高等數學背景下的極值點偏移問題探究

張小彥

(1.青海省西寧市青海師范大學數學與統計學院 810008；2.甘肅省民勤縣第四中學 733300)

一、極值點偏移問題的概念介紹

對于可導函數y=f(x),假設在區間(a,b)上只有一個極大(小)值點x0,且方程f(x)=0的解分別為x1,x2(a

下面我們從極值點偏移的高等數學背景進行探究.

二、極值點偏移問題的高等數學背景

極大值點的情形推導過程同上,結果卻恰好相反,此處不再詳述.

至此,我們得到極值點偏移問題的判斷法則：

f?(x)<0?極小值點向左偏移(極大值點向右偏移)；

f?(x)>0?極小值點向右偏移(極大值點向左偏移).

三、極值點偏移問題應用舉例

例1(2016新課標Ⅰ卷)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍；

(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明：x1+x2<2.

解(1)a∈(0,+),過程略.

(2)f?(x)=ex(x+1).若x≤-1,由f(2)=a>0知可設x1≤-1-1,則f?(x)>0.由(1)及上述判斷法則可得極小值點x=1向右偏移,因此有x1+x2<2.