淺析零點與極點對濾波器特性的影響

田慕晨

摘要：濾波器特性決定了輸出信號與輸入信號的關系，因此研究濾波器的特性十分必要，尤其是其幅頻響應。而零點與極點作為波濾器的重要參量，其數量、形態、存在位置與相對位置對濾波器特性有著至關重要的影響。本文將通過matlab仿真，構造簡單濾波器，并增刪移動零點和極點，以探究其對濾波器特性的影響。

關鍵詞：濾波器;幅頻特性;零點;極點

一、實驗過程

1.設置fdatool編輯參數

1.1Gain：增益，設置為1。

1.2Coordinates：可選極坐標系或直角坐標系。

1.3Conjngate：勾選則所畫零極點成對。

2.設置fdatool顯示參數

1.1脈沖響應與階躍響應

右鍵單擊橫軸名稱可選橫軸為時間或采樣點數，右鍵單擊橫軸可設置觀測長度，若缺省則為50個采樣點。

1.2頻率響應

左鍵單擊橫軸名稱可選橫軸為模擬頻率或數字頻率。右鍵單擊橫軸可設置縱軸顯示方式（線性增益或對數增益，弧度或角度），和觀測范圍，本實驗選擇[0，2π）。

二、實驗結果及討論

1.當設置所有極點均位于單位圓內。單位脈沖響應（h[n]）趨于0，階躍響應（s[n]）趨于常數，即系統穩定，與零點位置無關。當任意極點在單位圓外，h[n]和s[n]都發散。

2.當系統為二階系統，且極點成對，極點在單位圓上。h[n]和s[n]均有規律徘徊在固定幅值上下，既不收斂也不發散。但若一對極點重合于（-1，0）或（1，0），則h[n]和s[n]均線性增長。

3.當極點在單位圓內，極點離單位圓越近，振蕩幅度越大，趨于穩定時間越長。

4.零點可抵消極點作用，零點離極點越近，抵消作用越明顯，即h[n]振蕩幅度越小，但趨于零所需采樣點數不變。零極點重合，幅度響應為1，輸出等于輸入。

5.當極點均位于左半平面，脈沖響應大致正負交替，但不嚴格。當極點全部為于負實軸上，脈沖響應將嚴格逐點正負交替。當極點全位于正實軸，脈沖響應趨于零前每個采樣點值均大于零。

6.當極點成對時，h[n]和s[n]為純實數;當極點不成對且為復數時，h[n]和s[n]為復數，fdatool顯示中以“·”表示響應的實部，以“*”表示響應的虛部。

7.當極點成對，且幅度響應關于對稱。若極點關于實軸對稱，則動點繞單位圓一周，動點與極點距離總關于對稱。

8.當系統為二階穩定系統，且極點成對時，將極點從右移到右，則通帶從高頻移動到低頻，且極點離單位圓越近，選擇性越好。用幅度響應計算公式可證。

9.當編輯的極點個數大于零點，fdatool自動在原點處補齊相差的零點。而當編輯的零點個數大于極點，也自動補齊相差極點，不同的是，零點個數大于極點時，系統為非因果系統，必須補齊零點是必須的操作，而極點個數大于零點時，系統仍為因果系統。

在原點補零點或極點，相當于在H（z）上乘以，幅度相應取H（z）的模， 的模為1，因此幅度相應不變，h[n]和s[n]發生時移。

10.教材中h[n]前三個采樣點值均為0.01，此規律說明此二階系統有兩個極點，沒有零點，差分方程為：

而在fdatool中，由于fdatool在只輸入極點時自動補齊零點，所以有兩個極點，兩個零點，差分方程為：

結果中僅第一個采樣點有規律，第一個采樣點的值均為1。

三、結論

因果系統中，當全部極點都位于單位圓內時，系統穩定。極點與零點都影響濾波器的特性。兩者中，極點對濾波器特性的影響較大，零點的作用主要是調整由極點所引起的濾波器特性，調整的大小取決于它與極點的相對位置。

參考文獻：

[1]程佩青.數字信號處理教程[M].第四版.北京：清華大學出版社，2013.

[2]鄭君里，應啟珩，楊為理.信號與系統[M].第三版.北京：高等教育出版社，2011.

[3]Joyce Van de Vegte.候正信，王國安.數字信號處理基礎[M].北京：電子工業出版社，2001.