基于化歸思想的圓錐曲線一題一課

康 琳

(四川省成都市四川師范大學(xué)附屬中學(xué) 610061)

例題已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在拋物線C上，且拋物線C在點(diǎn)A處的切線與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，則△AFP面積的最小值為____.

環(huán)節(jié)一學(xué)生分享解法，教師提問，點(diǎn)評(píng)，意圖引導(dǎo)學(xué)生首先思考這些不同的解法是如何產(chǎn)生的，其次整理出解決這個(gè)問題需要儲(chǔ)備哪些知識(shí)，做好查漏補(bǔ)缺的學(xué)習(xí)任務(wù).

評(píng)述(1)切點(diǎn)的變化引起三角形的變化，故自然的想到引入切點(diǎn)坐標(biāo)為變量，構(gòu)造函數(shù).

思路探究二引入角度θ.

評(píng)述(1)得到AF⊥PF，AF與y軸正方向夾角θ的變化引起三角形的變化，故引入角度為變量，構(gòu)造函數(shù)；長度和角度建立等量關(guān)系反映出極坐標(biāo)的思想.

(2) 知識(shí)儲(chǔ)備：光學(xué)性質(zhì)(選修2-1閱讀內(nèi)容中指出拋物線的一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸)；函數(shù)求最值.

評(píng)述(1)|AF|的變化引起三角形的變化，故引入長度為變量，構(gòu)造函數(shù).

思路探究四設(shè)斜率直線AF的斜率k.

評(píng)述(1)直線AF的變化引起三角形的變化，故引入斜率為變量，構(gòu)造函數(shù).

評(píng)述(1)改變幾何要素的呈現(xiàn)順序，交點(diǎn)P的變化引起三角形的變化，故引入交點(diǎn)坐標(biāo)為變量，構(gòu)造函數(shù).

(2)知識(shí)儲(chǔ)備：切線的求法；三角形面積公式；函數(shù)求最值.

環(huán)節(jié)二解法小結(jié)

(1)回顧以上五種解法，同學(xué)們辨析各種探究思路的不同和相同之處，意圖讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)在解決圓錐曲線某些元素最值問題時(shí)，雖然由于引入的變量不同而產(chǎn)生不同的解法，但是基本思想都是一樣的，各種探究解法殊途同歸，即都是利用了化歸思想，將這一類問題最終化歸為函數(shù)來研究.

(2)綜合比較這幾種不同的探究思路，學(xué)生感受幾種解法的解答速度，旨在讓學(xué)生體驗(yàn)常用二手結(jié)論帶來的快捷，完善自己的答題策略及考試策略，提升學(xué)生解決問題的能力，因?yàn)榭荚嚂r(shí)必須考慮時(shí)間成本，將時(shí)間利用率最大化.

環(huán)節(jié)三圓錐曲線和導(dǎo)數(shù)的解答題中，經(jīng)常考察導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，而其中最常見的就是研究函數(shù)最值，教師示范一種解法的詳細(xì)解答過程，意圖讓學(xué)生規(guī)范答題，避免考試時(shí)因過程書寫不當(dāng)而失分，也是對(duì)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的一種鍛煉.

環(huán)節(jié)四課堂小結(jié)學(xué)習(xí)了這個(gè)例題的收獲.本題考查圓錐曲線范圍最值問題，由一題多解到多題一解，最終化歸為函數(shù)研究.因?yàn)閷?duì)計(jì)算有較高要求，難度較大,所以挖掘幾何特點(diǎn)，運(yùn)用二手結(jié)論，巧妙引入變量，快捷地化歸為函數(shù)解決問題.