應用幾何思想 求解圓錐曲線問題

李世建

(江蘇省徐州市經濟技術開發區高級中學 221131)

一、應用韋達定理，轉化

韋達定理表示的是根與系數的關系，在解決圓錐曲線與直線相交的問題時起到了很大的作用.直線是二元一次方程，圓錐曲線是二元二次方程，在求解交點問題時，往往需要聯立方程組，轉化成一元二次方程，再結合韋達定理、求根公式聯立求解.

這道題直接用到了兩根之和，在圓錐曲線中出現頻率較高的弦長公式以及中點弦公式里面會間接用到韋達定理.本題巧在對稱點與韋達定理相結合，簡化了運算過程，將交點問題直接引到了直線的斜率上，一步得出結果，是解圓錐曲線的關鍵，要求學生重點掌握.

二、引入參數變量，化簡

在涉及最值、取值范圍、存在性等問題時，題中往往不會給出所有信息，比如點的坐標、直線斜率……這些是計算過程中要用到的，需要引入變量，代入計算.有時可能會設出多個變量，但在計算過程中通過化簡消去了，只作為中間變量.使用這種方法計算簡單不易出錯.

解析這是一道典型的設而不求，首先假設存在.畫圖，雙曲線是確定的，直線l是未知的，學生可能會糾結該怎么畫交點圖，圖形是為了給我們做題的方向，因此只需要過點A且有兩個交點即可.設直線l的斜率為k，M1(x1,y1)，M2(x2,y2).∵A為M1、M2的中點，∴x1+x2=2xA=-2,y1+y2=2yA=2.把M1、M2坐標代入雙曲線方程,得：

這道題通過設出M1、M2的坐標，用變量表示，把它當作已知條件，代入運算，通過移項、化簡或是利用題中所給出的提示信息消掉，可以減少計算量，提高解題效率.在圓錐曲線的類型題中也是最常見到的，學生應該對這類題型多歸納、多總結，從而提升解題能力.

三、加強數形結合，簡潔

數形結合，顧名思義就是把代數反映到圖形中，與圖形相結合，使冗長復雜的題目變得更加簡潔，在圖形中能夠直觀的看出位置關系，運用學過的公式、定理把圖中信息轉化成代數運算，使圓錐曲線變得簡單易下手.

這道題就很巧妙地運用了數形結合思想，把要求的比值轉化成斜率，再把斜率與點到直線的距離聯系起來，簡化題目，而且圖形會給人一種直接明了的感覺，使解題思路也變得清晰直觀.數形結合不僅在圓錐曲線中起到重要作用，而且對整個數學的學習都有莫大的幫助.

由于圓錐曲線的種類比較多，在高考中的比重較大、靈活性較強，所以學生往往把它當做難題，遇到之后自然在心理上就退縮了.但如果我們教師在教學中，教會學生正確的方法，引導學生只要熟記圓錐曲線的各類圖形的內容、性質，掌握做題技巧，應用幾何思想，就可以輕松應對，從而達到高效解決圓錐曲線，使它變成一道送分題，真正實現輕松解題的效果.