考慮探測效能的有限時間協同制導方法

張帥， 郭楊， 王仕成， 王少博

(火箭軍工程大學 精確制導與仿真實驗室， 陜西 西安 710025)

0 引言

近年來，隨著飛行器動力系統的不斷改善以及攔截任務的多樣化，單一飛行器相對于機動目標已不再具有絕對的攔截優勢，而多飛行器協同作戰理念越來越受到重視。在網絡化、體系化作戰背景下，通過信息交互和共享，多飛行器協同能夠有效增強探測和制導效能。因此，多飛行器協同攔截方式對于提高攔截成功率具有重要的現實意義[1]。

相比于單一飛行器，多飛行器協同探測能夠更有效地獲取目標相對運動信息，為制導控制系統提供更精確的量測數據。近年來，學者們基于多傳感器信息融合和濾波方法對協同探測中的數據融合問題進行了廣泛研究。文獻[2]針對單架預警雷達存在探測盲區問題，基于累積發現概率準則提出了多架機協同探測航線優化方案，擴大了探測的覆蓋區并提高了探測精度；文獻[3]針對多傳感器對多目標進行協同探測和跟蹤問題，提出了一種改進無跡卡爾曼濾波算法，提高了對多個目標的跟蹤精度；文獻[4]針對多架預警機對目標區域協同探測問題，基于多源信息融合技術提出了兩種協同方案，通過實時估算兩種方案探測覆蓋區優化了飛行航跡；文獻[5]針對靜止目標，基于最優控制理論提出了一種增強協同探測效能的最優制導律，但該方法只定性地描述了探測效能與制導參數的關系，不適用于攔截機動目標。從公開發表的文獻看，目前研究大多是將探測和制導環節分開考慮，對于協同探測的研究也主要側重于基于狀態估計和濾波算法的多源信息融合[6-7]。

在協同制導方面，攔截時間一致、控制終端攔截角和不同通訊拓撲條件下的協同制導問題受到了廣泛關注。文獻[8-10]針對多飛行器協同攔截時間一致性問題，考慮到不同的通信拓撲結構，基于變參數比例導引方法提出了一種時間協同制導律。但該制導方法需要事先約定制導時間。此外，為實現對加固目標的多角度飽和攻擊，文獻[11-12]將不同落角約束條件考慮到制導設計中，實現了帶有不同角度的協同攔截。為有效攔截高機動目標，文獻[13-16]采用多飛行器合作攔截方案，在制導設計時通過施加一個攔截角來有效增強協同探測效能。文獻[17]通過建立一對一攔截模型，基于最優控制理論設計了一種協同探測與制導一體化設計方法，在單飛行器對目標進行攔截過程中施加攔截角，進而實現了穩定探測和制導構形的目的。值得一提的是，上述研究大多未考慮制導律有限時間收斂問題。實際上，在進行制導設計時，不僅要使所設計的制導律實現預定的作戰意圖，還應該考慮制導律有限時間收斂特性。

多飛行器協同攔截是典型的有限時間問題，攔截器制導指令必須在有限時間內完成，攔截過程中所關心的性能指標也都在有限時間內才有意義。在保證制導律有限時間收斂時，過載指令往往過大而不具有執行性，文獻[18]為了解決這一問題，設計了一種制導方法，不僅可以保證視線角速率在有限時間內收斂到0 rad/s，還可以保證在制導過程中加速度不超過最大物理限制；文獻[19-21]針對機動目標突防問題，基于有限時間控制理論提出了一種最優機動策略，該制導方法保證了制導律在有限時間內收斂；文獻[22-23]針對機動目標，在Lyapunov穩定理論基礎上設計了一種制導方法，該方法可以保證制導律有限時間Lyapunov穩定。基于上述成果可知，在有限時間框架下進行制導設計更切合實際應用。

綜上所述，由于飛行器構形能夠影響協同探測效能進而影響制導精度，而制導指令能夠實時影響飛行軌跡進而影響攔截構形，因此協同探測和制導兩個環節是緊密聯系、互相影響的，在進行制導設計時充分考慮協同探測效能是十分必要的。此外，一些現代制導設計方法，如最優控制、H∞魯棒控制等，在制導時間趨于無窮時能夠取得較好的效果，但在有限時間內可能存在保守性過大或者制導效果較差的問題。基于上述分析可知：1)多飛行器協同探測與制導環節是緊密聯系的，而目前研究多數將探測和制導環節分開來考慮，在進行制導設計時沒有充分考慮探測效能；2)多飛行器協同探測與制導問題是典型的有限時間過程，在有限時間框架下探索協同探測制導方法具有更強的針對性和實用性；3)為保證較好的探測和制導效果，飛行器在不斷調整機動過載過程中必然會受最大加速度的約束，而目前研究較少將加速度抗飽和性能考慮在制導設計過程中。

本文基于有限時間理論，提出了一種增強協同探測效能的協同制導方法，旨在制導設計的有限時間內檢驗協同探測效能。該方法充分考慮制導律有限時間收斂性能，能夠保證協同制導律在有限時間內收斂到預定狀態且加速度不超過最大物理限制，仿真結果驗證了所提方法的有效性。

1 問題描述

1.1 飛行器相對運動建模

2個攔截器協同攔截機動目標場景如圖1所示。圖1中：Oxy為慣性坐標系；P1和P2表示2個攔截器；E表示目標飛行器；vP1、vP2、vE和aP1、aP2、aE分別表示飛行器速度和視線法向加速度；qP1P2、qP2P1、qP1E、qP2E表示視線角；rP1P2、rP1E、rP2E表示飛行器之間的相對距離；與各飛行器相關的變量分別用下標P1、P2和E表示。

圖1 2個飛行器協同攔截目標飛行器示意圖Fig.1 Schematic diagram of two missiles cooperatively intercepting a target

在攔截過程中，攔截器與目標飛行器之間的相對運動可以分解為沿視線方向的徑向運動和沿垂直視線方向的視線旋轉運動。一般情況下，在保證攔截器和目標飛行器徑向相互接近情形下，控制末端視線角速率收斂到0 rad/s即可實現有效攔截。由于攔截器的任務需求和機動優勢，攔截器與目標飛行器之間總能夠保持相互接近，此時成功攔截的關鍵是對視線旋轉運動進行制導控制設計。

基于坐標變換，忽略視線角速率2階小量，在垂直視線方向可以得到攔截器1與目標飛行器之間的視線旋轉運動方程[24]為

(1)

同理，也可以得到攔截器2與目標飛行器之間的相對運動方程為

(2)

在攔截器與目標飛行器接近過程中，由于末制導時間較短，攔截器與目標飛行器之間的徑向運動變化較緩，攔截器與目標之間的攔截時間[24-25]可近似為

(3)

式中：rP1E(0)和rP2E(0)分別表示2個飛行器之間的初始相對距離；vP1E和vP2E表示接近速度。

1.2 飛行器動力學建模

飛行器過載指令是由飛行控制系統實現的。過載響應時間決定著飛控系統對過載指令的響應品質，它是飛控系統最重要的性能指標。考慮飛行器均具有1階動力學特性：

式中：a為飛行器實際加速度；τa為過載響應時間；aC為飛行器制導指令；s為頻域自變量。假設各飛行器具有1階動力學特性，由上式可得

(4)

1.3 協同探測模型

在協同攔截過程中，假設攔截器配備有高精度的導航定位設備和相應的紅外角度傳感器，2個攔截器能夠精確地獲得自身的方位信息并能夠進行實時通訊，但不能精確獲得目標飛行器的方位信息，即2個攔截器能夠精確地獲得彼此間的相對距離信息rP1P2和視線角度信息qP1P2、qP2P1，但對目標的方位量測包含一定的誤差。

2個攔截器構成了測量基準線，由此可以對目標飛行器進行協同探測。假設攔截器對目標的角度探測量包含量測噪聲，即PiE=qPiE+σPiE. 其中量測噪聲σPiE是相互獨立的高斯白噪聲，即期望為標準差。根據圖1所示的幾何位置關系和三角定位原理，可以解算出攔截器與目標之間的相對距離[17]為

(5)

由(5)式可知，解算的相對距離信息包含一定的量測誤差。這里假設PiE=rPiE+σPiE,rPiE，其中σPiE,rPiE是相對距離測量誤差，且

對(5)式求導，可以得到相對距離探測誤差為

(6)

由圖1和(6)式可知，協同探測誤差與2個攔截器和目標之間的視線分離角|P1E-P2E|直接相關。當視線分離角|P1E-P2E|變小時，量測誤差將增大。考慮一種極端情況，當視線分離角趨近于0°(即3個攔截器共線飛行)時，此時誤差非常大，進而淹沒了真實值。因此，在協同攔截過程中設計合理的協同制導律以調制視線分離角，可以有效增強協同探測效能、減小相對距離探測誤差。

1.4 考慮探測幾何構形的協同制導問題描述

(7)

y(t)=C(t)x(t),

(8)

式中：A(t)=

G(t)為相應的干擾傳遞矩陣，G(t)=[0 0 0 0 1/τE0 0]T；u(t)為控制輸入，u(t)=[aP1CaP2C]T，即需要設計的協同制導律；目標飛行器加速度指令aEC視為外界輸入變量；x(t)為狀態變量；y(t)為系統評價輸出；C(t)為相應的輸出矩陣；t為制導時間。

由于攔截器加速度存在最大物理過載限制，可表示為

|aPi|≤aPimax.

由此，通過狀態方程(7)式和(8)式即建立了包含相對距離、視線角等探測信息的協同攔截模型。

(9)

(10)

通過引入系統狀態修正量，可將視線分離角約束條件加入系統狀態方程中，基于探測和制導需求設計帶有視線分離角約束的協同制導律，進而增強協同探測和制導效能。

對于系統方程(9)式和(10)式所描述的協同攔截模型，將目標飛行器的機動視為外部干擾輸入，制導設計的最終目標是設計合適的協同制導律u(t)，使系統狀態和輸出滿足以下約束條件：

式中：tf為制導終時時刻。上述約束條件具體為：設計u(t)使視線分離角收斂到預置的值、視線角速率收斂到0 rad/s，且攔截器加速度不超過最大物理限制，從而達到增強協同探測效能并進行有效攔截的目的。

2 考慮探測構形的有限時間協同制導方法

由于協同探測和制導過程必須在有限時間內完成，且解算的制導指令也是在有限時間內才有意義，因此在有限時間框架下尋求協同制導設計方法更符合實際應用。

本節首先介紹有限時間理論基本知識，然后給出有限時間有界條件下有限時間輸入輸出穩定的充分條件，最后基于狀態反饋控制方法給出有限時間協同制導律設計和解算方法。

2.1 有限時間有界和輸入輸出穩定定義

定義1有限時間有界[26]。對于系統狀態方程

(11)

如果對于?t∈[0,T]，系統(11)式滿足以下條件：

則稱此系統關于(T,R,Q(t),S1)有限時間有界。式中：w(t)為外部干擾；R、Q(t)、S1分別為預先給定的適當維數的正定度量矩陣；R用于度量初始狀態；Q(t)用于度量系統狀態，由系統狀態需求決定；[0,T]為有限時間區間。

定義1描述了在初始狀態和外界有界干擾的影響下，系統狀態在有限時間內的穩定性能。有限時間有界性能與度量矩陣R、Q(t)、S1的選取有關，是對系統狀態在有限時間區間穩定性的動態描述。

定義2有限時間輸入輸出穩定[26]。對于線性系統(12)式和(13)式，假設x(0)=0，

(12)

y(t)=C(t)x(t),

(13)

由定義2可知，有限時間輸入輸出穩定是指在給定的有限時間區間內，當系統外部輸入滿足范數有界約束時，系統評價輸出亦范數有界。有限時間輸入輸出穩定主要用于表征系統輸出在有限時間內對外界有界干擾的鎮定能力，與傳統的無限時間框架下的Lyapunov輸入輸出穩定是兩個獨立的概念。

2.2 有限時間有界條件下有限時間輸入輸出穩定

基于文獻[27]的研究成果，本文給出系統滿足有限時間輸入輸出穩定的充分條件。

引理有限時間輸入輸出穩定充分條件[27]。對于線性時變系統(12)式和(13)式，在有限時間[0,T]內，如果存在1個對稱正定的矩陣函數P(t)∈Rn×n，使得如下2個不等式同時成立：

(14a)

P(t)≥CT(t)S2(t)C(t)，

(14b)

則系統(12)式和(13)式關于(T,S1,S2(t))有限時間輸入輸出穩定。

下面基于2.1節的基礎知識，以定理形式給出系統滿足有限時間有界條件下輸入輸出穩定的充分條件。

定理1有限時間有界條件下輸入輸出穩定。對于線性時變系統(12)式和(13)式，在有限時間[0,T]內，如果存在1個對稱正定的矩陣函數P(t)∈Rn×n，使得如下3個不等式同時成立：

(15a)

P(t)≥max{2Q(t),CT(t)S2(t)C(t)}，

(15b)

P(0)

(15c)

則系統(12)式和(13)式關于(T,R,Q(t),S1,S2(t))有限時間有界且輸入輸出穩定。

證明1首先證明條件(15a)式～(15c)式能夠保證系統有限時間有界。令V(x(t))=xT(t)P(t)x(t)，則有

(16)

根據條件(15a)式和(16)式，可得

(17)

(18)

根據(17)式和(18)式，可得

(19)

對(19)式積分，結合條件(15c)式，由

根據條件(15b)式，可得

2xT(t)Q(t)x(t)

因此，對于任意t∈[0,T]，條件(15a)式～(15c)式可以保證系統(12)式和(13)式關于(T,R,Q(t),S1)有限時間有界。

同時，根據引理可知，(15a)式和(15b)式可以保證系統關于(T,S1,S2(t))有限時間輸入輸出穩定，因此定理得證。

2.3 考慮探測構形的有限時間協同制導律

由2.1節的基礎知識可知，系統有限時間有界可用于描述系統狀態對外界干擾的穩定能力，而系統有限時間輸入輸出穩定可用于描述系統輸出對外界干擾的穩定能力。因此，有限時間有界和輸入輸出穩定理論可用于解決本文制導律有限時間收斂且過載受限問題。

(20)

(21)

對于閉環系統(20)式和(21)式，為有效解算狀態反饋矩陣K(t)，可以采用狀態反饋使系統同時滿足有限時間有界且輸入輸出穩定。

定理2狀態反饋控制器設計。在有限時間[0,T]內，如果存在X(t)∈Rn×n和L(t)∈Rr×n，使得(22a)式～(22c)式成立，

(22a)

X-1(t)≥S(t)且
S(t)=max{2Q(t),CT(t)S2(t)C(t)}，

(22b)

X-1(0)>R，

(22c)

則閉環系統(20)式和(21)式關于(T,R,Q(t),S1,S2(t))有限時間有界且輸入輸出穩定。此時，狀態反饋矩陣可由K(t)=L(t)X-1(t)解算得到。其中，X(t)∈Rn×n和L(t)∈Rr×n均是對稱正定的。

證明2根據(15a)式，由矩陣的Schur補性質[28]可知如下矩陣不等式成立：

(23)

(24)

同理，根據逆變相關知識，(15b)式和(15c)式等價于(22b)式和(22c)式，因此定理2得證。

在上述控制器解算過程中，通過調制狀態修正量δ即可使飛行器在協同攔截過程中保持一定的視線分離角，進而增強協同探測效能。通過定理2解算的控制器能夠使系統(20)式和(21)式同時滿足有限時間有界且有限時間輸入輸出穩定，所設計的制導律能夠同時保證視線分離角收斂到預置的值、視線角速率收斂到0 rad/s，且攔截器加速度不超過最大物理限制，從而在增強協同探測效能的同時保證攔截器實現有效攔截，因此1.4節提出的協同制導問題可由定理2解決。

3 仿真分析

基于第2節的協同攔截模型和協同制導律設計方法，本節開展仿真研究以檢驗所提方法的有效性。根據定理2所述方法解算控制輸入u(t)，將解算的協同制導律加入系統狀態方程，進而得到制導系統狀態和輸出變化曲線。為較全面地檢驗所提制導律的性能，考慮目標飛行器進行常速運動和Weave機動兩種情況。部分仿真參數如表1所示。

表1 仿真參數設置

3.1 目標常速機動

假設目標以120 m/s常速運動，攔截情形為追擊攔截，取δ=[0.524 -0.524 0 0 0 0 0]為狀態變量修正量(即視線分離角φ設置為60°)，仿真參數設置如表1所示。為比較本文方法與其他方法的優劣，在上述仿真條件下，2個攔截器分別采用本文制導方法、比例導引法以及文獻[25]中的最優控制法(攔截角分別設置為-30°和30°)，后文圖例中分別用A、B、C表示本文制導方法、比例導引法、最優控制法。在協同制導的有限時間[0,tf]內開展仿真實驗，所得結果如圖2～圖7所示。

圖2 目標常速運動時飛行器協同攔截軌跡Fig.2 Interception trajectories of interceptors for a target moving at a constant speed

圖3 視線分離角變化曲線Fig.3 Curves of line-of-sight separation angle

圖4 加速度變化曲線Fig.4 Curves of acceleration

圖5 視線角速率變化曲線Fig.5 Curves of line-of-sight angular rates

由圖2和圖3可知：當目標常速機動時，本文制導方法能夠在協同制導的有限時間內有效規劃攔截軌跡，克服初始視線分離角和視線角速率的不利影響，使攔截器保持一定的攔截構形，同時視線分離角始終保持較大的狀態，并最終收斂到預定角度；而采用比例導引時，攔截器徑直飛向目標，其飛行路徑較為固定，不能在攔截過程中有效改變攔截構形，也不能有效調制攔截角；采用最優制導時，其構形較比例導引有所改善，視線分離角能夠在一定程度上收斂到預置角度附近，但比例導引和最優制導不能保證視線角在有限時間收斂，其制導效果不如本文所提有限時間制導方法。

由圖4可知，攔截器采用本文所提制導律時最大加速度為166 m/s2，表明本文所提制導方法能夠在制導全程保證攔截器的需用加速度均不超過最大物理限制。圖5所示視線角速率變化曲線表明，本文所提制導方法能夠保證攔截器視線角速率最終收斂到0 rad/s，該性能能夠保證攔截器在制導末段穩定視線角速率，進而取得較小的攔截脫靶量。

圖6 協同探測誤差變化(rP1E)Fig.6 Curves of cooperative detection error for rP1E

圖7 協同探測誤差變化(rP2E)Fig.7 Curves of cooperative detection error for rP2E

由圖6和圖7可知，本文所提制導方法與比例導引和最優制導相比，能夠保持更好的構形，進而在制導全程有效增強協同探測效能、有效減小相對探測誤差。

分析圖2～圖7可知：比例導引和最優制導方法不具備有限時間收斂特性，視線角不能在有限時間內收斂到預定值，在構形保持和探測環節均表現出明顯的弊端；本文所提制導律能夠同時保證視線分離角收斂到預置角度、視線角速率收斂到0 rad/s，且攔截器加速度不超過最大物理限制，在協同攔截過程中能夠有效規劃協同攔截軌跡，使攔截器在制導全程保持較大的視線分離角，進而降低協同探測誤差，上述仿真結果驗證了本文所提方法的有效性。

3.2 目標Weave機動

當目標進行更加劇烈的Weave機動時，假設目標加速度aEC=60sin(1.2t+π/2)，其余參數設置與3.1節相同，其仿真結果如圖8～圖13所示。

圖8 目標Weave機動時飛行器協同攔截軌跡Fig.8 Interception trajectories of interceptors for a target performing the Weave maneuver

圖9 視線分離角變化曲線Fig.9 Curves of line-of-sight separation angle

由圖8和圖9可知，當目標飛行器進行更劇烈的Weave機動時，3種方法均能夠保證攔截器有效攔截目標飛行器，三者的不同在于：本文所提方法能夠有效規劃和調制攔截軌跡，保持較好的探測構形；而且在目標進行大幅機動情況下也能有效調制視線分離角，使其保持在較大的狀態，并最終收斂到預置角度；采用比例導引時，攔截器在制導指令作用下直接飛向目標，不能有效調制視線分離角；采用最優制導時，其視線角收斂效果較差，遠不如目標進行勻速運動的情況。

圖10所示的加速度變化曲線表明，在目標進行劇烈的Weave機動情況下，本文所提制導方法能夠保證加速度不超過最大物理限制，并最終跟上目標機動。對比圖5和圖11可知：在目標進行劇烈運動時，本文所提制導方法仍能夠確保視線角速率收斂到0 rad/s，實現穩定跟蹤；采用比例導引和最優制導時，攔截器不能有效跟蹤目標飛行器，視線角速率最終也不能收斂到0 rad/s，表明本文所提方法在有限時間內具有較強的魯棒性和適應性。由圖11可知，攔截器在有效攔截目標的同時其加速度亦不超過最大物理載荷，表明本文協同制導方法在攔截大幅機動目標時也具有較好的實用價值。

圖10 加速度變化曲線Fig.10 Curves of acceleration

圖11 視線角速率變化曲線Fig.11 Curves of line-of-sight angular rate

圖12 協同探測誤差變化(rP1E)Fig.12 Curves of cooperative detection error for rP1E

由圖12和圖13可知：在目標進行劇烈機動情況下，攔截器采用本文所提制導方法時，其相對距離協同探測誤差穩定在6 m以內；而采用比例導引和最優制導時，其誤差明顯增大。

圖13 協同探測誤差變化(rP2E)Fig.13 Curves of cooperative detection error for rP2E

綜上所述，在目標進行常速運動和較劇烈的Weave機動情況下，本文所提制導方法均能夠保證攔截器在有限時間內以預置的分離角有效攔截目標，保證視線角速率收斂到0 rad/s且加速度不超過最大物理限制。而由于比例導引和最優制導律在有限時間內具有較大的保守性，其效果不如本文所提方法。

4 結論

針對多飛行器協同攔截機動目標問題，本文在進行制導設計時充分考慮協同探測效能，基于有限時間控制理論提出了一種考慮探測構形的協同制導方法。所得主要結論如下：

1)基于相對運動方程、飛行器1階動力學特性和協同探測原理，建立了協同攔截模型。

2)建模過程中將目標機動視為外界干擾輸入，選取攔截器加速度指令為系統中間狀態變量，以視線分離角和視線角速率變化為系統評價輸出，基于系統有限時間有界和輸入輸出穩定定理設計了協同制導律。

3)本文所提設計方法可以同時保證系統評價輸出有限時間穩定且中間狀態不超過最大界限，能夠在物理過載受限時有效增強協同探測和制導效果，仿真結果驗證了所提方法的有效性。