基于目標場點法和流函數的磁共振有源勻場線圈設計方法*

黃清明 陳珊珊 張建青 楊洋 鄭剛

1) (上海理工大學光電信息與計算機工程學院, 上海 200093)

2) (上海健康醫學院醫學影像學院, 上海 201318)

3) (上海市分子影像重點實驗室, 上海 201318)

4) (上海理工大學醫學影像工程研究所, 上海 200093)

磁場均勻性是磁共振系統的重要參數, 提高磁場均勻性有助于磁共振時域信號的檢測和磁共振頻域信號分辨率的改善.基于有源勻場連續電流密度分布的思想, 采用目標場點法和流函數結合的方法設計勻場線圈, 即由畢奧-薩伐爾定律確定磁場分布與電流密度的關系, 約束線圈半徑和設置約束點后, 根據目標場分布逆向求解線圈平面的電流密度分布, 再用流函數將電流密度分布離散化處理, 得到勻場線圈的繞線位置分布.根據電磁仿真計算結果制作包含一階與二階勻場線圈應用于磁共振分析儀, 實驗驗證表明該勻場線圈能有效地改善永磁體核磁共振系統磁場的均勻性.

1 引 言

核磁共振分析儀的永磁磁體由兩個平面磁極相對的偶極磁體組成, 其主要作用是產生穩定、均勻的主磁場, 磁場均勻性的提高有助于磁共振時域信號的檢測和磁共振頻域信號分辨率的改善[1].而影響永磁磁體磁場均勻性的主要因素有磁體本身的非均勻性、周圍鐵磁性物質的干擾、被檢測樣品的磁化率突變以及磁體溫度波動等, 對磁共振系統的磁體進行勻場可以改善其均勻性[2,3].永磁磁體的勻場包括無源勻場和有源勻場兩種方式, 其中有源勻場技術通常是在無源勻場的基礎上對磁場均勻性進行優化, 通過放置在磁極中各向通電線圈所產生的磁場來補償固有磁場的非均勻度, 即在磁體兩個平行極面上布置勻場線圈, 勻場電源給不同方向的勻場線圈施加一定大小的電流以產生合適的磁場, 從而對主磁場的非均勻性進行精細修正.

磁場源除了磁場強度要求外, 在一定空間范圍內還應滿足磁場均勻度要求, 通常將磁場均勻度很高的赫姆霍茲線圈作為標準磁場源.1985年, 南開大學丁守謙[4]發明了一種能產生均勻磁場的馬鞍形線圈, 比同半徑的赫姆霍茲線圈的均勻度高一個數量級以上.1986年, Turner[5]在設計磁共振成像設備的梯度線圈和屏蔽線圈時提出了目標場法.2000年, Moon和Hatano[6]采用流函數的方法設計凸表面梯度線圈.2002年, Forbes 和 Crozier[7]用采用目標場法設計了超導磁共振系統的圓柱狀勻場線圈.2004年, Harvey 等[8]研究了流函數方法對線圈表面電流的優化實現勻場.2005年, 李霞和謝德馨[9]采用流函數方法設計了自屏蔽的單平面梯度線圈.2010年, Liu 等[10]采用目標場法設計了磁共振系統的雙平面型勻場線圈.本文采用磁場球諧函數展開級數對主磁場進行數學分析, 選取磁場諧波分量的關鍵項, 結合目標場點法和流函數設計相應階次的勻場線圈, 勻場線圈通電產生的磁場抵消主磁場相應的非均勻性分量, 從而實現磁體系統的勻場修正[11].

2 有源勻場理論推導

有源勻場線圈設計的實質是電磁場的計算問題, 電磁場的計算分為正問題和反問題兩類, 正問題即已知場源(電流密度等)求解磁場分布, 反問題即已知磁場分布, 求解場源[12].本文的設計方法屬于后者, 基于有源勻場連續電流密度分布的思想, 采用目標場點法和流函數結合的方法, 在柱坐標系下, 由畢奧-薩伐爾定律確定磁場分布與電流密度的關系, 約束線圈半徑和設置約束點后, 采用目標場分布逆向求解線圈平面的電流密度分布, 再用流函數將密度分布離散化處理, 得到線圈繞線位置分布, 利用數值計算工具編譯勻場線圈設計的算法, 從而實現高階有源勻場線圈的設計.

2.1 基于目標場點法的磁場分析

磁共振系統的磁體空間是沒有電荷分布的球形工作區域 (diameter of spherical volume, DSV),根據麥克斯韋方程組可知, 在無電流的情況下, 永磁磁體產生的無源靜磁場是一個無旋場, 磁場的分布符合多重級數解析表達式, 與坐標無關的級數項是磁場的均勻分量, 與坐標成線性關系的級數項是一階非均勻分量, 依此類推[13].

核磁共振分析儀的主磁場B0的方向定義為z軸方向, 射頻磁場垂直于z軸方向施加, 設磁場中心為坐標原點, 在球坐標系(r,θ,?)計算得到磁場某一點沿z方向的磁感應強度為

式中μ0為真空磁導率,為連帶勒讓德函數,為與r,θ,?有關的常系數, 其中α,β分別為Bz的階次和次序.(1)式說明磁場由諧波分量構成, 在直角坐標系(x,y,z)下表達式為[14?16]

若設計有源勻場線圈使之產生的磁場分別按(2)式中各項形式分布(第一項除外), 且與對應項的磁場大小相等、方向相反, 磁場疊加后相互抵消相應的非均勻性分量, 實現磁共振系統磁場的均勻性調節.例如:設置三個線性勻場線圈X,Y,Z, 消除 (2) 式中的三項, 磁場就可達到線性均勻.通常磁共振成像儀的梯度線圈產生的磁場是X,Y,Z的一階函數, 常用作一階有源勻場線圈,即梯度勻場.再增加能夠消除等平方分量項的勻場線圈, 磁場就能達到平方均勻, 依此類推.

2.2 有源勻場電流密度函數分析

有源勻場后的磁場均勻度取決于所補償的項數, 即勻場線圈的數目.勻場線圈的磁場特征是按空間分布, 實際勻場要調整各方向勻場線圈的電流來實現勻場線圈磁場大小的調節.根據(1)式可知,電流分布的影響因素由系數決定.假設線圈的半徑為線圈的最大半徑,極坐標系 (ρ,φ) 下線圈平面的電流函數的形式為S±(ρ,φ)滿足連續流體方程, 則流函數為

表1 Bz 在直角坐標系和球坐標系下的分量表示Table 1.Component representation of Bz in Cartesian and spherical coordinates.

式中Uq為電流密度系數,q表示電流密度展開的項數 (1qQ, 為整數),Sq(ρ) 為流函數展開項.此處l,k分別代表線圈的階次和次序.依據表1,Bz分量在直角坐標系和球坐標系下的分量表示中, 當k=0時, 電流密度將激發一個縱向(z方向)梯度場或均勻磁場; 當k=1 時, 線圈將激發在x或者y方向的橫向線性梯度場; 當k?2 時, 即為高階勻場線圈的情況; 對 于z,z2線 圈 來 說k=0 ; 對 于x,y,xz,yz線圈來說k=1 ; 對于xy線圈k=2.“±”代表線圈的上、下平面, 對于z、xz、yz、z3、z5線圈,上、下平面電流方向相反, 電流密度互為相反數;對于x,y,xyz2,x2+y2,x2?y2,z4線圈, 上、下平面電流方向相同, 電流密度也相同[18,19].

圖1 目標場及流函數結合的有源勻場線圈設計算法流程Fig.1.Design algorithm flow of active shimming coil based on target field and flow function.

單一勻場線圈僅產生特定類型(正弦或者余弦) 的諧波場,l和k的值作為目標給出.(i) 為任意非零值, 與對應系數矩陣U成正比.當D為常數時, 求解對應系數矩陣U,U增大僅改變幅度,而不影響其分布.將求解的矩陣U代入(3)式獲得流函數S(ρ,φ) , 對連續的流函數進行離散處理, 得到的電流路徑即為線圈的布線軌跡.設流函數S的最大值Imax和最小值Imin, 在圓形平面的線圈匝數為N, 則每匝導線上的電流為

(6)式中線圈匝數N可調, 從而實現每匝線圈電流I0的可調, 根據N和I0的不同, 得到流函數的一組等值線:

電流密度函數的等值線圖中等值線的位置, 即線圈繞線位置分布[20,21].

圖2 各階次線圈的流函數和繞線分布 (a) X, Y 線圈的流函數和繞線分布; (b) Z 線圈的流函數和繞線分布; (c) XY 線圈的流函數和繞線分布; (d) XZ, YZ 線圈的流函數和繞線分布; (e) Z2 線圈的流函數和繞線分布Fig.2.Flow function distribution and coil winding of each order coils:(a) Flow function distribution and coil winding of X and Y coil; (b) flow function distribution and coil winding of Z coil; (c) flow function distribution and coil winding of XY coil; (d) flow function distribution and coil winding of XZ and YZ coil; (e) flow function distribution and coil winding of Z2 coil.

3 有源勻場線圈仿真設計

3.1 有源勻場線圈設計算法

如圖1所示, 目標場及流函數結合的有源勻場線圈設計算法流程.根據畢奧-薩伐爾定理, 采用目標場法和流函數結合的方式求解出線圈的繞線分布, 已知V,D的情況下, 關鍵在于如何通過方程求解出系數矩陣U, 方程求解的精度決定勻場線圈設計的成敗[22].

在MATLAB平臺下編譯了相應的算法, 算法設計步驟如下:1)確定待設計的勻場線圈的階次和序次, 確定目標場的階次和序次; 2)根據核磁共振分析儀磁體尺寸給定雙平面型有源勻場線圈圓盤尺寸、線圈位置約束、球形工作區域以及目標場點; 3)在柱坐標下給出有源勻場線圈電流密度、磁感應強度表達式; 4)求解不適定反問題方程得出電流密度表達式系數; 5)改變目標場點, 增加展開式級數, 轉 Step5 繼續計算; 6)根據計算出的電流密度表達式系數, 得到勻場線圈的電流密度表達式; 7)采用流函數技術進行離散化處理, 輸入設定的繞線匝數; 8)終止計算, 輸出繞線形狀[23].

3.2 有源勻場線圈設計結果

圖3 采用有源勻場線圈勻場前后磁共振檢測的FID信號和頻譜的FWHM (a)有源勻場線圈應用于磁共振系統的實驗平臺;(b)勻場前FID信號; (c)勻場前頻譜的FWHM; (d)二階勻場線圈勻場后的FID信號; (e)二階勻場線圈勻場后頻譜的FWHMFig.3.FID signal detected by magnetic resonance before and after shimming with active shimming coil:(a) Experimental platform of active shimming coil applied to magnetic resonance system; (b) FID signal before shimming; (c) FWHM of the pre-shimming spectrum; (d) FID signal after the second-order shimming coil shimming; (e) FWHM of after the second-order shimming coil shimming.

表2 有源勻場線圈勻場效果評價技術指標對比Table 2.Comparison of technical indicators for evaluating shimming effect of active shimming coil.

為驗證目標場及流函數結合的有源勻場線圈設計算法的有效性, 選取磁體的磁極間距為42 mm的核磁共振分析儀有源勻場線圈作為設計對象, 其工作區直徑為27.5 mm球形工作區域, 設計3組有源勻場一階線圈(X,Y,Z)以及4組二階線圈(XY,XZ,YZ,Z2), 通過有源勻場線圈產生的磁場對主磁場進行補償.通過MATLAB實現有源勻場線圈設計仿真, 運行程序后輸出7組勻場線圈的繞線分布, 如圖2, 各階次線圈的流函數和繞線分布[24].

4 實驗討論

根據磁共振分析儀主磁場均勻性的調節原理,主磁場越均勻, 磁共振的自由感應衰減信號(free induction decay, FID)的拖尾越長, 信號的積分面積越大, 信號的頻譜越窄, 即信號頻譜的半高寬(full width half maximum, FWHM)越小, 信號的分辨率越高.如圖3所示, 采用有源勻場線圈勻場前后磁共振檢測的FID信號和頻譜的FWHM, 設計實驗如下:采用長的橫向弛豫時間(transverse relaxation time, T2)檢測蒸餾水樣品, 設置射頻中心頻率設置為17.02 MHz, 將通過算法仿真設計制作出的有源勻場線圈實物安裝在核磁共振分析儀磁體兩極上, 選擇硬脈進行磁共振分析儀的FID信號采集.

有源勻場線圈勻場前后的FID信號積分面積、頻譜半高寬、磁場均勻性等技術指標如表2所列, 有源勻場線圈勻場效果技術評價指標對比, 分析可知, 有源勻場線圈勻場后FID信號的積分面積顯著增大, 頻譜的半高寬明顯減小, 說明磁場均勻性得到了很大改善[25,26].

5 結 論

本文根據有源勻場線圈目標場點法和流函數結合的設計理論, 詳細推導了磁場的球諧函數展開級數, 對磁共振系統的磁體產生的主磁場進行數學分析, 確定選取一階、二階及關鍵高階次項進行有源勻場線圈的設計, 利用勻場線圈產生的磁場來補償主磁場中的非均勻性磁場分量.系統闡述了有源勻場線圈設計算法, 并利用數值計算工具編譯實現了軟件算法, 通過輸入目標參數, 自動輸出有源勻場線圈的繞線的形狀數據, 根據各階次線圈的流函數分布及線圈的繞線生產制作了勻場線圈, 應用于核磁共振分析儀的磁體系統, 根據硬脈沖FID信號采集實驗結果, 有源勻場線圈勻場后的FID信號積分面積顯著增大, 頻譜的半高寬明顯減小, 說明基于目標場及流函數結合設計制作的有源勻場線圈能夠有效補償主磁場中的不均勻磁場, 使磁共振系統的磁場均勻性得到了很大改善, 能夠達到勻場的目的.