利用切線方程證明一類不等式

蔣會會

(陜西省西安市鐵一中學 710054)

切線方程在不等式中的應用具有一定的技巧性，這種方法的本質就是求出某一點(一般是最值點)處切線方程，利用以直代曲的思想證明不等式.不等式中的對稱和輪換對稱中，這些不等式取等條件一般是每個變量相等時取到等號.

一、構造函數，直接應用

不等式證明過程中，可以根據觀察不等式的特點，直接構造函數，利用切線方程證明.而往往這類不等式都有顯著特點，基本都是對稱和輪換對稱，并且它們的最值也都是在相等的時候取到.從而利用該點處的切線方程達到證明的目的.學生在訓練不等式證明時，有時會出現各種錯誤，教師要耐心給予解答，幫助他們找到問題的本質，提升學習質量.

二、巧妙變換，構造函數

相對于直接應用不等式而言，通過變換來證明不等式難度更大，學生得分率更低.在不等式的證明題中，很多不等式并不能直接構造函數，求出切線方程，此時就需要對不等式進行簡單的變形，從而符合函數的構造，并求出切線方程，達到證明不等式的目的.

分析在不等式中，每一項都有變量，因此需要對不等式進行變形，從而達到能夠構造函數的條件.

證明原不等式可化為：

因此，原不等式能夠得到證明.

三、巧妙縮放，構造函數

在高考試卷中，不等式證明重點考查高中生的邏輯思維能力，注重分析和解決問題的能力，縮放法在證明過程中起到了非常重要的作用.學生在縮放過程中，經常會出現問題，即，要么縮放不夠、要么縮放過頭，往往要經過多次嘗試和失敗后才找到合適縮放方式，嚴重浪費考試時間，影響考場心態，導致丟失不必要的分數.對于齊次不等式，我們可以通過切線方程來證明，這就要求不等式的左邊為和式且每項都有一個變量，這就可以用縮放法來證明不等式.

利用切線方程證明不等式是分析和解決數學問題的重要手段.對于不同不等式的證明，具體操作方式方法都略有不同，需要對此類題型進行不斷探究，形成一定的思維方法.作為一名高中數學教師，我們要教會學生熟練運用切線方程證明不等式，在提升數學能力、形成數學核心素養的同時，也能探索一些解題技巧，從而突破解題難點.