程度多粒度軟粗糙集模型*

孫文鑫，劉玉鋒，卓春英

1.重慶水利電力職業技術學院，重慶402160

2.重慶大學 城市科技學院，重慶402160

+通訊作者E-mail:sunxuxin520@163.com

1 引言

1980 年，波蘭教授Pawlak 提出了一種處理不精確信息的理論——粗糙集理論[1]。這種理論通過運用已掌握的知識，來近似刻畫那些不確定的知識。目前，該理論已經成功應用在醫療診斷、決策分析、數據挖掘等方面[2]。

粒計算也是目前研究者最關注的熱點課題之一。自1979 年，Zadeh 提出了模糊信息粒的概念[3]，1985年，Hobbs用“粒度”作為論文題目發表在美國洛杉磯舉行的國際人工智能聯合會議上[4]；Yao 提出了鄰域系統的粒度計算模型，并應用在了知識發現等領域[5]后，粒計算的研究已經成為當前研究的熱門課題[6-9]。

Qian等從粒的角度出發研究討論了粗糙集理論，建立了樂觀和悲觀多粒度粗糙集模型[10]。隨著多粒度粗糙集模型的建立，粗糙集理論的研究步入了新的階段[11-14]。Xu等建立了多粒度模糊粗糙集模型[15]、序信息系統中的多粒度粗糙集模型[16]以及廣義多粒度粗糙集模型[17]；Yang 等研究了多粒度粗糙集的空間結構特點[18]；Lin 等提出了一種基于鄰域的多粒度粗糙集模型[19]；She 等探討了多粒度粗糙集的空間拓撲結構[20]。近幾年來，多粒度粗糙集的研究成果主要體現在文獻[21-26]。

軟集也是處理不確定性問題的一種工具。Molodtsov 在1999 年進行了軟集理論方面的研究[27]；Gong 等在軟集的應用方面進行了大量的研究[28]；Herawan等驗證了粗糙集和軟集之間的關系[29]；Feng等建立了軟粗糙集模型[30]；李文濤將軟粗糙集和多粒度粗糙集結合起來建立了多粒度軟粗糙集模型[31]。軟粗糙集理論在國內的研究成果也是碩果累累[32-33]。

本文在探討研究多粒度軟粗糙集模型的過程中，發現并建立了介于樂觀和悲觀多粒度軟粗糙集間的一種新模型——程度多粒度軟粗糙集模型。其主要結構如下：第2章主要介紹了軟粗糙集和多粒度軟粗糙集的一些相關概念；第3章建立了程度多粒度軟粗糙集模型，討論了各近似算子的性質；第4 章給出了程度多粒度軟粗糙集粗糙度和近似精度的定義和性質；第5章通過醫生診病的案例驗證了模型的實用性；第6章對本文做了簡單的總結概述。

2 軟粗糙集和多粒度軟粗糙集

軟集是一種處理不確定性問題的工具，它可以被看作信息系統的另一種描述方法。

定義1[27]設論域U為非空集合，E為非空屬性級，任意的A?E，存在一個集值映射F：A→P(U)，則稱F與A構成的二元組S=(F,A)為論域U上的一個軟集。?a∈A，在軟集S=(F,A)中，F(a)是近似元素構成的集合，可以為空集。

定義2[33]設二元組(F,A)和(G,B)是論域U上的兩個軟集，若B?A且G(B)?F(A)，則稱(G,B)是(F,A)的一個軟子集，記為(G,B)?(F,A)。

定義3[30]設S=(F,E)是論域U上的一個軟集，若A?E，則稱(U,A)為軟近似空間。

定義4[30]設S=(F,E)是論域U上的一個軟集，A?E，對于任意的X?U，定義X的軟下近似和上近似分別為：

定義5[31]設S=(F,E)是論域U上的一個軟集，(F,Ai)(i=1,2,…,m) 是論域U中的軟子集(Ai?E) 。對于任意的X?U，定義樂觀多粒度軟下近似和上近似分別為：

定義6[31]設S=(F,E)是論域U上的一個軟集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是論域U中的軟子集(Ai?E)。對于任意的X?U，定義悲觀多粒度軟下近似和上近似分別為：

3 程度多粒度軟粗糙集

定義7 設S=(F,E) 是論域U上的一個軟集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是論域U中的軟子集(Ai?E)，對于任意的X?U,x∈U，若?a∈Ai，有x∈F(a)，則定義元素x在屬性Ai下的計數函數為：

定義8設S=(F,E) 是論域U上的一個軟集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是論域U上的軟子集(Ai?E)，對于任意的X?U，β∈(0.5,1.0]，定義一般多粒度軟下近似和上近似分別為：

性質1設S=(F,E) 是論域U上的一個軟集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是論域U上的軟子集(Ai?E)，任意的X?U，β∈(0.5,1.0]，有以下性質成立。

性質2設S=(F,E) 是論域U上的一個軟集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是論域U上的軟子集(Ai?E)，任意的X，Y?U，β∈(0.5,1.0]，有以下性質成立。

定理1設S=(F,E)是論域U上的一個軟集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是論域U上的軟子集(Ai?E)，任意的X?U，α,β∈(0.5,1.0]，若α≤β，則有以下性質成立。

定理2設S=(F,E) 是論域U上的一個軟集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是論域U上的軟子集(Ai?E)，任意的X?U，β∈(0.5,1.0]，則有以下性質成立：

證明根據定義5、定義6 和定義8，定理2 可直接得證。 □

4 程度多粒度軟粗糙集的不確定性度量

定義9 設S=(F,E) 是論域U上的一個軟集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是論域U上的軟子集(Ai?E)，任意的X?U，β∈(0.5,1.0]，定義X的程度多粒度軟粗糙集的精確度和粗糙度分別為：

性質3設S=(F,E) 是論域U上的一個軟集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是論域U上的軟子集(Ai?E)，任意X,Y?U，β∈(0.5,1]，若X?Y，則：

性質4設S=(F,E) 是論域U上的一個軟集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是論域U上的軟子集(Ai?E)，任意X?U，α,β∈(0.5,1.0]，若α≤β，則：

5 案例分析

例1隨著醫學的發展，醫生專業能力的提升，跨科室檢查合作成為了當今最常見的現象。如某群體患上了復雜的眼病，掛了三種科室進行檢查：眼科、神經科、腫瘤科。表1描述的是某醫院某些患者按照各科做的體檢情況，其中U={x1,x2,…,x10}表示患者，表示體檢的項目，數字1 表示該病人具有此癥狀，0 表示該病人無此癥狀，根據以往數據顯示這10位患者中X={x2,x5,x6,x7,x9,x10}曾被診斷為患有某種眼疾Y。三個科室根據各科的專業水準給出診斷結果，眼科醫生根據A1={a1,a2,a3}體檢結果進行診斷，神經科醫生根據項目A2={a2,a4,a6}進行診斷，腫瘤科醫生根據A3={a4,a5}體檢結果進行診斷。最后醫院根據三個科室的診斷結果和以往數據分析再做出最后診斷結論，如若這三個科室中有兩科認為該人患了此眼疾Y，則該患者就被確診患了此眼疾Y，診斷方案就按照該眼病Y進行制定。

Table 1 Physical examination report of ophthalmic patients in a hospital表1 某醫院眼病患者的體檢報告情況表

Table 2 Count function values of diagnosis results for ophthalmic patients from different departments表2 各科室對眼病患者診斷結果的計數函數值

（1）請問哪些人一定會被診斷為患此眼病Y；

（2）請問哪些人可能被診斷為患此眼病Y。

根據表1中的結果，可以計算得：

其中，F是一個集值映射F：V→P(U)。若取，根據程度多粒度軟粗糙上下近似算子的定義和表2中的計數函數值可得：

因此根據體檢報告和以往數據分析，可得x2、x5、x6、x7、x9、x10這幾位病人一定會被診斷為患此眼病Y，而這10 個人都可能會被診斷為患此眼病Y。

6 結論

多粒度發展至今，已經取得了顯著的研究成果。本文的主要貢獻是建立了介于樂觀多粒度軟粗糙集和悲觀多粒度軟粗糙集的一種模型，即程度多粒度軟粗糙集模型。此外，在所建模型的基礎上，討論了各近似算子的性質，并給出了程度多粒度軟粗糙集粗糙度和近似精度的定義。另外，還用醫生診病的案例驗證了模型的實用性。本文模型的建立完善了多粒度軟粗糙集理論，也為后續研究奠定了基礎。