例談?dòng)嘘P(guān)晶胞的計(jì)算類(lèi)型與方法

李宗來(lái) 李小娟

(江蘇省響水中學(xué) 224600)

作為選考《物質(zhì)結(jié)構(gòu)與性質(zhì)》的固定考點(diǎn)-有關(guān)晶胞的計(jì)算是學(xué)生感覺(jué)最為頭疼、棘手的一個(gè)難點(diǎn)，它體現(xiàn)了高考考試說(shuō)明中提出的“將化學(xué)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)工具，通過(guò)計(jì)算和推理解決化學(xué)問(wèn)題的能力”的要求，因此掌握融合化學(xué)晶體知識(shí)的數(shù)學(xué)推算方法與技巧，進(jìn)行重難點(diǎn)的有效突破是當(dāng)務(wù)之急，本文例析晶胞計(jì)算的基本類(lèi)型，回顧有關(guān)晶體的重要考點(diǎn)，探尋命題的規(guī)律與方向，形成一定的解題思路、方法和技巧，同時(shí)也希望能夠消解同學(xué)們對(duì)此類(lèi)試題的畏懼心理，從而提高得分率.

一、有關(guān)晶胞中的微粒個(gè)數(shù)的計(jì)算

例1(2017江蘇卷)某FexNy的晶胞如圖1所示，Cu可以完全替代該晶體中a位置Fe或者b位置Fe，形成Cu替代型產(chǎn)物Fex-n)CunNy.FexNy轉(zhuǎn)化為兩種Cu替代型產(chǎn)物的能量變化如圖2所示，其中更穩(wěn)定的Cu替代型產(chǎn)物的化學(xué)式為_(kāi)___.

解析由圖2可知，Cu替代a位置的Fe時(shí)能量較低，更穩(wěn)定，則Cu位于頂點(diǎn)，N(Cu)=8×1/8=1，F(xiàn)e位于面心，N(Fe)=6×1/2=3，N位于體心，則只有1個(gè)N，其化學(xué)式為Fe3CuN.

點(diǎn)評(píng)本題新穎之處將晶胞的微粒的計(jì)算與轉(zhuǎn)化過(guò)程中能量變化圖有機(jī)融合，考查考生對(duì)圖形圖像信息整合、吸收應(yīng)用的能力，解題時(shí)要精準(zhǔn)解讀題干信息，聯(lián)系并應(yīng)用相關(guān)化學(xué)知識(shí)原理、規(guī)律，如能量越低越穩(wěn)定、化合物的正負(fù)化合價(jià)的代數(shù)和為0等，復(fù)習(xí)時(shí)打通不同模塊間的界定，注重知識(shí)點(diǎn)間的融合貫通、發(fā)散延伸至關(guān)重要，這也是未來(lái)高考命題的一種趨勢(shì).

變式練習(xí)：1.(2016四川卷)M、R為原子序數(shù)依次增大的短周期主族元素，M基態(tài)原子L層中p軌道電子數(shù)是s電子的2倍，R是同周期元素中最活潑的金屬元素，M和R所形成的一種離子化合物R2M晶體的晶胞如圖3所示，則圖中黑球代表的離子是____(填離子符號(hào)).

解析根據(jù)信息推斷出M基態(tài)原子電子排布為1s22s22p4，是O；R是Na，離子化合物為Na2O，通過(guò)晶胞計(jì)算白球=8×1/8+6×1/2=4，在晶胞內(nèi)部黑球=8，因此黑球代表Na+.

2. (2019泰州一模) 紅鎳礦是一種重要的含鎳礦物，其主要成分的晶胞如圖4所示，則每個(gè)Ni原子周?chē)c之緊鄰的As原子數(shù)為_(kāi)___.

解析根據(jù)晶胞圖可得N(Ni)=8×1/8+4×1/4=2，As在晶胞內(nèi)部N(As)=2，N(Ni)∶N(As)=1∶1，原子周?chē)o鄰原子的數(shù)目(配位數(shù))=晶胞內(nèi)原子的比值的反比，由圖可得As原子周?chē)c之緊鄰Ni原子為6，故每個(gè)Ni原子周?chē)c之緊鄰的As原子數(shù)也為6.

方法總結(jié)晶胞中粒子的計(jì)算應(yīng)用均攤法，立方體晶胞計(jì)算：頂點(diǎn)貢獻(xiàn)1/8、棱邊1/4、面心1/2、體心1；六棱柱晶胞計(jì)算頂點(diǎn)貢獻(xiàn)1/6、側(cè)棱邊1/3、其它棱邊1/4、面心1/2、體心1，三棱柱晶胞頂點(diǎn)貢獻(xiàn)1/12，側(cè)棱邊為1/6，上下棱上為1/4，面上的算為1/2，如果是分子簇團(tuán)，就不能按照晶胞來(lái)計(jì)算，應(yīng)該作為一個(gè)整體進(jìn)行計(jì)數(shù)，解題時(shí)仔細(xì)審題，看清每個(gè)粒子的所代表的圖形符號(hào)及在晶胞中所處的位置.有關(guān)晶胞中的微粒個(gè)數(shù)的計(jì)算考查設(shè)問(wèn)角度有：

(1)寫(xiě)化學(xué)式：要按照習(xí)慣要求來(lái)寫(xiě)，金屬元素在前，非金屬在后，寫(xiě)出原子的最簡(jiǎn)整數(shù)比；

(2)根據(jù)化學(xué)式再結(jié)合化合價(jià)的代數(shù)和為0進(jìn)行簡(jiǎn)單推算；

(3)判斷晶胞圖中特定符號(hào)所代表的微粒及個(gè)數(shù)；

(4)判斷晶胞中某粒子周?chē)o鄰且等距其它粒子數(shù)(配位數(shù))，要根據(jù)晶胞圖結(jié)合一定的空間拓展想象能力， NaCl型晶胞的配位數(shù)為6，CsCl型為8，六方最密堆積和面心立方最密堆積的配位數(shù)都是12，當(dāng)晶胞圖不好辨別時(shí)，可以通過(guò)計(jì)算晶胞內(nèi)原子間的比值，原子間配位數(shù)的比值的與晶胞內(nèi)原子間的比值成反比，加以推算得出.

二、有關(guān)晶體的密度計(jì)算

例2 (2018年全國(guó)Ⅲ卷)金屬Zn晶體中的原子堆積方式如圖5所示，這種堆積方式稱(chēng)為_(kāi)___.六棱柱底邊邊長(zhǎng)為acm，高為ccm，阿伏加德羅常數(shù)的值為NA，Zn的密度為_(kāi)___g·cm-3(列出計(jì)算式).

點(diǎn)評(píng)有關(guān)晶體的密度計(jì)算是每年全國(guó)卷必考的內(nèi)容之一，契合了考試說(shuō)明中“能根據(jù)晶胞確定晶體的組成并進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算”的要求，本題是在選考《物質(zhì)結(jié)構(gòu)與性質(zhì)》中比較常規(guī)的綜合習(xí)題，側(cè)重于核心重點(diǎn)知識(shí)的考查，本題的解答過(guò)程中選擇六棱柱作為計(jì)算單元是創(chuàng)新之舉，但要注意六棱柱并不是該晶體的晶胞(晶胞一定是平行六面體)，但是作為一個(gè)計(jì)算晶體密度的單元是可以的.全國(guó)卷注重于晶體密度的計(jì)算的拓展延伸，如涉及不同類(lèi)型的晶體晶胞的計(jì)算、由密度求晶胞參數(shù)等設(shè)問(wèn)角度的也在不斷變換.

變式練習(xí)：

4.(2018全國(guó)Ⅰ卷)Li2O具有反螢石結(jié)構(gòu)，晶胞如圖7所示.已知晶胞參數(shù)為0.4665 nm，阿伏加德羅常數(shù)的值為NA，則Li2O的密度為_(kāi)___g·cm-3(列出計(jì)算式).

5.(2017全國(guó)Ⅱ卷)R的晶體密度為dg·cm-3，其立方晶胞參數(shù)為anm，晶胞中含有y個(gè)[(N5)6(H3O)3(NH4)4Cl]單元，該單元的相對(duì)質(zhì)量為M，則y的計(jì)算表達(dá)式為_(kāi)___.

方法總結(jié)計(jì)算晶體密度的一般思維模型是：(1)求晶胞的質(zhì)量m，根據(jù)摩爾質(zhì)量(以g·mol-1為單位時(shí)在數(shù)值與相對(duì)分子質(zhì)量相同)除以阿伏伽德羅常數(shù)計(jì)算出每個(gè)微粒的質(zhì)量，再根據(jù)計(jì)算出晶胞中所含微粒的個(gè)數(shù)，從而得出晶胞的總質(zhì)量=晶胞中所含粒子的個(gè)數(shù)×每個(gè)微粒的質(zhì)量；(2)求晶胞的體積V，應(yīng)用立體幾何知識(shí)，根據(jù)提供的晶胞參數(shù)(邊長(zhǎng))求出晶胞的體積，如常見(jiàn)的立方晶胞、六棱柱、三棱柱晶體結(jié)構(gòu)單元的體積計(jì)算，注意單位的換算如1nm(納米)=1×10-9m=1×10-7cm，1pm(皮米)=1×10-12m=1×10-10cm；(3)再由ρ=m/V，得出其密度，因此晶胞中粒子計(jì)算是基礎(chǔ)，晶胞體積的計(jì)算是關(guān)鍵，注意單位的換算是要留意的細(xì)節(jié)，同時(shí)要注意密度、晶胞參數(shù)、晶胞中粒子個(gè)數(shù)的之間相互換算的考查，結(jié)合阿伏加德羅常數(shù)、晶胞體積、密度的計(jì)算，可以把微觀的晶胞結(jié)構(gòu)和宏觀物質(zhì)的密度、摩爾質(zhì)量等聯(lián)系起來(lái)，體現(xiàn)高考中“宏觀辨識(shí)”與“微觀探析”的化學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要求，也貫徹了必備知識(shí)與關(guān)鍵能力的考查要求，因此要引起足夠的重視.

三、有關(guān)晶胞參數(shù)的計(jì)算

例3(2016全國(guó)Ⅱ卷)某鎳白銅合金的立方晶胞結(jié)構(gòu)如圖8所示.

(1)晶胞中銅原子與鎳原子的數(shù)量比為_(kāi)___.

(2)若合金的密度為dg/cm3，晶胞參數(shù)a=____nm.

解析(1)應(yīng)用均攤法可得晶胞中含N(Cu) =6×1/2=3，N(Ni) =8×1/8=1，N(Cu)∶N(Ni)=3∶1，

變式練習(xí)：6.(2017全國(guó)Ⅰ卷)KIO3晶體是一種性能良好的非線性光學(xué)材料，具有鈣鈦礦型的立體結(jié)構(gòu)，邊長(zhǎng)為a=0.446nm，晶胞中K、I、O分別處于頂角、體心、面心位置，如圖9所示.(1)K與O間的最短距離為_(kāi)___nm，與K緊鄰的O個(gè)數(shù)為_(kāi)___.

(2)在KIO3晶胞結(jié)構(gòu)的另一種表示中，I處于各頂角位置，則K處于____位置，O處于____位置.

7.(2017全國(guó)Ⅲ卷)MgO具有NaCl型結(jié)構(gòu)(如圖10)，其中陰離子采用面心立方最密堆積方式， X射線衍射實(shí)驗(yàn)測(cè)得MgO的晶胞參數(shù)為a=0.420nm，則r(O2-)為_(kāi)___nm.MnO也屬于NaCl型結(jié)構(gòu)，晶胞參數(shù)為a′=0.448 nm，則r(Mn2+)為_(kāi)___nm.

8．(2016全國(guó)Ⅰ卷)晶胞有兩個(gè)基本要素：

(2)晶胞參數(shù)，描述晶胞的大小和形狀，已知Ge單晶的晶胞參數(shù)a=565.76 pm，其密度為_(kāi)___g·cm-3(列出計(jì)算式即可).

方法總結(jié)晶胞是能完整反映晶體內(nèi)部原子或離子在三維空間分布結(jié)構(gòu)特征的最小單元的平行六面體.用來(lái)表示晶胞的形狀和大小的6個(gè)特征參數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)晶胞參數(shù)，包括晶胞的3組棱長(zhǎng)(即晶體的軸長(zhǎng))a、b、c和3組棱相互間的夾角(即晶體的軸角)α、β、γ.高考中晶胞參數(shù)a指的是正四面體的邊長(zhǎng)，通過(guò)晶體密度求解晶胞參數(shù)a的基本思路是：通過(guò)摩爾質(zhì)量、阿伏伽德羅常數(shù)、晶胞所含微粒數(shù)計(jì)算出晶胞質(zhì)量，建立已經(jīng)密度與體積的關(guān)系，而體積可以通過(guò)晶胞參數(shù)a進(jìn)行求解，從而求出a值，同時(shí)注意晶胞參數(shù)的計(jì)算可以延伸到晶胞中原子坐標(biāo)、原子間距離、原子半徑的考查，因此這不僅僅是化學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單考查，而是要具備利用數(shù)學(xué)工具，通過(guò)計(jì)算和推理解決化學(xué)問(wèn)題的能力要求，高考試題不僅是不同知識(shí)點(diǎn)的融合，更是跨越不同學(xué)科間的相互滲透.

四、有關(guān)晶胞中原子占體積百分率的計(jì)算

例4 (2016全國(guó)Ⅲ卷)GaAs(砷化鎵)的熔點(diǎn)為1238℃，密度為ρg·cm-3，其晶胞結(jié)構(gòu)如圖12所示.該晶體的類(lèi)型為_(kāi)___,Ga與As以____鍵鍵合.Ga和As的摩爾質(zhì)量分別為MGag·mol-1和MAsg·mol-1，原子半徑分別為rGapm和rAspm，阿伏加德羅常數(shù)值為NA，則GaAs晶胞中原子的體積占晶胞體積的百分率為_(kāi)___.

方法總結(jié)晶胞中原子的體積占晶胞體積的百分率也稱(chēng)為空間利用率，指構(gòu)成晶體的原子、離子或分子在整個(gè)晶體空間中所占有的體積百分比.晶胞都是平行六面體，整塊晶體可以看成是無(wú)數(shù)晶胞無(wú)隙并置而成的，空間利用率=晶胞中原子的體積之和÷晶胞的總體積×100%，因此計(jì)算的關(guān)鍵是：

(1)把原子當(dāng)成球體，根據(jù)原子半徑r計(jì)算體積為4/3πr3，計(jì)算出晶胞中原子的體積之和=晶胞中所含原子個(gè)數(shù)×4/3πr3；

(2)計(jì)算晶胞的總體積，可以通過(guò)晶胞參數(shù)a進(jìn)行求解，如立方晶胞時(shí)V=a3，其它晶體結(jié)構(gòu)單元結(jié)合幾何知識(shí)求解，也可以通過(guò)晶胞的質(zhì)量÷晶體密度求解.同時(shí)也要注意已知晶胞中原子的空間利用率，然后反推出原子的半徑或者晶胞參數(shù)的表達(dá)式.

綜上所述，涉及晶胞的相關(guān)計(jì)算，計(jì)算晶胞中粒子個(gè)數(shù)是基礎(chǔ)，計(jì)算體積是關(guān)鍵，計(jì)算密度是高頻考點(diǎn)，因此在備考中夯實(shí)基礎(chǔ)、總結(jié)規(guī)律、消除恐懼、樹(shù)立信心定會(huì)起到“事半功倍”的效果.