管換熱器采用斷面為矩形的結(jié)構(gòu)，而在圓筒式空調(diào)機(jī)組中，為適應(yīng)機(jī)組的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，需要采用特制的斷面為圓形的翅片管換熱器。圓形翅片管換熱器特殊的結(jié)構(gòu)形式使其相比矩形翅片管換熱器具有空氣側(cè)阻力小、能耗低、旁通便利的優(yōu)勢(shì)。

利用數(shù)學(xué)建模的方法，對(duì)換熱器進(jìn)行建模計(jì)算，能極大地?cái)U(kuò)展換熱器開(kāi)發(fā)與研究?jī)?nèi)容：根據(jù)環(huán)境要求設(shè)計(jì)合適結(jié)構(gòu)的產(chǎn)品；指導(dǎo)換熱器結(jié)構(gòu)優(yōu)化的變結(jié)構(gòu)計(jì)算；性能仿真計(jì)算代替部分實(shí)驗(yàn)等。有關(guān)翅片管換熱器的計(jì)算研究已較為深入和成熟。 W. J. Lee等[1-3]通過(guò)求解質(zhì)量、動(dòng)量、能量等守恒控制方程，對(duì)翅片管換熱器進(jìn)行數(shù)值模擬，在此基礎(chǔ)上研究換熱器特性；何明勛等[4-7]采用CFD軟件對(duì)不同結(jié)構(gòu)的翅片管換熱器內(nèi)流場(chǎng)進(jìn)行模擬，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析，研究了換熱的影響因素；亦有部分研究[8-11]基于分布參數(shù)模型或集總參數(shù)模型，以傳熱學(xué)、熱力學(xué)為基礎(chǔ)通過(guò)參數(shù)的迭代求解實(shí)現(xiàn)翅片管換熱器的模型計(jì)算，并研究了翅片管換熱器的變工況與變結(jié)構(gòu)特性；王云龍[12]在傳熱機(jī)理研究的基礎(chǔ)上，采用穩(wěn)態(tài)集中參數(shù)模型，開(kāi)發(fā)了翅片管式蒸發(fā)器的設(shè)計(jì)選型軟件，將數(shù)值算法應(yīng)用于實(shí)際工程中。對(duì)于圓形翅片管換熱器，目前基本沒(méi)有實(shí)驗(yàn)與計(jì)算模型的研究，大大制約了其應(yīng)用推廣。因此，本文以普適的熱力學(xué)、傳熱學(xué)定律及數(shù)值分析為理論基礎(chǔ)，建立了圓形翅片管換熱器的設(shè)計(jì)計(jì)算與性能仿真計(jì)算的分排參數(shù)模型。此外，分排參數(shù)模型迭代較多且涉及節(jié)點(diǎn)參數(shù)傳遞，算法收斂限制條件較多，故對(duì)模型的關(guān)鍵算法問(wèn)題進(jìn)行了研究，通過(guò)增加計(jì)算參數(shù)判斷以及迭代極限值的合理計(jì)算完善了算法，在保證算法收斂與穩(wěn)定的同時(shí)增強(qiáng)算法的通用性。

1 模型概述

1.1 圓形翅片管換熱器

圓形翅片管換熱器的結(jié)構(gòu)如圖1所示，換熱管加工成圓弧形，沿徑向方向由內(nèi)至外排布。空氣側(cè)與水側(cè)的進(jìn)、出口流路布置相反，以獲得更好的傳熱效率。

圖1 圓形翅片管換熱器結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of circular fin-tube heat exchanger

換熱器的計(jì)算包括設(shè)計(jì)計(jì)算與性能仿真計(jì)算：設(shè)計(jì)計(jì)算已知運(yùn)行工況參數(shù)、負(fù)荷與部分結(jié)構(gòu)參數(shù)，計(jì)算求解所需換熱器的管排數(shù)；性能仿真計(jì)算已知空氣、水的進(jìn)口參數(shù)及換熱器結(jié)構(gòu)，計(jì)算求解換熱器的運(yùn)行性能參數(shù)與出口狀態(tài)。換熱器的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)：1)換熱管參數(shù)：管外徑Do，管壁厚δt，內(nèi)圈換熱管圓弧對(duì)應(yīng)直徑D(i)，有效弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)圓心角θe；2)翅片參數(shù)：翅片類(lèi)型，翅片厚度δf，翅片間距sf(中心片距)；3)結(jié)構(gòu)布置：軸向管間距s1，徑向管間距s2，軸向管排數(shù)nv，徑向管排數(shù)np，回路形式(或回路數(shù))。

1.2 模型假設(shè)與物理方程

換熱器運(yùn)行時(shí)大多處于穩(wěn)態(tài)或亞穩(wěn)態(tài)[13-14]，為方便數(shù)學(xué)模型的建立與推導(dǎo)，進(jìn)行如下假設(shè)：

1) 空氣與管內(nèi)水的熱力狀態(tài)在每一排管中遵循集總參數(shù)規(guī)律；

2) 空氣和水流動(dòng)的交叉流(流動(dòng)方向相互垂直)近似按照全逆流方式進(jìn)行處理；

3) 換熱管壁面沿四周均勻吸熱或放熱；

4) 管內(nèi)水的溫度沿徑向方向溫度分布均勻，不考慮管壁和水的軸向?qū)幔?/p>

5) 忽略換熱器的輻射換熱；

6) 空氣在空間上均勻地沿徑向通過(guò)換熱器。

在上述假設(shè)基礎(chǔ)上，模型采用以下的熱力學(xué)和傳熱學(xué)方程式進(jìn)行求解。

空氣側(cè)能量守恒方程：

Qa1(i)=ρ1Va(h1(i)-h2(i))

(1)

式中：ρ1為進(jìn)風(fēng)密度，kg/m3；Va為循環(huán)風(fēng)量，m3/s；h1(i)、h2(i)分別為第i排管的進(jìn)、出風(fēng)焓值，J/kg。

水側(cè)能量守恒方程：

Qw1(i)=Wcpwm(i)(tw2(i)-tw1(i))

(2)

式中：W為水的質(zhì)量流量，kg/s；cpwm(i)為第i排換熱管水的平均比熱容，J/(kg·K)；tw1(i)、tw2(i)分別為第i排換熱管的進(jìn)、出水溫度，℃。

空氣側(cè)傳熱方程式：

(3)

式中：ξ(i)為第i排的析濕系數(shù)；ηs(i)為第i排翅片表面效率；αo(i)為第i排的管外側(cè)(空氣側(cè))傳熱系數(shù)，W/(m2·℃)；Fo(i)為第i排換熱管外表面總傳熱面積，m2；twallout(i)為第i排管束外壁溫度，℃。

水側(cè)傳熱方程式：

Qw2(i)=αi(i)Fi(i)[twallin(i)-(tw1(i)+tw2(i))/2]

(4)

式中：αi(i)為第i排的管內(nèi)側(cè)(水側(cè))傳熱系數(shù)，W/(m2·℃)；Fi(i)為第i排管內(nèi)側(cè)傳熱面積，m2；twallin(i)為第i排管束內(nèi)壁溫，℃。

管壁導(dǎo)熱方程式：

Qc(i)=2πλtLt(i)(twallout(i)-twallin(i))/ln(Do/Di)

(5)

式中：λt為紫銅管導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·℃)；Lt(i)為第i排換熱管總長(zhǎng)，m；Di、Do分別為換熱管內(nèi)、外徑，m。

濕空氣熱濕比方程式(干工況下此方程不成立)：

(6)

式中：d1(i)、d2(i)為第i排換熱管的進(jìn)、出風(fēng)含濕量，kg/kg干空氣；dw(i)為機(jī)器露點(diǎn)溫度對(duì)應(yīng)的飽和含濕量，kg/kg干空氣；hw(i)為機(jī)器露點(diǎn)溫度對(duì)應(yīng)的飽和焓值，J/kg。

計(jì)算求解基于上述熱力學(xué)方程、傳熱學(xué)方程計(jì)算的總能量平衡，如式(7)所示。

Qa1(i)=Qa2(i)=Qw1(i)=Qw2(i)=Qc(i)

(7)

1.3 迭代邏輯與干、濕工況判別

在分析圓形翅片管換熱器的換熱過(guò)程時(shí)，由于供熱工況不涉及濕交換[8]，計(jì)算較簡(jiǎn)單，因此只對(duì)供冷工況的計(jì)算進(jìn)行分析。分排參數(shù)模型的問(wèn)題求解可簡(jiǎn)化成如圖2所示的單排換熱管逆流換熱計(jì)算。已知參數(shù)為各排的進(jìn)風(fēng)狀態(tài)t1(i)與ts1(i)、風(fēng)量Va、出水溫度tw2(i)及水流量W，待求參數(shù)為出風(fēng)狀態(tài)t2(i)與ts2(i)、進(jìn)水溫度tw1(i)與換熱量Q(i)。求解方法為假設(shè)各排進(jìn)水溫度tw1(i)，形成封閉的守恒方程組，二分法迭代得到最終正確的解。

圖2 計(jì)算模型簡(jiǎn)化圖Fig.2 Schematic diagram of calculation model

求解過(guò)程中，對(duì)于矩形斷面翅片管換熱器，濕工況下的空氣側(cè)特性與干工況下的差異很大[15]。因此，模型的其中一個(gè)關(guān)鍵算法問(wèn)題為如何根據(jù)輸入?yún)?shù)判明制冷干、濕工況的類(lèi)別[16]。而對(duì)于圓形翅片管換熱器，因?yàn)椴捎梅峙艆?shù)模型，各排換熱管作為獨(dú)立的換熱單元進(jìn)行換熱，所以每一排換熱管的迭代計(jì)算均需要判斷干、濕工況類(lèi)別。

干、濕工況的類(lèi)別取決于機(jī)器露點(diǎn)溫度是否高于進(jìn)風(fēng)露點(diǎn)溫度，機(jī)器溫度露點(diǎn)溫度由進(jìn)水溫度與換熱器的結(jié)構(gòu)尺寸決定，而模型中各排的進(jìn)水溫度是迭代假設(shè)值(求解量)，因此各排換熱管進(jìn)水溫度迭代上下限的確定是模型關(guān)鍵的算法問(wèn)題，其不僅影響干濕工況類(lèi)型的判別，而且決定著迭代求解能否收斂。

2 收斂條件及條件方程

2.1 收斂條件

圓形翅片管換熱器的分排參數(shù)模型使用二分法進(jìn)行迭代求解。在數(shù)學(xué)上，二分法是絕對(duì)收斂的迭代求解方法，但對(duì)于換熱器的計(jì)算，其反映實(shí)際物理過(guò)程，不合理的參數(shù)仍可能使算法無(wú)法正常運(yùn)行，從而導(dǎo)致算法不收斂。在換熱器的迭代計(jì)算過(guò)程中，需要滿(mǎn)足以下兩個(gè)基本條件。

條件1：空氣側(cè)平均溫度>換熱管外壁溫度，如式(8)；此條件保證了制冷工況下傳熱的方向性。

tm(i)=(t1(i)+t2(i))/2>twallout(i)

(8)

條件2：出風(fēng)溫度>對(duì)應(yīng)出風(fēng)焓值對(duì)應(yīng)的等焓線(xiàn)與飽和線(xiàn)φ=100%的交點(diǎn)溫度，如式(9)。

t2(i)>ths(i)

(9)

其中，ths(i)=t(h2(i),φ=100%)。

濕工況下出風(fēng)狀態(tài)2點(diǎn)根據(jù)式(6)確定，條件2限制了出風(fēng)狀態(tài)2點(diǎn)必須在飽和線(xiàn)的上方；當(dāng)計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)不滿(mǎn)足條件2的情況，等焓線(xiàn)與過(guò)程線(xiàn)會(huì)相交于飽和線(xiàn)的下方(即出風(fēng)狀態(tài)相對(duì)濕度>100%)，這違背了物理規(guī)律，可能會(huì)使?jié)窨諝馕镄杂?jì)算超出理論范圍造成不收斂，故算法中需要避免這一點(diǎn)，焓濕圖如圖3所示。

圖3 條件2對(duì)應(yīng)的焓濕圖Fig.3 Psychrometric chart of condition 2

條件1、2限制了傳熱方向性及待求出風(fēng)狀態(tài)點(diǎn)，使算法符合物理規(guī)律，保證后續(xù)的計(jì)算穩(wěn)定運(yùn)行，是迭代收斂的重要條件。為滿(mǎn)足上述兩個(gè)條件，需對(duì)迭代變量進(jìn)水溫度的范圍進(jìn)行控制。各排進(jìn)水溫度的范圍如式(10)：熱器的總進(jìn)水溫度≤進(jìn)水溫度<出水溫度。

tw1≤tw1(i)

(10)

利用上式可確定進(jìn)水溫度的取值范圍，但對(duì)于進(jìn)出水溫差較大的情況，換熱器外圈換熱管(即出水管路)的實(shí)際進(jìn)水溫度較高，進(jìn)水溫度下限值tw1,1(i)設(shè)為總進(jìn)水溫度會(huì)使迭代時(shí)的進(jìn)水溫度較小，出現(xiàn)不符合條件1或2的情況。因此，需設(shè)置合適的進(jìn)水溫度迭代下限值，保證滿(mǎn)足條件1、2。

2.2 收斂條件方程

條件1、2不等式(式(8)、式(9))對(duì)應(yīng)的函數(shù)為：

f1=tm(i)-twallout(i)

(11)

f2=t2(i)-ths(i)

(12)

其中，出風(fēng)溫度t2(i)與管外壁溫度twallout(i)的計(jì)算涉及參數(shù)較多，不僅受進(jìn)水溫度tw1(i)的影響，還與進(jìn)風(fēng)溫度、風(fēng)量、水流量、換熱器結(jié)構(gòu)等相關(guān)；保持其他變量相同，t2(i)與twallout(i)的表達(dá)式如下：

t2(i)=f(tw1(i),cpw,ρw,ω,twallout(i))

twallout(i)=f(tw1(i),cpw,ρw,ω)

采用多點(diǎn)計(jì)算的方法，保持出水溫度相同，通過(guò)曲線(xiàn)圖研究不同結(jié)構(gòu)尺寸下(換熱管圓弧直徑D=500、700、900 mm)單排換熱管的函數(shù)f1、f2隨進(jìn)水溫度的變化趨勢(shì)，如圖4所示。

圖4 進(jìn)水溫度對(duì)f1、 f2的影響Fig.4 Effect of water inlet temperature on f1, f2

由圖4可知，在3種不同的設(shè)置出水溫度下，不同尺寸下的f2曲線(xiàn)基本完全重合，換熱管結(jié)構(gòu)對(duì)函數(shù)f2影響可忽略。函數(shù)f1、f2與進(jìn)水溫度呈線(xiàn)性關(guān)系，且為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)換熱管進(jìn)水溫度>某個(gè)臨界值，即可讓函數(shù)值>0，從而使條件1、2成立。因此，求取兩方程f1=0與f2=0零點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的進(jìn)水溫度作為各排進(jìn)水溫度下限值，即可使迭代時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)基本條件，保證迭代收斂。

計(jì)算方法如下：

1) 假設(shè)進(jìn)水溫度區(qū)間[-5,tw2(i)](水溫≥0 ℃，取-5 ℃保證收斂)，運(yùn)用二分迭代法，取區(qū)間中間值為進(jìn)水溫度；

2) 計(jì)算水側(cè)平均溫度，并據(jù)此計(jì)算水側(cè)的物性參數(shù)與傳熱系數(shù)；

3) 根據(jù)水側(cè)能量守恒方程(式(2))計(jì)算制冷量，再根據(jù)水側(cè)傳熱方程(式(4))與管壁導(dǎo)熱方程計(jì)算管外壁溫度twallout(i)；

4) 判斷干、濕工況，濕工況下根據(jù)熱濕比方程(式(6))計(jì)算出風(fēng)溫度t2(i)，根據(jù)出風(fēng)溫度計(jì)算空氣側(cè)平均溫度tm(i)；

5) 條件1：判斷不等式(13)是否成立，若成立，迭代收斂，此時(shí)假設(shè)的進(jìn)水溫度tw1,a即為要求的零點(diǎn)；若不成立，對(duì)二分法迭代區(qū)間上、下限重新賦值，回到步驟(1)重新迭代計(jì)算。

(13)

條件2：判斷不等式(14)是否成立，步驟與條件1相同，計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的進(jìn)水溫度tw1,b。

(14)

6) 取tw1,a與tw1,b的較大值作為第i排換熱管進(jìn)水溫度的迭代下限值tw1,1(i)。

3 結(jié)果分析

運(yùn)用上述求零點(diǎn)算法可對(duì)圓形翅片管換熱器各排管的進(jìn)水溫度下限進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算制冷工況：進(jìn)風(fēng)干/濕球溫度27/19.5 ℃，循環(huán)風(fēng)量5 000 m3/h，進(jìn)水溫度5～15 ℃，水流量6 000 kg/h。換熱器的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)：Do=12.7 mm，δt=0.35 mm；翅片為正弦波紋片，δf=0.125 mm，sf=3.1 mm；s1=31.75 mm，s2=27.50 mm，nv=16，np=4；水路數(shù)32(水路形式為雙回路)；θe=316°，D(1)=700 mm。

圖5所示為條件1與條件2零點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的進(jìn)水溫度tw1,a、tw1,b。由圖5可知：1)換熱器各排管條件1、2對(duì)應(yīng)的進(jìn)水溫度tw1,a、tw1,b與總進(jìn)水溫度tw1呈線(xiàn)性遞增趨勢(shì)，當(dāng)總進(jìn)水溫度較小時(shí)，tw1,atw1,b，此時(shí)情況相反，需以tw1,a作為迭代下限；2)由于換熱器水路形式為雙回路，第一、二排為出水排，第三、四排同時(shí)進(jìn)水，因此第一排與二排、第三排與第四排的計(jì)算零點(diǎn)溫度接近，且更接近換熱器水流進(jìn)口處的三、四排換熱管計(jì)算的tw1,a、tw1,b更低；3)當(dāng)總進(jìn)水溫度tw1較低時(shí)，接近換熱器水路出口的第一、二排換熱管計(jì)算的進(jìn)水溫度下限>總進(jìn)水溫度。以進(jìn)水溫度為5 ℃的情況為例，計(jì)算的進(jìn)水溫度下限為6.54 ℃(tw1,a=5.32 ℃，tw1,b=6.54 ℃)，計(jì)算中若以總進(jìn)水溫度為迭代下限，就會(huì)出現(xiàn)在迭代區(qū)間的一部分范圍[5,6.54]內(nèi)不滿(mǎn)足條件2，出風(fēng)相對(duì)濕度>100%，濕空氣物性計(jì)算超出理論范圍造成不收斂。因此，通過(guò)求解函數(shù)f1、f2零點(diǎn)的方法確定進(jìn)水溫度迭代下限，能夠避免算法進(jìn)入非合理區(qū)間，使迭代計(jì)算穩(wěn)定運(yùn)行至收斂。

圖5 條件1與條件2零點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的進(jìn)水溫度tw1,a、tw1,b的變化Fig.5 Variation law of inlet water temperature corresponding to zero point of condition 1 and condition 2

4 結(jié)論

本文對(duì)圓筒形翅片管換熱器的數(shù)值算法進(jìn)行研究，根據(jù)熱力學(xué)規(guī)律和參數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，建立了圓筒形翅片管換熱器的分排參數(shù)計(jì)算模型，設(shè)置各排進(jìn)水溫度作為迭代變量。重點(diǎn)討論了算法的收斂性，建立了兩個(gè)基本迭代收斂條件，通過(guò)求解條件方程，得到正確的迭代變量下限值，保證算法穩(wěn)定收斂。通過(guò)程序計(jì)算驗(yàn)證了收斂條件的合理性。主要結(jié)論如下：

1) 制冷工況下，選取換熱器總進(jìn)水溫度作為迭代下限進(jìn)行迭代計(jì)算時(shí)，可能出現(xiàn)空氣側(cè)平均溫度<換熱管外壁溫度，或出風(fēng)相對(duì)濕度>100%的不合理情況；

2) 設(shè)置不同換熱器結(jié)構(gòu)參數(shù)和出水溫度進(jìn)行程序計(jì)算，得到換熱器結(jié)構(gòu)對(duì)迭代變量下限值影響可忽略；迭代變量(即各排進(jìn)水溫度)下限是換熱器總進(jìn)水溫度的線(xiàn)性遞增函數(shù)；

3) 設(shè)置換熱器進(jìn)水溫度范圍為5～15 ℃，進(jìn)行程序驗(yàn)證計(jì)算，進(jìn)水溫度得到靠近水路出口處(水溫更高)換熱管的進(jìn)水溫度下限更高：當(dāng)進(jìn)水溫度為5 ℃，第一、二排管迭代變量下限為6.54 ℃。此時(shí)迭代條件的應(yīng)用有效避免了算法進(jìn)入不合理區(qū)間。