有限溫度下腔光機械系統中N個二能級原子的相變和熱力學性質*

劉妮 黃珊 李軍奇 梁九卿

(山西大學理論物理研究所, 量子光學與光量子器件國家重點實驗室, 太原 030006)

研究了含有非線性相互作用的腔機械系統中N個二能級原子在有限溫度下的相變和相關的熱力學性質, 采用虛時路徑積分方法推導出系統的配分函數,求得系統的有效作用量.通過對有效作用量進行變分得到系統的熱力學平衡方程和原子布居數期待值的解析表達式, 重點研究了原子-場耦合強度、非線性原子-光相互作用、非線性聲子-光子相互作用等影響下系統的相變, 發現除了會發生由正常相到超輻射相的二階相變外, 還會出現正常相和亞穩的超輻射態共存的現象,同時會發現三相(正常相、超輻射相、亞穩的超輻射態)共存點.有限溫度的升高, 會使正常相到超輻射相的二階相變點向原子-場耦合強度增大的方向移動; 當非線性原子-光相互作用(正或負)增強時, 相變點會向原子-場耦合強度弱的方向移動; 聲子-光子相互作用會導致出現超輻射不穩定態; 有限溫度下, 在正常相區熵為定值, 而在超輻射相區熵隨原子-場耦合強度的增強迅速遞減為零.

1 引 言

腔光機械系統在探索經典系統和量子力學系統之間的界限發揮了重要作用[1].值得一提的是:該混合系統中, 光腔模產生的光子和納米機械振子產生的聲子之間的新型非線性相互作用是通過輻射壓誘導產生[2,3].目前, 這種非線性聲子-光子相互作用是實現高精度測量和量子信息處理的一種重要資源[4].隨著電磁自由度和機械自由度相干耦合技術的進步, 實驗上實現了一種新的前沿量子領域:腔光機械[5].光機械腔內可實現許多有趣的物理現象, 例如光學冷卻[6]、光學區域中的雙穩態和光學非線性[7]以及壓縮[5]等.目前實驗上將玻色-愛因斯坦凝聚體(BEC)與超精細光腔進行耦合,并且在橫向注入了泵浦光[8], 這種將超冷原子系綜與高精細腔模相互作用系統是典型的腔量子電動力學系統, 它在研究量子光學和冷原子物理領域具有重要的參考價值[9,10].基于此, 實驗上還將BEC囚禁在光機械腔中, 這對于探索奇異的量子現象是非常有意義的.

量子相變是零溫下量子多體系統相互作用時發生的定性修正, 是耦合強度或其他外部參數的變化引起的系統量子漲落[11].Dicke模型的量子相變就是最典型的例子, 它通過改變原子-場耦合強度產生由正常相(NP)到超輻射相(SP)的二階相變.該自旋玻色模型描述的是N個二能級原子系綜與單模量子化玻色場的耦合[12,13].從20世紀70年代開始, 虛時路徑積分方法被用來研究有限溫度下Dicke模型在熱力學極限N→∞ 和弱耦合下的相變特性[14].

目前, 機械振子與光腔耦合系統已被大量研究[15?17].在N→ ∞ 極限下, 利用平均場近似方法(如:Holstein-Primakoff變換方法、自旋相干態變分方法)對零溫下光學機械腔中囚禁的BEC的基態特性和相關量子相變(QPT)已進行了廣泛的研究[15].現在我們采用虛時路徑積分的方法來研究囚禁BEC的腔機械系統在有限溫度下的相變和相關的熱力學性質.模型是光機械腔中囚禁BEC, 哈密頓量中引入了原子-光非線性相互作用.用虛時路徑積分方法可以方便地討論熱漲落起主導作用下, 溫度對系統相變的影響, 而平均場近似下只能討論零溫極限下的量子相變.本文用該虛時路徑積分方法推導出系統的熱力學平衡方程、原子布居數、平均光子數和平均能量、自由能的表達式, 并計算出熵的表達式, 并將得到的相圖與零溫下的量子相變等特性進行比較, 進而探討溫度對光機械系統的影響[15,18].我們發現:原子-光非線性相互作用會使相變點移動, SP區域范圍改變; 當原子-光非線性相互作用絕對值達到一定值時, SP區域會完全消失; 強的非線性聲子-光子耦合強度可以出現超輻射不穩定態(NUS).

2 模型以及哈密頓量

根據文獻[19]中提出的實驗裝置, 我們考慮如圖1的冷原子系統:四能級原子組被囚禁在頻率為ωc的高精度光腔內, 且一束頻率為ωp的橫向泵浦光被垂直注入光腔; 通過輻射壓力將高質量的機械振蕩器與腔模進行耦合.超冷原子將泵浦光相干地散射到與位置相關的腔模中.通過泵浦激光器和腔模的光散射兩種平衡拉曼通道, 在色散極限下, 原子的兩個激發態能級可以絕熱地消除進而來獲得一個有效的二能級原子[2,20].相應的二次量子化的哈密頓量表示為(考慮自然單位

圖1 將超冷原子囚禁在超精細的光腔內, 在 z 方向注入一束泵浦光, 并且在x方向外加一個與光腔發生相互作用的納米機械振子Fig.1.Experimental setup for an ultra-cold atoms trapped inside a high-finesse optical cavity driven by a pump laser in the z direction.While, a nanomechanical oscillator interacts with the optical cavity in the x direction.

公式(2)中的哈密頓量是標準Dicke模型的哈密頓量[21,22], 其中a?(a) 是有效光場的產生(湮滅)算符,b?(b) 是聲子的產生 (湮滅)算符,ω0是原子的有效頻率,ω0=ωa?ωp是有效的原子頻率,ωa是原子的共振頻率,ω=?c+5U/2 是有效的腔頻率, 其中 ?c=ωc?ωp是光腔的頻率ωc和泵浦激光頻率ωp之間的失諧 (?c>0 為紅失諧, ?c<0 為藍失諧),U=NU0/4 代表的是原子-光非線性相互作用, 其中代表的是單個原子-場耦合強度,g代表原子-場集體耦合強度,N是原子數目.ωb是納米機械振子的頻率,是機械振子產生的聲子和腔模產生的光子通過輻射壓產生的非線性相互作用, 其中l是光腔的長度,M為納米機械振子的質量.是原子集體贗自旋算符,S±=(Sx±iSy)和Sz滿足角動量對易關系[S+,S?]=2Sz和 [Sz,S±]= ±S±.值得一提的是:在哈密頓量中我們忽略了三體相互作用項, 僅考慮兩體 (光子, 聲子)輻射壓相互作用[23?25].引入兩組費米算符, 定義費米算符的產生和湮滅算符為且費米算符滿足反對易關系.將贗自旋算符轉換為雙模費米子算符則我們可以得到哈密頓量(1)的費米子算符形式:

我們通過配分函數來研究系統的基態特性和熱力學性質, 所采用的方法是虛時路徑積分法[26].系統的配分函數表示為

其中β=1/(kBT) ,kB是玻爾茲曼常數, [dη] 是積分度量.

將系統哈密頓量寫入配分函數, 則其詳細表達式為:

利用高斯積分公式

可見, 利用積分公式將配分函數中的機械振子b?(b) 變量去掉了, 只剩下變量a?(a).將(9)式代入(5)式, 則配分函數可以化簡為

由路徑積分方法求得的配分函數也可表示為

則系統的歐幾里得作用量可以表示為

利用凝聚態場論的方法, 我們先積分掉費米子部分, 則我們得到一個有效的作用量:

接下來, 我們分別對玻色場a(τ) 和費米場Φi進行傅里葉變換, 即

由于玻色場滿足周期邊界條件即fn=2πn/β; 費米場滿足反周期邊界條件gn=(2n+1)π/β, 其中n為整數,fn和gn分別為玻色場和費米場的Matsubara頻率.采用定態位相微擾方法, 所有溫度對穩態的影響可以忽略不計, 即a與虛時τ無關, 則上式可以化簡為

上式關于gn求和, 也可以轉化為復平面的環路積分.得到的穩態解滿足的熱力學平衡方程為

3 溫度對二階相變點參數的影響

3.1 Dicke相變[26]和平均光子數

根據方程(18), 圖2給出了平均光子數隨原子-場集體耦合強度變化的示意圖.給定的參數是ω0=0.047(MHz),ω=ωb=20(MHz).

圖2(b)給出有限溫度T=140(nK) 和聲子-光子的耦合強度ξ=0(MHz) (機械振子影響不存在)時, 在不同的原子-光場非線性相互作用影響(U=0(MHz) (黑 線)、U=?20(MHz) (紅 線)和U=?30(nK)(藍線))下平均光子數隨原子-場集體耦合強度g變化的示意圖.我們發現:原子-光場非線性相互作用會使NP到SP發生二階相變的相變點移動.同時當原子-光場非線性相互作用較大時, 當原子-場集體耦合強度g增加到一定值時, 平均光子數會顯著增強(U=?30(nK) (藍線)).對照圖2(a)和圖2(b)中的黑線(零溫和有限溫度), 我們發現:有限溫度會導致NP到SP的二階相變向原子-場耦合強度強的方向移動.

圖2 平均光子數隨原子-場的集體耦合強度 g 變化的示意圖Fig.2.The average photon numberas a function of the atom-field coupling strength g.

圖2(c)是在原子-光場的非線性相互作用不存在、且給定有限溫度T=140(nK) 時, 不同的聲子-光子非線性相互作用影響下平均光子數隨原子-場集體耦合強度g變化的示意圖, 分別給出了ξ=0(MHz) (黑 線)、ξ=30(MHz) (紅 線)和ξ=50(MHz)(藍線) 三種情況.該圖主要體現:給定溫度下, 機械振子對Dicke相變的影響.我們發現聲子-光子耦合強度不會影響相變點, 對NP不會產生影響, 但會使平均光子數增大, 即增強宏觀集體激發, 并且除了會發生從NP到SP的變化外,還會在全區域出現NUS, 即圖中的彩色點劃線.

圖2(d)是在給定有限溫度T=140(nK) 和負的原子-光場非線性相互作用U=?30(MHz) 時, 在不同的非線性聲子-光子相互作用ξ=0(MHz) (黑線)、ξ=30(MHz) (紅 線)和ξ=50(MHz) (藍線)影響下平均光子數隨原子-光場的集體耦合強度g變化的示意圖.與圖2(c) 比較, 負的原子-光場非線性相互作用會導致二階相變點向右移動, 仍然出現 NUS.圖2(e)是給定有限溫度T=140(nK)和正的原子-光場非線性相互作用U=30(MHz)時, 在不同的非線性聲子-光子相互作用ξ=0(MHz) (黑線)、ξ=30(MHz) (紅線)和ξ=50(MHz)(藍線)下平均光子數隨原子-場集體耦合強度g變化的示意圖.與圖2(c)比較, 正的原子-光場非線性相互作用會導致相變點向左移動, 同時也出現了NUS.圖中的NUS對應的是不穩定的非零光子數解, 所謂的不穩指的是對應的能量二階導數大于零.

3.2 有限溫度相圖

圖3給出不同的原子-光場非線性相互作用影響下, 平均光子數隨原子-場集體耦合強度和溫度變化的相圖 (g?T).圖3(c)為有限溫度影響下Dicke模型的相圖, 溫度會導致標準Dicke模型(T=0(nK))的二階相變的相變點向原子-場耦合強度增大方向平移.將圖3(a)和圖3(d)與圖3(c)進行比較, 我們發現:負的原子-光非線性相互作用((a)U=?30(MHz))會使相變點右移, SP區域減小; 而正的原子-光非線性相互作用 ((d)U=30(MHz))會使相變點左移, SP區域有所增大.當原子-光非線性相互作用絕對值達到一定值時 ((b)U=?50(MHz) 和 (e)U=50(MHz)), SP 區域會完全消失, 被 NUS代替, 也就是由 NP到SP二階相變不再存在, 光子數沒有穩定激發解.雖然白色區域有非零光子數解, 但卻不是穩定的超輻射態.

圖3 原子-光場非線性相互作用影響下, 平均光子數隨原子-場集體耦合強度和溫度變化的相圖 (g?T) , 其中聲子-光子耦合強度ξ=0(MHz)Fig.3.The average photon number’s phase diagram of the atom-field collective coupling strength and the temperature for different atom-light nonlinear interaction strength with the disappeared phonon-photon coupling constant ξ=0(MHz).

3.3 機械振子影響下的相圖

圖4中 (a1)—(c1)是零溫 (T=0(nK))時,不同的原子-光非線性相互作用影響下, 平均光子數關于原子-場集體耦合強度和聲子-光子非線性相互作用(g?ξ平面)的相圖.對比圖4(a1)和圖4(b1)或圖4(c1)和圖4(b1), 我們發現:原子-光非線性相互作用為負值(U=?30(MHz))時, 相變點右移, NP 到 SP 的二階相變推遲, 且 SP 減小; 反之,原子-光非線性相互作用為正值(U=30(MHz))時, 相變點左移, NP 到 SP 的二階相變提前, 且SP區域增大.同時我們發現:當強的聲子-光子非線性相互作用存在時, 除了會出現由NP到SP的二階相變外, 還會出現NUS白色區域, 此區域沒有穩定的光子數解.同時我們發現弱的原子-光非線性相互作用會使NUS區域明顯增大.圖4(a2)—(c2)是有限溫度(T=140(nK))下, 在不同的原子-光非線性相互作用影響下, 平均光子數關于原子-場集體耦合強度和聲子-光子非線性相互作用((g?ξ) 平面)的相圖.將圖4(1)與圖4(2)進行對比可以發現:零溫時的SP區域比有限溫度的區域要大, 這說明溫度會使NP到SP的二階相變發生推遲, 相變點右移.

圖4 原子-光非線性相互作用影響下, 平均光子數關于原子-場耦合強度和聲子-光子非線性相互作用強度 (g? ξ) 的相圖, 其中有限溫度分別為 T=0(nK) (1)和 T=140(nK) (2)Fig.4.The phase diagram about the average photon number of atom-field collective coupling strength and the nonlinear photonphonon interaction for different atoms-light nonlinear interaction strength with different finite temperature T=0(nK) (1) and T=140(nK)(2).

3.4 溫度和非線性原子-光相互作用影響的相變特性

通過對平均光子數進行數值求解, 圖5給出了(U?T)平面的相圖.對于給定的原子-場集體耦合強度g=0.7(MHz) (a)和g=0.75(MHz) (b)以及非線性聲子-光子相互作用ξ=50(MHz) 時, 我們比較不同參數下平均光子數隨原子-光非線性相互作用U和溫度T變化的相圖.我們發現:當原子-場集體耦合強度較大(g=0.75(MHz))時, 圖中的NUS會增加, 此區域內沒有穩定的非零光子數解.將圖5與圖4相比較, 我們發現除了有NP和SP,在NP和SP區域還有一個不穩定的非零解, 從圖5可以明顯看到.

如圖5黑線T=80(nK) 所示, 圖6給出了溫度為80(nK)時, 平均光子數隨原子與光子的非線性相互作用U變化的示意圖.其他給定的參數是:非線性聲子-光子相互作用ξ=50(MHz)和原子-場耦合強度g=0.7(MHz)(a),0.75(MHz)(b).隨著非線性原子-光相互作用U的變化, 系統出現了豐富的平均光子數的解.從圖6(a)可以發現:除了出現正常相NP和超輻射相SP, 還出現一種新的超輻射不穩定態NUS.該NUS態隨能量變化的二階導數是小于零的, 為能量極大值, 固不穩定.圖6(b)中當原子-場耦合強度變大為g=0.75(MHz)且非線性U達到一定值時還出現了光子數的無解區, 對應圖5中空白部分, 此時沒有穩定的光子數解.

圖5 在不同的原子-場集體耦合強度下, 平均光子數關于原子-光非線性相互作用和溫度(U ?T)的相圖, 其中聲子-光子非線性相互作用ξ=50(MHz)Fig.5.The phase diagram about the average photon number of the atoms-light nonlinear interaction and temperature for different atoms-field collective coupling strength, where the nonlinear photon-phonon interaction ξ=50(MHz).

圖6 平均光子數隨原子-光非線性相互作用 U 變化的示意圖, 給定的參數是:原子-場耦合強度.(a) g=0.7(MHz) 和(b) g=0.75(MHz) , 溫度 T=80(nK) 和光子-聲子非線性耦合強度 ξ=50(MHz)Fig.6.Variations of the average photon numberwith respect to the atom-light nonlinear interaction U.The given parameters are the atom-field coupling strength (a) g=0.7(MHz) and (b) g=0.75(MHz) , the temperature T=80(nK) and the photon-phonon nonlinear coupling strength ξ=50(MHz).

4 熱力學性質

根據系統的配分函數, 我們得到平均能量的定義式

通過計算可以得到有限溫度下NP和SP的平均能量為

且發現在T=0(nK) 時, 正常相和超輻射相的平均能量為

依據(21)式, 圖7刻畫了平均能量隨原子-場耦合強度的變化.圖7(a)是給定有限溫度T=140(nK)和原子-光非線性相互作用U=?30(MHz) , 在不同聲子-光子耦合強度影響下, 平均能量Eg隨原子-場集體耦合強度g變化的示意圖.從圖可見:當聲子-光子耦合強度ξ=0(MHz) (黑線)和ξ=30(MHz)(紅線)時, 隨著原子-場耦合強度的增大, 平均能量的曲線基本重合, 說明較小的聲子-光子耦合強度作用不會影響平均能量; 但是當聲子-光子耦合強度達到ξ=50(MHz) (藍線)時, 平均能量在原子-場耦合強度增大時會出現偏差.可見, 無論聲子-光子耦合強度和原子-場耦合強度如何變化都不會影響NP的平均能量, 而在原子-場強耦合下SP區有不明顯的影響.圖7(b)是給定聲子-光子耦合強度ξ=50(MHz)和原子-光非線性相互作用U=?30(MHz)時, 平均能量Eg在不同的溫度影響下隨原子-場集體耦合強度g變化的示意圖.我們發現:當有限溫度T=140(nK) (藍線)時, NP的平均能要高于較低的有限溫度T=0(nK) (黑線)和T=50(nK) (紅線)時的平均能量, 同時當原子-場集體耦合強度增大到一定值時, 有限溫度下的平均能量都會和零溫時的平均能量趨近于一致.總之, 溫度在NP區對能量影響明顯, SP區也有顯著影響; 但當原子-場耦合達到較大值時, 影響幾乎為零.

在熱力學極限N→∞ 下, 每個原子的自由能定義為由此我們計算得到有限溫度下NP和SP的自由能:

從平均能量和自由能的表達式我們可以看出:在NP時, 平均能和自由能是常數.根據表達式S=E?F/T還可以求得熵的表達式為

圖7 平均能量 E g 隨原子-場集體耦合強度 g 的變化Fig.7.The average energy E g as a function of the atom-field collective coupling strength.

根據(24)式, 圖8給出了熵隨原子-場耦合強度的變化.

圖8分別給出了藍失諧((a)?c=?20(MHz))、共振((b)?=0(MHz))和紅失諧((c)?c=20(MHz))時, 有限溫度T=140(nK) (紅線)和T=100(nK)(藍線)下熵隨原子-場集體耦合強度變化示意圖.其他給定參數是ξ=50(MHz) ,ω0=0.047(MHz) ,U=20 (MHz).我們發現:無論 NP 還是 SP 時,有限溫度高(T=140(nK))時對應的熵值都要比溫度低(T=100(nK))時高, 并且在高的有限溫度下相變會發生推遲.同時隨著原子-場耦合強度增大, 不同的有限溫度下熵最后都會趨近于零, 這也說明強集體耦合激發態是高度有序的, 在我們考慮的溫度范圍內不受熱漲落所影響, 但是從圖8(c)可看出, 藍失諧下熵變趨于零會發生推遲.

圖8 熵 S 隨原子-場集體耦合強度 g 的變化Fig.8.Entropy S as a function of the atom-field coupling strength g.

5 結 論

我們利用虛時路徑積分方法討論了含有原子-光非線性相互作用的BEC-腔光機械系統在有限溫度下的相變和相關的熱力學性質.通過虛時路徑積分方法計算出配分函數, 從而推導出系統的熱力學平衡方程和原子布居數表達式.根據熱力學平衡方程, 我們對平均光子數進行數值求解并且進行穩定性分析, 最終發現:隨著不同非線性耦合強度的變化, 系統除了會發生由NP到SP的二階相變外,還會出現無穩定光子數解的NUS.同時,本文也通過計算熱力學熵討論了系統的熱力學性質, 發現:溫度越高, 熵越大; NP 時熵為常數, 相變點之后隨著原子-場耦合強度的增加, 熵迅速減為零.我們還發現:負的原子-光非線性相互作用會使二階相變點向原子-場耦合強度g增大的方向移動, SP區域減小; 而正的原子-光非線性相互作用會使二階相變點向原子-場耦合強度g減小的方向移動, SP域增大些.當原子-光非線性相互作用絕對值達到一定值時, SP區域會完全消失, 也就是由 NP到SP的二階量子相變不再存在, 光子數沒有穩定激發解.雖然NUS有非零光子數解, 但卻不是穩定的超輻射態.強的非線性聲子-光子耦合強度可誘導NUS.