三軸聯動曲軸加工的實現

蔡曉敏 成 超

（1.南京郵電大學通達學院 揚州225000；2.揚州環銳科技有限公司 揚州225000）

曲軸是發動機的關鍵零件其中之一，由于曲軸是偏心結構，不能采用常規的圓形加工方法，曲軸磨削加工高精度高效率一直是難點和重點。目前很多曲軸數控加工技術是基于C-X兩軸聯動的切點跟蹤磨削法，這種方法磨削點在相同時間內運動的弧長發生變化，零件表面加工精度受到影響。另外，根據曲軸切點跟蹤模型得到砂輪位移后，在西門子機床上用離散點直接加工，加工過程不夠順滑，會存在加速度跳躍點，影響加工精度。為此，本文研究了基于C-X-Y三軸聯動的曲軸連桿頸切點跟蹤磨削法，并且基于西門子SINUMERIK 840D數控系統，提出一種采用中間參數的分段多項式插值，大大減小了輪廓誤差，提高加工精度。

1 影響磨削質量的基本參數

由磨削原理可知，當量磨削厚度是影響加工表面粗糙度的基本參數，其計算公式為[1]：

式中： ap為磨削深度（徑向）；vw為工件上磨削點處的速度；vs為砂輪上磨削點處的速度。

磨削過程中進給量是可以單獨控制的，不考慮其它因素，關鍵問題就是控制砂輪和曲軸線速度的比值為定值。傳統C-X曲軸隨動磨削曲軸以恒角速度進行轉動，當量磨削厚度是時刻變化的，這樣會引起加工誤差，所以建立了一種C-X-Y三軸聯動的曲軸隨動磨削模型[2]。但文獻[2]沒有對C-X-Y三軸聯動時當量磨削厚度如何變化進行詳細分析。

2 C-X-Y三軸聯動模型的研究

當曲軸連桿頸圍繞主軸頸的中心旋轉時，砂輪為了保持與連桿頸相切，不僅要橫向移動，還需要縱向移動，連桿頸的中心、砂輪的中心和磨削點在同一條水平線上，如圖1所示。R 為曲軸連桿頸的偏心距；Rw為連桿頸半徑；Rs為砂輪半徑；O 為曲軸回轉中心；Ow為連桿頸中心；Os為砂輪中心；Oi為磨削點； α為 OOw與OOs的夾角；θ 為OOi與OOs的夾角。

圖1 C-X-Y三軸聯動的運動模型

2.1 砂輪架的位移

砂輪架橫向位移：

砂輪架縱向位移：

2.2 工件速度

曲軸繞回轉中心O 旋轉的角速度

磨削點在曲軸連桿頸部繞曲軸連桿頸部中心線的轉動速度就是工件的速度：

曲軸繞主軸中心 O做旋轉運動，連桿頸旋轉引起曲軸上磨削點 Oi的運動速度為：

其中，Ri為磨削點Oi到回轉中心O 距離。

如圖1所示：以磨削點 Oi為坐標原點，OiQs為X軸，磨削點切線方向 OiP為Y軸建立坐標系XOY 。將 在 坐標系中分解，則對曲軸上的磨削點，在Y軸方向上有：

而砂輪為了保持磨削點與連桿頸的中心、砂輪的中心在同一條線上，有沿垂直方向Y軸上的縱向速度補償 vy：

如此時砂輪自身的線速度為vs，對砂輪上的磨削點其切線速度有：

則砂輪上的磨削點相對曲軸上的磨削點的切線速度為：

其中，vy為相對砂輪速度。當以vs方向為砂輪速度方向時，為保證恒當量磨削厚度，必須保證工件的速度與砂輪速度之比為常數。對曲軸非圓磨削，即要保證式(4)中的vw與式(9)中的vy之比不變。

2.3 簡化模型的誤差影響

表1 仿真計算中涉及的參數

隨著曲軸轉角的變化，曲軸旋轉一周引起的忽略速度大小變化如圖2所示。

圖2 簡化模型中忽略的速度變化曲線

從圖2中可以看出三軸聯動模型的忽略項為恒定值，不隨著曲軸旋轉的角度而變化，不影響砂輪上磨削點處的速度，當量磨削厚度?eq是一定的，磨削質量比較好。而且由于此時的頭架做恒角速度運動，控制方便，頭架主軸旋轉電機的跟隨誤差較小。

3 分段多項式插值的實現

根據C-X-Y三軸聯動曲軸切點跟蹤模型得到砂輪位移后，如果在西門子機床上用離散點直接加工，加工過程不夠順滑，會存在加速度跳躍點，影響加工精度。多項式函數比較容易構造，在中間節點處的導數都是連續的，而且構造出來的函數誤差較小，所以多項式函數是對任意復雜軌跡曲線進行插值的有效形式。當目標曲線較復雜時，若多項式的階數過低，則截斷誤差較大。采用過高階數的多項式函數來插值復雜的運動軌跡，可能出現龍格現象，而且隨著 n 的增大，計算量增大，舍入誤差增加。因此在節點較多的情況下，為了在保證插值精度的同時，不用過多的多項式階數增加計算的難度，可采用分段三次多項式插值的方法。

采用分段多項式插值來模擬曲軸非圓磨削時的運動軌跡，主要步驟為：(1)選取曲軸旋轉角度α ：C-X-Y三軸聯動模型曲軸是恒角速度旋轉，通常選取曲軸旋轉角度α 每1°一個點，曲軸旋轉一圈360°共有361個點（包含起點0°和終點360°）；(2)根據C-X-Y三軸聯動模型求出跟隨曲軸旋轉時砂輪架相應的橫向位移X和縱向位移Y構成的一系列節點 α0,X0, α1,X1,…, αi,Xi,…, αn,Xn和α0,Y0, α1,Y1,…, αi,Yi,…, αn,Yn；(3)以4個節點為一段，并且下一段的起點是上一段的終點，以保證每段三次多項式的邊界點連續，求出曲軸旋轉一周的所有分段多項式表達式。

3.1 分段多項式函數的構造

根據式（1）、式（2）可知砂輪位移X 、Y都是關于曲軸轉角α 的函數，用三次多項式函數表示為X α=m1+m2α+m3α2+m4α3m4≠0,m1,m2,m3∈R 、Y α=m5+m6α+m7α2+m8α3m8≠0,m5,m6,m7∈R ，四個已知條件可以確定唯一的三次多項式函數，給出曲軸某一段四個節點的曲軸轉角α0,α1,α2,α3及其相對應的砂輪位移X0,X1,X2,X3和Y0,Y1,Y2,Y3，可以求出唯一的系數m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m8。但是曲軸轉角α 變化一度時，砂輪位移變化量X和Y很小，按這種常規方法求出的系數會產生較大的計算誤差，所以這里引入了一個中間參數p ，且p 的范圍為 0≤p≤1，這樣保證曲線插值誤差比較小，因此，曲軸轉角α 、砂輪位移X 和Y 可寫成關于中間參數p 的三次多項式函數為：

已知曲軸某一段四個節點p1,p2,p3,p4對應的曲軸轉角為α0,α1,α2,α3、砂輪位移為X0,X1,X2,X3和Y0,Y1,Y2,Y3，p1,p2,p3,p4選取代入式(12)~ (14)即可得到：

由式(15)~式(17)可以求解出曲軸某一段曲軸轉角α 、砂輪位移 X和Y關于中間參數p的三次多項式函數的系數a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,a3,b3,c3,d3。

接著以曲軸上一段節點的終點作為下一段節點的起點，求出下一段曲軸轉角θ 、砂輪位移X 和曲軸旋轉角速度 ω關于中間參數p 的三次多項式函數的系數，這就是分段多項式插值。

3.2 插值誤差

采用分段多項式插值，節點位置不存在誤差，相鄰兩節點間最大的插值誤差可由下式求取。

砂輪架橫向位移插值誤差：

砂輪架縱向位移插值誤差：

采用表1所示的參數進行曲線插值誤差仿真分析，由于橫向位移插值誤差和縱向位移插值誤差表達式形式相同，只需仿真其中一個即可。砂輪橫向位移插值誤差仿真曲線如圖3所示，其最大插值誤差約5×10-7mm，遠遠小于機床的分辨率，故此方法的插值效果比較好。

圖3 最大插值誤差圖

4 結語

本文以恒當量磨削厚度角度出發，研究了C-X-Y三軸聯動的曲軸連桿頸切點跟蹤磨削法，發現模型簡化過程中忽略項為恒定值，不影響砂輪上磨削點處的速度，當量磨削厚度 是恒定的，磨削質量好，而且工件恒角速度旋轉，便于控制。另外基于西門子SINUMERIK 840D數控系統，提出一種通過中間參數構造分段多項式插值，加工過程比離散點加工更順滑，沒有跳躍的加速度，加工精度高。