安培力與洛倫茲力的關系

王鴻博

(內蒙古自治區巴彥淖爾市臨河區一中 015000)

安培力和洛倫茲力是高中物理中兩個重要的概念，二者之間有著深刻的聯系.人教版教材選修3-1這樣描述兩者的關系：導線中帶電粒子的定向運動形成了電流.電荷定向運動時所受洛倫茲力的矢量和，在宏觀上表現為導體所受的安培力.這句表述具有很強的可讀性和探討空間，從字面上簡單理解，安培力只與運動的電荷有關并且數值上等于運動電荷受到洛倫茲力的矢量和.但是這種理解并沒有告訴我們安培力和洛倫茲力的聯系機理，有些時候我們會誤認為安培力就是洛倫茲力，而這種認識會導致很多明顯的悖論，例如洛倫茲力不做功而安培力可以做功.本文從洛倫茲力和安培力的一般認識出發，又介紹了兩者的微觀聯系、做功關系以及影響因素，旨在幫助更多的同學明確洛倫茲力和安培力的聯系.

一、洛倫茲力和安培力的一般認識

通常教材對兩者描述的一般解讀是，在導線與磁場垂直的情況下，一段導線所受安培力等于該段導線內所有電荷定向移動所受洛倫茲力的合力.如圖1所示，設導體內帶正電粒子的速度為u，帶電量為q，單位密度為n，形成的電流為I，導體橫截面積為S，兩個端面為a和b，導線長為L，磁場與導線垂直，磁感應強度為B.

垂直于磁場的一段導線所受安培力與導線中帶電粒子所受洛倫茲力示意圖.

安培力F安=BIL，其中I=nquS，則F安=BnquSL.nSL為帶電粒子總個數N，考慮到洛倫茲力F洛=quB，得到F安=NF洛，說明在設定條件下安培力為所有帶電粒子洛倫茲力的合力.這種結論意味著安培力完全等同于洛倫茲力，那么就無法解釋安培力可以做功而洛倫茲力不可以做功的事實.這種討論情景過于簡單，設定導線速度為零，只考慮了內部帶電粒子的速度，使得最終結果沒有體現出矢量的特性，如果考慮矢量性質，是否可以進一步理解安培力和洛倫茲力的關系呢？下面借助復雜一些的模型來分析兩種力之間的關系.

如圖2所示，回路中電流大小為I，為方便討論假設回路中電流由正電荷移動產生，正電荷帶電量為q，單位密度為n，形成的電流為I，導體橫截面積為S.電荷沿導體棒的運動速度為u，導體棒向右運動的速度為v.對回路中的電荷進行分析，其相對于地面的速度v合為u和v的合速度，方向指向右下，其對應的洛倫茲力f的方向指向右上.對于速度v，其對應的洛倫茲力為f1=qvB，方向豎直向上；而速度u對應的洛倫茲力為f2=quB，方向水平向右.回路中導體棒受到的安培力F=BIL=BLnquS=nLSf2=Nf2，其中考慮了電流的微觀表達式I=nquS.式中N為導體棒中電荷的總個數，由此可以得出安培力與洛倫茲力分力相等這一結論.這一結論可以解釋安培力和洛倫茲力的做功悖論.對于整個導體棒，洛倫茲力分力f1的功率：P1=-f1uN=-qvBunSL；f2的功率：P2=f2vN=quBvnSL；安培力的功率P=BILv=BnquSLv.P1+P2=0，而P可以不為零，所以洛倫茲力不做功，但是安培力可以做功.

安培力與洛倫茲力分力相等這一結論最重要的意義在于暗示著安培力并不直接等同于洛倫茲力，兩者之間可能還有著其他作用從而使二者聯系起來.

二、洛倫茲力和安培力的霍爾電場解釋

安培力與洛倫茲力分力相等的討論中仍有一定的瑕疵，只考慮了相對于導體運動的帶電粒子受力情況，并沒有對整個導體所有帶電電荷進行討論.實際上，導體中真正傳導電荷的是電子，另外還有相對于導體靜止的正離子，當導體棒運動時，這兩類電荷都受到洛倫茲力作用，安培力應該與這兩類電荷的洛倫茲力有關.導體棒的運動可以是任意的，做正交分解后可以看成水平(垂直于棒)方向和豎直(沿棒)方向兩個運動的合.我們首先討論水平方向，導體棒有額外速度v的情況，如圖3所示.

設導體棒水平運動，速度為v，電子形成穩定電流時其沿棒方向速度為u.電子和正離子均具有的水平速度v使它們具有豎直方向的洛倫茲力qvB，但是兩者受力方向相反，導致導體棒上半部分富集正離子，下半部分富集電子，從而形成內建電場，稱為霍爾電場.在霍爾電場剛開始建立的時候，霍爾電場力不及豎直方向洛倫茲力，電子將向下運動，使得下方富集電子，繼而進一步增強霍爾電場直至霍爾電場力與豎直方向洛倫茲力平衡，即qE=qvB，此時電流達到穩定.當導體棒內電流穩定時，正離子受到向上的洛倫茲力和向下的霍爾電場力，二者平衡，所以正離子在豎直方向上沒有受到額外作用.正離子固定于導體內，所以此時導體棒沒有受到豎直方向的額外作用，導體棒受到的水平方向的安培力與其水平方向的速度無關.這從微觀角度解釋了圖2模型的結論.

安培力與水平方向(垂直于電子運動方向)的速度無關，是否與豎直方向速度有關呢？考慮圖4所示模型，導體棒沿豎直方向運動，速度為v.

設電子相對于導體棒的速度為u，這個速度是形成電流的根本.導體棒豎直運動使得電子的豎直方向合速度為(u+v)，正離子速度為v.二者分別受到方向相反的洛倫茲力，大小分別為q(u+v)B和qvB，與上一討論相似，導體內部形成了水平方向的霍爾電場，設場強為E.當霍爾電場剛剛建立之時，洛倫茲力大于霍爾電場力使得電子沿水平方向偏轉進而增強霍爾電場，直至電子水平方向受力平衡不再增強電場.平衡時，電子霍爾電場力等于洛倫茲力，qE=q(u+v)B.正離子受到的霍爾電場力與電子受到的霍爾電場力大小相同方向相反，但是其受到的洛倫茲力為qvB，兩者不等.系統穩定時，霍爾電場力qE大于qvB，使得正離子受到水平方向不為零的合力，合力大小為qE-qvB=quB.正離子相對于導體靜止，相當于導體受到了水平方向不為零的合力，宏觀表現為安培力.

特別地，每一個正離子受到的合力為quB，意味著安培力的大小只與quB相關，而u是形成電流的根本與導體棒宏觀運動速度無關，q和B也與宏觀運動速度無關，這就證明了安培力只與電流大小有關而與導體棒宏觀運動無關.

綜合考慮圖3模型和圖4模型，我們可以分析導體棒沿任意方向運動的情況，可以得出結論如下：安培力與洛倫茲力之間是通過霍爾電場聯系起來的，二者并不是直接對應，安培力大小只與形成電流的帶電粒子相對于導體棒的速度u有關，而與導體棒宏觀運動速度無關.借助霍爾電場理論，改正了簡單將安培力和洛倫茲力等同起來的錯誤認識，自然也就消除了前面介紹的安培力可以做功而洛倫茲力不能夠做功的所謂“悖論”.

通常人們對安培力和洛倫茲力只是作為同一種作用的宏觀和微觀兩個層面的表現來理解，但是這樣理解會引發安培力能夠做功而洛倫茲力不能夠做功這一所謂的悖論.借助霍爾電場理論，發現安培力并不是直接與洛倫茲力對應，它們是通過霍爾電場關聯起來，并且安培力的大小只與帶電電荷相對于導體的速度有關，即與電流有關，而與導體的宏觀運動速度無關.