正方體的截面問題

武增明

(云南省玉溪第一中學 653100)

一個平面與一個正方體表面的交線圍成的封閉平面圖形稱為正方體的截面圖形，簡稱正方體的截面.正方體的截面，對三角形來說，可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不可能是鈍角三角形、直角三角形；對四邊形來說，可以是等腰梯形、平行四邊形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；對五邊形來說，可以是任意五邊形，但不可能是正五邊形；對六邊形來說，可以是正六邊形.正方體的截面至多是六邊形.判斷正方體的截面的形狀的理論依據是，高中立體幾何中確定平面的三個公理及其三個推論.

正方體的截面問題，涉及到截面形狀的判定、截面面積和周長的計算、截面圖形的計數、截面圖形的性質的判定、截面圖形的面積和周長的最值(取值范圍)的求解.本文僅介紹正方體的截面面積和周長的最值(取值范圍)的求解方法，以及截面圖形的性質的確定方法.解決這三個問題的關鍵都是截面形狀的判定.下面舉例說明.

一、正方體的截面面積的最值問題

例1 (2018年高考全國卷Ⅰ·理12)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為

評注根據正方體的性質確定平面α的位置是解題的關鍵.

二、正方體的截面的周長問題

A.27 B.16 C.9 D.8

分析先由四邊形BMD1N是平行四邊形將四邊形BMD1N的周長轉化為2(BM+MD1)，再將正方體的側面展開，得到BM+MD1的最小值，由已知條件求得a的值即可求解.

解析設正方體的棱長為a，如圖3，M，N分別是平面四邊形BMD1N與AA1，CC1的交點，由題意可知四邊形BMD1N是平行四邊形，所以四邊形BMD1N的周長為2(BM+MD1).

評注解答本題的關鍵是將正方體的側面展開，找到使得平面四邊形BMD1N的周長取得最小值時點M的位置.

三、正方體截面圖形的性質問題

例4 (2013年高考安徽卷·文15理15)如圖4，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是____(寫出所有正確命題的編號).

故所有正確命題的編號為①，②，③，⑤.

例5 (2005年全國高中數學聯賽試題)如圖7，已知正方體ABCD-A1B1C1D1.任作平面α與對角線AC1垂直，使得平面α與正方體的每個面都有公共點.記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為l.則( ).

A.S為定值，l不為定值

B.S與l均為定值

C.S不為定值，l為定值

C.S與l均不為定值

解析先考察特殊情形.

注意到l1=l2，S1≠S2，由此可以斷定S不為定值，而l有可能為定值.

再考察一般情形.

設六邊形J1E1F1G1H1I1為任意一個符合要求的截面，則此截面與前面兩個特殊的截面平行.

由相似三角形對應邊成比例，得

故選C.

評注解本題應用了由特殊到一般的思維方法，這是求解復雜問題的常用方法之一.